2022-2023学年广东省深圳市龙华区九年级上学期数学期中试卷及答案

这是一份2022-2023学年广东省深圳市龙华区九年级上学期数学期中试卷及答案，共29页。试卷主要包含了 若，则， 如图，，且，，则长为， 下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。

A. 5，，B. 5，2，C. ，2，1D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】一元二次方程的三项系数分别为，根据定义分析即可．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是：
故选B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的三项系数的含义”是解本题的关键．
2. 一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】移项后左右两边加上一次项系数一半的平方，再把左边写成完全平方式的形式即可．
【详解】解：移项得，
配方得，即，
故选：D．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用比例的性质，进行计算即可．
【详解】解：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
4. 如图，，且，，则长为（ ）
A. 6B. 9C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线所截得的线段对应成比例的内容；熟练掌握其中对应的成比例线段是解题的关键．
5. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列表法进行计算即可．
【详解】解：设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下：
共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查利用列表法求概率．熟练掌握列表法求概率是解题的关键．
6. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则BC的长为（ ）
A. B. 6cmC. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形的性质得出，由已知条件得出，，由线段垂直平分线的性质得出，得出为等边三角形，即可求出的长．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，，
，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键．
7. 一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为m，根据花圃面积为即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边的长为m，
根据题意得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
8. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形
B. 关于x的方程有两个不相等实根，则k的取值范围且
C. 正方形的对角线所在的直线是它的对称轴它有2条对称轴
D. 点P是线段的一个黄金分割点（），若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊平行四边形的判定和性质可判断A和C错误；根据一元二次方程的定义和根的判别式可判断B正确；根据黄金比可计算出的长度，可以判定D错误；
【详解】解：A、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形；选项错误，不符合题意；
B、∵关于x的方程有两个不相等实根
∴
解得：且
选项正确，符合题意；
C、正方形有条对称轴；选项错误，不符合题意；
D、∵点P是线段的一个黄金分割点（）
∴
∴
选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊平行四边形的判定与性质、一元二次方程根的判别式、黄金分割；对以上各部分知识点的理解掌握是解题的关键．
9. 如图，在正方形中，对角线相交于点O．E、F分别为上一点，且，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中
，
∴（SAS）．
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
10. 如图，矩形中，点E在边上，且，作于点F，连接的延长线交于点O，交于点G．以下结论：①；②为的角平分线；③若，则；④若平分，，则矩形ABCD的面积为．则正确结论的个数是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】先证明，可得，故①正确；再证得，可得，故②正确；连接，根据，可得，，从而得到，再证得，可得，故③正确；设，可得，再由勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
②∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的角平分线，故②正确，符合题意；
③连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确，符合题意；
∵平分，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴矩形的面积为：，故④正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，关键是综合应用这些知识解题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】将代入原方程求解即可；
【详解】解；将代入得：

解得：
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根与方程的关系是解题的关键．
12. 在一个不透明的袋子中放有m个球，其中有6个红球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则m的值约为________．
【答案】20
【解析】
【分析】根据频率估计概率、简单事件的概率公式即可得．
【详解】由题意得：任意摸出一球是红球的概率约为，
则，
解得，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了频率估计概率、简单事件的概率公式，熟练掌握频率估计概率是解题关键．
13. 如图，点E是正方形中边上的中点，对角线交点为O，连接交于F点，则：________．
【答案】2:1##2
【解析】
【分析】根据正方形性质得到，，进而推出，，根据相似三角形性质得到，即可求出与比值．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
是中点，
，
正方形的对角线交点为O，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为2：1．
【点睛】本题考查了正方形的性质，线段中点性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
14. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，点P是上一动点，点E是的中点，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由三角形的三边关系可得当点P在上时，的最小值为的长，由菱形的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
在中，，
∴当点P在上时，的最小值为的长，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，，
∴,
∴，
∴是等边三角形，
∵点E是的中点，
∴，
∵
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用锐角三角函数求出的度数是解题的关键．
15. 如图，P是边长为6的正方形的边AD上的一个动点（P与A、D不重合）连接，过点B作，将沿所在直线翻折得到，延长交的延长线于点G，当时，的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理及已知条件求出，再利用，求得，折叠得到的三角形与原三角形边角对应相等，进而再通过勾股定理解出答案．
【详解】解：在，，，，
根据勾股定理，，
正方形，，
，
，
，
，
，
解得，
沿所直线翻折得到，
，，，
，
设，则，
在，，
根据勾股定理，，
，
即，
解得，
即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，牢固掌握其性质应用是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，共55分．本大题有7题，其中16题9分，17题6分，18题6分，19题7分，20题8分，21题9分，22题10分，共55分）
16. 解方程
（1）
（2）（用配方法）
（3）（用公式法）
【答案】（1）或；
（2），；
（3），．
【解析】
【分析】（1）移项后，利用因式分解法求解即可；
（2）用配方法求解即可；
（3）用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
或，
∴，；
【小问3详解】
解：，，，
∵，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
17. 定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，在的正方形网格中，若每一个小正方形的边长均为1，请仅用无刻度直尺按要求画图．
（1）在图①中画一个以边画一个格点正方形．
（2）在图②中画一个格点平行四边形，使平行四边形面积6．
（3）在图③中画一个格点菱形，不是正方形（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形性质画图即可；
（2）根据平行四边形的性质画图即可；
（3）根据菱形的性质画图即可．
【小问1详解】
解：画一个以为边画一个格点正方形，如图所示，
【小问2详解】
解：画一个格点平行四边形．如图所示，
；
【小问3详解】
解：画一个格点菱形，不是正方形，如图所示，

【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，菱形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
18. 现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．
（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
【答案】(1)P(摸出白球)＝；(2)这个游戏规则对双方不公平.
【解析】
【分析】(1)根据A袋中共有3个球 ，其中2个是白球，直接利用概率公式求解即可；
(2)列表得到所有等可能的结果，然后分别求出小林获胜和小华获胜的概率进行比较即可.
【详解】(1)A袋中共有3个球，其中有2个白球，
∴P(摸出白球)＝；
(2)根据题意，列表如下：
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种，
∴P(颜色相同)＝，P(颜色不同)＝，
∵＜，
∴这个游戏规则对双方不公平.
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 如图，四边形为菱形，点E在AC的延长线上，．
（1）求证：；
（2）当，时，求AE的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据四边形是菱形，得出，结合，得出，即可证明结论；
（2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出的值．
【小问1详解】
证明：∵四边形为菱形，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴
∵菱形，∴，，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，掌握以上知识是解题关键．
20. 2022北京冬奥会期间，冰墩墩和雪容融受到人们的广泛喜爱．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．
（1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
（2）冬奥会闭幕后需求有所下降，需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，决定降价出售．经过市场调查发现：销售单价每降价15元，每天多卖出3套，商店想使每天利润达到2000元，每套价格应为多少元？
【答案】（1）20% （2）196元
【解析】
【分析】（1）设每次上涨的百分率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）设每套价格降价为a元，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【小问1详解】
设每次上涨的百分率为x，根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：每次上涨的百分率为20%；
【小问2详解】
设每套价格降价为a元
根据题意得：，
售价：元
答：商店使每天利润达到2000元，每套价格应为196元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
矩形中，，点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
【特例证明】（1）如图，当时，求证：；
【类比探究】（2）如图，当时，求的值（用含k的式子表示）；
【拓展运用】如图（3），当时，P为边CD上一点，连接AP，PF，，，则BC的长为____21____．
【答案】（1）证明见解析；（2）（3）
【解析】
【分析】（1）由可证，即可求解；
（2）在上截取，连接，证明，即可求解；
（3）由可证，可得，由可证，可证，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．．
∵CF平分，，
∴．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在BA上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵CF平分，，
∴．
∴，
∵，

∴，
∴，
∴，
∵，E是BC边的中点，
∴设
∴，
∴；
（3）解：如图所示：连接，延长交于点，
设，则
∵，，
为等腰直角三角形，
，
作交于点N，

，
，
∴，
作，交延长线于M，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定以及性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质是解题的关键．
22. 已知：在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图1，点P为直线一个动点，是否存在以点P、C、A为顶点的三角形与相似，若存在请求出点P的坐标及此时的面积．
（3）如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以、、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
【答案】（1）
（2）存在点或，面积为6或15；
（3）存在，点D的坐标为或或
【解析】
【分析】（1）设直线的解析式，求出点的坐标，把、的坐标代入解析式计算即可；
（2）设，当，，得出，，利用勾股定理得到，分别在中，得出，中，得出，存在以点P、C、A为顶点的三角形与相似，根据，当时，，过点P作轴于点D，根据求解．
（3）按为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点的坐标即可．
【小问1详解】
解：设直线的解析式，
∵直线：与x轴，y轴分别交于A、B两点，
∴，，
∵直线经过点A，与y轴交于点，
∴，
∴
∴直线的解析式：；
【小问2详解】
解：设
当时，
∴
当时，
∴
∴
即
在中，
∴
在中，
∴
存在以点P、C、A为顶点的三角形与相似，理由如下：
∵
∴当时，
解得：（舍），
P点坐标
过点P作轴于点D，
若P与B重合，
此时三角形ABC的面积为6
综上所述存在点或，对应的面积为6或15；
【小问3详解】
解：设
当沿x轴向左平移时
设，则，，
①当时
，，，
∴
即
∴
②当时
，，，
∴
即
∴
③当时
（舍），
∴，，，
∴
即
∴；
当沿x轴向右平移时
设，则，，
∵
∴
∴，，，
∴
即
∴
综上所述：符合条件的点D的坐标为或或
【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，三角形相似、菱形的性质与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．
红1
红2
白
白1
(白1，红1)
(白1，红2)
(白1，白)
白2
(白2，红1)
(白2，红2)
(白2，白)
红
(红，红1)
(红，红2)
(红，白)