2024-2025学年深圳市龙华外国语学校九年级上学期期中数学试卷及答案

这是一份2024-2025学年深圳市龙华外国语学校九年级上学期期中数学试卷及答案，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）某积木配件如图所示，它的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C，若AB＝2，，则CE：AC等于（ ）
A．1：1B．1：2C．D．
3．（3分）解方程x2＝4的结果为（ ）
A．x＝2B．x＝4
C．x1＝﹣2，x2＝2D．x1＝﹣4，x2＝4
4．（3分）下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．邻边相等
5．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为2，则该反比例函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）在△ABC中，若∠A，∠B满足0，则△ABC是（ ）
A．等腰（非等边）三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
7．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AD，连接DE，则∠CDE的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．30°
8．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．mB．mC．mD．m
9．（3分）如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数的图象交于A（1，a），B（b，﹣1）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO，BO．得出以下结论：①点A和点B关于直线y＝﹣x对称；②当x＜1时，y2＞y1；③S△AOC＝S△BOD；④当x＞0时，y1，y2都随x的增大而增大．其中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足BC＝3CM，连接BM交AC于点N，延长BN到点P使得NP＝BN，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）已知，则的值为 ．
12．（3分）写出一个一元二次方程，它的一个根为﹣2，则这个一元二次方程可以是 ．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠A＝120°，则BD的长为 .
14．（3分）如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点B在反比例函数的图象上，顶点C在一次函数y＝x的图象上．若菱形OABC的面积为4，则k的值为 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC，点E为AB边上一点，将△BCE沿CE翻折，点B的对应点为点F，过点F作FG∥CE交DC于点G，若DG：GC＝1：4，则FG的长为 ．
三、解答题：本大题共7题，其中16题两小题各4分共8分，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题9分，22题10分，共55分。
16．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x＝1；
（2）2x（x﹣2）+x﹣2＝0．
17．（6分）计算：．
18．（6分）如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
（1）图1中，以C为位似中心，位似比为1：2，在格点上将△ABC放大得到△A1B1C1；请画出△A1B1C1；
（2）图2中，以线段AD为边画一个三角形，使它与△ABC相似．
（3）图3中，在线段AB上画一个点P，使．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，BE⊥AD，DF⊥AB，BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．
20．（8分）某商场新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为40米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为816平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）据调查分析，当每个车位的月租金为500元时，可以租出10个车位，为了提高收入，公司经理决定，每多租一个车位，相应的每个车位的月租金可以减少10元，当租出多少个车位时，商场的月租金收入为8000元？
21．（9分）根据以下素材，完成任务
（1）建立平面直角坐标系如图3所示，显然，CD落在第一象限的角平分线上．
甲说：点C可以在第一象限角平分线的任意位置．
乙说：不对吧？当点C落在时，OD＝ ，可得点A的坐标为 ，此时过点A的双曲线的函数表达式为 ，而点C所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意；
（2）①若设C点坐标为（a，a），求出a的值以及点C所在双曲线的函数表达式；
②此时货船能不能通过该桥洞，若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物（直接写出答案）．
22．（10分）（1）【探究发现】如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，在正方形A'B'C'O绕点O旋转的过程中，边A'O与边BC交于点M，边C'O与边CD交于点N．证明：△OMC≌△OND；
（2）【类比迁移】如图2，矩形ABCD的对角线相交于点O，且AB＝6，AD＝12．在矩形A'B'C'O，绕点O旋转的过程中，边A'O与边BC交于点M，边C'O与边CD交于点N．若DN＝1，求CM的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形ABCD和四边形A'B'C'O都是平行四边形，且∠A'OC'＝∠ADC，AB＝3，，△BCD是直角三角形．在▱A'B'C'O绕点O旋转的过程中，边A'O与边BC交于点M，边C'O与边CD交于点N．当▱ABCD与▱A'B'C'O重叠部分的面积是▱ABCD的面积的时，请直接写出ON的长．
2024-2025学年广东省深圳市龙华外国语学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1．（3分）某积木配件如图所示，它的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据从左面看到的图形是左视图进行判断即可．
【解答】解：观察图形，从左面看到的图形．
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的概念是解答的关键．
2．（3分）如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C，若AB＝2，，则CE：AC等于（ ）
A．1：1B．1：2C．D．
【分析】利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠E，∠B＝∠D，
∴△CDE∽△CBA，
∴．
∵AB＝2，，
∴CE：AC：2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握适时进行的判定与性质定理是解题的关键．
3．（3分）解方程x2＝4的结果为（ ）
A．x＝2B．x＝4
C．x1＝﹣2，x2＝2D．x1＝﹣4，x2＝4
【分析】两边直接开平方即可．
【解答】解：∵x2＝4，
∴x1＝﹣2，x2＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
4．（3分）下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．邻边相等
【分析】通过矩形和菱形的性质逐一分析即可．
【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等，②矩形的四个角都是直角，③矩形的对角线互相平分且相等；
菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．
5．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为2，则该反比例函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据△OAB的面积，借助于k的几何意义即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为△OAB的面积为2，且AB⊥x轴，
所以，
即xAyA＝4．
又因为点A在反比例函数y的图象上，
所以k＝xAyA＝4，
所以反比例函数的解析式为y．
故选：D．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
6．（3分）在△ABC中，若∠A，∠B满足0，则△ABC是（ ）
A．等腰（非等边）三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
【分析】先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值∠A和∠B，即可作出判断．
【解答】解：根据题意得：sinA0且csB0，
则sinA，csB，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了：①特殊角的三角函数值；②非负数的性质．正确以及特殊角的三角函数值是关键．
7．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AD，连接DE，则∠CDE的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．30°
【分析】由正方形的性质可得∠DAE、∠ADC的度数，再由AE＝AD，即可求得∠ADE的度数，从而可求得∠CDE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，∠DAE＝45°，
∵AE＝AD，
∴，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，掌握这两个性质是解题的关键．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．mB．mC．mD．m
【分析】根据方程有两个不等的实数根，故Δ＞0，得不等式解答即可．
【解答】解：由已知得Δ＞0，即（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
9．（3分）如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数的图象交于A（1，a），B（b，﹣1）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO，BO．得出以下结论：①点A和点B关于直线y＝﹣x对称；②当x＜1时，y2＞y1；③S△AOC＝S△BOD；④当x＞0时，y1，y2都随x的增大而增大．其中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【分析】求出A，B两点坐标即可判断出点A和点B是否关于直线y＝﹣x对称，利用数形结合的数学思想可判断②的正误，利用k的几何意义可判断出③的正误，利用数形结合的数学思想可判断④的正误．
【解答】解：将x＝1代入y1＝x+1得，
y1＝2，
所以点A的坐标为（1，2），
同理可得，点B的坐标为（﹣2，﹣1）．
由A，B两点坐标得，
直线AB的函数解析式为y＝x+1．
又因为A，B的中点坐标为（），
所以AB的中点在直线y＝﹣x上，且直线AB与直线y＝﹣x垂直，
所以点A和点B关于直线y＝﹣x对称．
故①正确．
由函数图象可知，
当x＜﹣2或0＜x＜1时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即y2＞y1，
所以当x＜﹣2或0＜x＜1时，y2＞y1；
故②错误．
根据反比例函数k的几何意义可知，
．
故③正确．
由函数图象可知，
当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小．
故④错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
10．（3分）在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足BC＝3CM，连接BM交AC于点N，延长BN到点P使得NP＝BN，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接BD交AC于点E，由正方形的性质得AB＝BC＝DC，BE＝CE＝DE，AC＝2CE，∠CED＝90°，由AB＝BC＝3CM，得，由CM∥AB证明△CMN∽△ABN，得，推导出AC＝4CN，则2CE＝4CN，可证明CN＝EN，进而证明△CPN≌△EBN，则PC＝BE＝DE，∠PCN＝∠BEN，所以PC∥DE，则四边形PCED是正方形，所以DP＝DE＝BE，∠PDB＝90°，求得BPDP，则，求得，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接BD交AC于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝DC，AE＝CEAC，BE＝DEBD，且AC＝BD，AC⊥BD，
∴BE＝CE＝DE，AC＝2CE，∠CED＝90°，
∵AB＝BC＝3CM，
∴，
∵CM∥AB，
∴△CMN∽△ABN，
∴，
∵CNACAC，
∴AC＝4CN，
∴2CE＝4CN，
∴CE＝2CN，
∴CN＝EN，
在△CPN和△EBN中，
，
∴△CPN≌△EBN（SAS），
∴PC＝BE＝DE，∠PCN＝∠BEN，
∴PC∥DE，
∴四边形PCED是平行四边形，
∵∠CED＝90°，CE＝DE，
∴四边形PCED是正方形，
∴DP＝DE＝BE，∠PDB＝90°，
∴BD＝2DP，
∴BPDP，
∴，
∵BP＝2BN，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】此题重点考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）已知，则的值为 5 ．
【分析】利用设k法进行计算，即可解答．
【解答】解：∵，
∴设x＝3k，则y＝2k，
∴5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
12．（3分）写出一个一元二次方程，它的一个根为﹣2，则这个一元二次方程可以是 （x+2）2＝0（答案不唯一） ．
【分析】只需要写出一个当x＝﹣2时，关于x的一元二次方程的左右两边相等的一元二次方程即可．
【解答】解：由题意得，符合题意的一元二次方程可以为（x+2）2＝0，
故答案为：（x+2）2＝0（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠A＝120°，则BD的长为 10 .
【分析】连接AC，BD交于O，根据菱形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接AC，BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD＝2BO，AC＝2AO，∠BAOBAD＝60°，
∴∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，
∴AOAB＝5，
∴BO，
∴BD＝10；
故答案为：10．
【点评】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点B在反比例函数的图象上，顶点C在一次函数y＝x的图象上．若菱形OABC的面积为4，则k的值为 4 ．
【分析】设点C坐标为（m，m）则B（m+m，m）根据菱形面积列出方程解出m值得到点B坐标即可知道k值，
【解答】解：∵点C在直线y＝x图象上，设点C坐标为（m，m），
∴B（m+m，m），
∵菱形OABC的面积为4，
∴m•m＝4，解得m＝2或﹣2（舍去），
∴B（22，2），
∵点B在反比例函数图象上，
∴k＝2×（22）＝44．
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上顶点坐标特征是关键．
15．（3分）如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC，点E为AB边上一点，将△BCE沿CE翻折，点B的对应点为点F，过点F作FG∥CE交DC于点G，若DG：GC＝1：4，则FG的长为 ．
【分析】设EF与CG的交点为M，可得△CEM和△GFM是等腰三角形，设GM＝x，则CM＝2﹣x，在Rt△CFM中，根据勾股定理可建立方程，求出x的值，表达GM和CM的值，进而可得BE的长；再根据勾股定理可得CE的长，由平行可得△GFM和△CEM相似，根据相似比可得最终结果．
【解答】解：设EF与CG的交点为M，
在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠DCE＝∠BEC，
由折叠可知，∠BEC＝∠FEC，BE＝EF，BC＝CF，
∴∠FEC＝∠DEC，
∴EM＝CM，
∵FG∥CE，
∴△GFM∽△CEM，
∴GM：FM＝CM：EM＝1：1，FG：CE＝GM：EM，
∴GM＝FM，EF＝CG＝2，
∵DG：GC＝1：4，AB，
∴DG，CG＝EF＝2，
∴CE，
设GM＝x，则CM＝2﹣x；
∴FM＝GM＝x，CM＝EM＝2﹣x，
在Rt△CFM中，∠CFM＝∠B＝90°，
由勾股定理可得CF2+FM2＝CM2，
即（）2+x2＝（2﹣x）2，
解得x，
∴GM＝FM，CM＝EM，
∴GF：：，
∴GF．
故答案为：．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，折叠的性质等相关知识，求出GM和CM的长是解题关键．
三、解答题：本大题共7题，其中16题两小题各4分共8分，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题9分，22题10分，共55分。
16．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x＝1；
（2）2x（x﹣2）+x﹣2＝0．
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x﹣1＝0，
∴a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20，
∴x2±，
∴x1＝2，x2＝2；
（2）2x（x﹣2）+x﹣2＝0，
（x﹣2）（2x+1）＝0，
解得x1＝2，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17．（6分）计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝﹣3﹣21
＝﹣31
＝﹣4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
（1）图1中，以C为位似中心，位似比为1：2，在格点上将△ABC放大得到△A1B1C1；请画出△A1B1C1；
（2）图2中，以线段AD为边画一个三角形，使它与△ABC相似．
（3）图3中，在线段AB上画一个点P，使．
【分析】（1）延长CA到A1使CA1＝2CA，延长CB到B1使CB1＝2CB，点C1在C点，则△A1B1C1满足条件；
（2）∵，所以在AC上找一点E，使得，即可使△ADE△ABC；
（3）构建Rt△ABC，将BC分为五等份，在第二个等分点M处，作MP⊥AC，与AB相交于点P，根据平行线分线段成比例可以判断P点满足条件．
【解答】解：（1）△A1B1C1即为所求；
（2）△ADE即为所求；
（3）点P即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）是解决问题的关键．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，BE⊥AD，DF⊥AB，BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠AEB＝∠AFD＝90°，根据全等三角形的性质得到AB＝AD，根据菱形的判定定理得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到AB＝2AE，根据勾股定理得到AB＝2，根据菱形的面积公式得到结论．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AD，DF⊥AB，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△AEB与△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵BE⊥AD，∠C＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∴AB＝2AE，
∵AB2＝AE2+BE2，
∴AB2＝（AB）2+（）2，
∴AB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝BC•BE＝22．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
20．（8分）某商场新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为40米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为816平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）据调查分析，当每个车位的月租金为500元时，可以租出10个车位，为了提高收入，公司经理决定，每多租一个车位，相应的每个车位的月租金可以减少10元，当租出多少个车位时，商场的月租金收入为8000元？
【分析】（1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为（40﹣2x）米，宽为（30﹣2x）米的长方形，根据喷漆面积为816平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设多租y个车位，则租出（10+y）个车位，每个车位的月租金为（500﹣10y）元，根据商场的月租金收入为8000元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为（40﹣2x）米，宽为（30﹣2x）米的长方形，
依题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝816，
整理得：x2﹣35x+96＝0，
解得：x1＝3，x2＝32（不符合题意，舍去），
答：通道的宽是3米；
（2）设多租y个车位，则租出（10+y）个车位，每个车位的月租金为（500﹣10y）元，
依题意得：（500﹣10y）（10+y）＝8000，
整理得：y2﹣40y+300＝0，
解得：y1＝10，y2＝30，
当y＝10时，10+y＝20；
当y＝30时，10+y＝40；
答：当租出20个或40个车位时，商场的月租金收入为8000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（9分）根据以下素材，完成任务
（1）建立平面直角坐标系如图3所示，显然，CD落在第一象限的角平分线上．
甲说：点C可以在第一象限角平分线的任意位置．
乙说：不对吧？当点C落在时，OD＝ 12 ，可得点A的坐标为 ，此时过点A的双曲线的函数表达式为 ，而点C所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意；
（2）①若设C点坐标为（a，a），求出a的值以及点C所在双曲线的函数表达式；
②此时货船能不能通过该桥洞，若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物（直接写出答案）．
【分析】（1）过点C作CG⊥x轴于点G，在Rt△COG中，运用勾股定理求得OC＝8，而CD＝4，则OD＝8+4＝12；过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作AF⊥DE于F，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理求得，即可求出点A的双曲线的函数表达式；
（2）①可表示，，则，而C（a，a），
代入得：，解方程即可求出a，继而求出点C坐标以及过点C的反比例函数解析式；
②设，，其中a＞b，则，，可得k＝ab，由CD＝4，AB＝16，可得（a﹣b）2＝128，，可得k＝18，再根据矩形的性质可得，即可判断此时货船不能通过；运用待定系数法可得直线EF的解析式为，进而可得直线EF与双曲线的交点，即可求得答案．
【解答】解：（1）过点C作CG⊥x轴于点G，
∵点C落在时，
则，而∠CGO＝90°，
∴△COG为等腰直角三角形，则∠COG＝∠OCG＝45°，
则在Rt△COG中，，而CD＝4，
∴OD＝8+4＝12；
设直线OC表达式为：y＝kx（k≠0），
代入得：k＝1，
∴第一象限角平分线为直线y＝x，
∵CD落在第一象限的角平分线上，
∴A、B关于CD对称，即A、B关于第一象限角平分线y＝x对称，
∴点D是AB的中点，OD⊥AB，
过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作AF⊥DE于F，如图，
∴∠DCE＝∠COG＝45°，
∴∠CDE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FDA＝90°﹣45°＝45°
则△CDE、△ADF是等腰直角三角形，
∵CD＝4，
设CE＝DE＝x，
则在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+x2＝42，
解得，
∴，
，
∵AB＝16，
∴AD＝8，同理可求：，
∴，
设反比例函数解析式为：，
将点A代入得：，
∴点在双曲线上，
∴点C所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意．
故答案为：12，，；
（2）①由题意得OG＝CG＝a，
由（1）得，，
∴，，
∴，而C（a，a），
代入得：，
解得：，
∴，
∴，
∴经过点C的双曲线表达式为：；
②设，，其中a＞b，则，如图，
∵点D在直线y＝x上，
∴，即k＝ab，
∴A（a，b），B（b，a），
∵CD＝4，AB＝16，
∴，即（a﹣b）2＝128，
∵CD＝4，CD与x轴正方向夹角为45°，
∴线段CD的水平距离和铅锤距离均为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
由，
解得：，，
∴，，
∵四边形EFGH是矩形，
∴FG＝EH，GH＝EF，
∵EH＝9，
∴，
同理可求，
即，
∵EF＝3，
∴同理可求，
即：，
∵，
∴此时货船不能通过该桥洞；
∵EF∥OD，
∴kEF＝1，
∴设直线EF的解析式为y＝x+n，把代入，得，
解得：，
∴直线EF的解析式为，
联立得，
解得：（舍去），，
，
∴，即，
∵，
∴m＝4h＝2，
故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
【点评】本题是反比例函数应用题，考查了待定系数法，一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的性质等，解题关键是关键是根据坐标系列出相应的函数解析式．
22．（10分）（1）【探究发现】如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，在正方形A'B'C'O绕点O旋转的过程中，边A'O与边BC交于点M，边C'O与边CD交于点N．证明：△OMC≌△OND；
（2）【类比迁移】如图2，矩形ABCD的对角线相交于点O，且AB＝6，AD＝12．在矩形A'B'C'O，绕点O旋转的过程中，边A'O与边BC交于点M，边C'O与边CD交于点N．若DN＝1，求CM的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形ABCD和四边形A'B'C'O都是平行四边形，且∠A'OC'＝∠ADC，AB＝3，，△BCD是直角三角形．在▱A'B'C'O绕点O旋转的过程中，边A'O与边BC交于点M，边C'O与边CD交于点N．当▱ABCD与▱A'B'C'O重叠部分的面积是▱ABCD的面积的时，请直接写出ON的长．
【分析】（1）根据正方形的性质证明三角形全等即可；
（2）过点O作AB的平行线交AD于点E、交BC于点P，过点N作AB垂线交PE于点Q，构造相似三角形△POM∽△QNO，对应边成比比例求PM，然后根据CM＝CP﹣MP计算即可；
（3）过点O作BC的垂线交BC于点H，根据勾股定理求出BD，根据已知条件观察推理出△OMH∽△OND，△OBH∽△CBD，结合当▱ABCD与▱A'B'C'O重叠部分的面积是▱ABCD的面积的，设MH＝m，列方程求出m，最后根据勾股定理求出ON即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DOC＝90°，∠OCM＝∠ODN＝45°，OC＝OD，
由旋转可知：∠C′OA′＝90°，
∴∠C′OA′＝∠DOC＝90°，
∴∠COA﹣∠CON＝∠DOC﹣∠CON，
∴∠MOC＝∠NOD，
∴△OMC≌△OND（ASA）；
（2）解：如图2，过点O作AB的平行线交AD于点E、交BC于点P，过点N作AB垂线交PE于点Q，
∵四边形ABCD和四边形A′B′C′O都是矩形，AB＝6，AD＝12，DN＝1，
∴∠OPM＝∠OQN＝∠MON＝90°，EQ＝DN＝1，
∴OE＝OPAB＝3，NQ＝CP＝AE＝BPBC＝6，
∴∠POM+∠QON＝∠QON+∠QNO＝90°，QO＝OE﹣EQ＝3﹣1＝2，
∴∠POM＝∠QNO，
∴△POM∽△QNO，
∴，
∴，
∴PM＝1，
∴CM＝CP﹣PM＝6﹣1＝5；
（3）解：如阁，过点O作BC的垂线交BC于点H，
设∠DBC＝α，则∠ADC＝α+90°＝∠A′OC′，
设∠BOM＝β，则∠NOD＝180°﹣β﹣（a+90°）＝90°﹣α﹣β，
∴∠OMH＝α+β，∠OND＝90°﹣∠NOD＝90°﹣（90°﹣α﹣β）＝α+β，
∴∠OMH＝∠OND，
∵∠OHM＝∠ODN＝90°，
∴△OMH∽△OND，
∵AB＝CD＝3，BC＝3，四边形ABCD和四边形A′B′C′O都是平行四边形，△BCD是直角三角形，
∴BD6，
∴OB＝OD＝3，
∵∠OBH＝∠CBD，∠OHB＝∠CDB＝90°，
∴△OBH∽△CDB，
∴，
∴，
∴BH＝2OH，
∵OH2+BH2＝OB2，
∴OH2+4OH2＝32，
∴OH，
∴BH＝2OH，
设MH＝m，则BM＝BH﹣MHm，
∵△OMH∽△OND，
∴，
∴，
∴NDm，
∵▱ABCD与▱A'B'C'O重叠部分的面积，平行四边形对角线平分平行四边形的面积，
∴S△BOM+S△ODNS△BCD，
∴（m）3m3×6，
∴m
∴NDm，
∴ON．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形、矩形、正方形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识得到△OMH∽△OND是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/12 15:21:16；用户：初中数学1；邮箱：[email protected]；学号：55349316设计货船通过双曲线桥的方案
素材1
一座曲线桥如图1所示，当水面宽AB＝16米时，桥洞顶部离水面距离CD＝4米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称．

素材2
如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3米，EH＝9米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量m（吨）满足函数表达式．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
A
D
B
B
B
B
B
设计货船通过双曲线桥的方案
素材1
一座曲线桥如图1所示，当水面宽AB＝16米时，桥洞顶部离水面距离CD＝4米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称．

素材2
如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3米，EH＝9米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量m（吨）满足函数表达式．