高中数学人教A版 (2019)必修 第一册任意角和弧度制教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册任意角和弧度制教案，共10页。教案主要包含了问题情境，建构理论等内容，欢迎下载使用。

课时教学设计
课题
5.1任意角与弧度制
授课时间： 年 月 日
课型：新授课
课时：第一课时
数学核心素养目标
1.通过探索让学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”、“终边相同的角”的含义。
2.培养学生判断推理和化归转化能力，加强数形结合思想的运用。
3. 培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比
等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力。
学习重点难点
教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法；
教学难点： 终边相同的角的表示；
教学准备
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体课件，三角尺，直尺
学习活动设计
环节一：情景引入，温故知新
一、问题情境：
1.思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？
2．复习：初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.
3．情境：生活中很多实例不在范围内.
体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º
经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？
4．问题：这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？
（二）教授新课
二、建构理论：
1．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”
⑵“正角”与“负角”、“0角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．
记法：角或 可以简记成.
⑶意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了.
1 角有正负之分 如：=210 =150 =660
2 角可以任意大
3 还有零角： 一条射线，没有旋转.
要注意：正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．
2．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角.
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）.
例如：30、390、330是第象一限角，300、60是第四象限角，585、1180是第三象限角，2000是第二象限角等.
3.终边相同的角
观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和：
390=30+360 330=30360
30=30+0×360 1470=30+4×360 1770=305×360
⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：

即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
⑷注意以下四点：
= 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②是任意角；
= 3 \* GB3 ③与之间是“+”号，如，应看成.
= 4 \* GB3 ④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
教师活动：
通过对问题情景中4个问题的引入，让学生思考并从实际问题中抽象找出其中的角的关系，教师进行补充说明；通过现实生活中的问题，引导学生进一步的观察，研究。
学生活动：
通过对4个问题的独立思考，组内交流，并让一个组内的代表总结出组内结果并进行汇报，各组之间进行对比；通过让学生观察数这些角的关系，加上引导得出一个基本事实，即推广到任意角的概念；
活动意图
通过生活中熟悉的情景，问题1和问题3引导学生发现角的取值范围，并学会运用角的正负来表示方向，培养学生数学建模的核心素养；通过练习巩固分析表达任意角，教会学生解决和研究问题，提升数学抽象能力；通过练习达到灵活运用；培养学生利用已学方法，发现探索新的问题，并去解决问题的能力。
环节二：
例题讲解
例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：是指
例2.写出终边在轴上的角的集合.
例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式的元素写出来.
巩固练习
1.在0°～360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它是第几象限的角.
(1)-120° (2)1110°
2.A={小于90°的角}， B={第一象限的角}，则A∩B=（ ）
A {锐角} B {小于90°的角 C{第一象限的角} D 以上说法都不对
3.如果α，β终边相同，则α-β的终边落在（ ）
A. X轴的正半轴上 B. X轴的负半轴上
C. y轴的正半轴上 D. y轴的负半轴上
课堂小结
任意角的概念，象限角的概念，终边相同角的概念
教师活动
通过对上述6道题目的审题思路和解答过程书写的训练，让学生巩固本节课所学习的知识点，任意角的概念。
学生活动
通过让学生思考解答上述6道题目，让学生自主思考的过程中让学生找出学生在审题过程中中的瓶颈，并且注意观察老师的审题思路和书写解答过程，通过对比的方式找出学生自己的易错点；尤其是遇到一些实际问题时如何把文字语言转化成符号语言，进而利用所学习的数学知识解答出相关问题的答案。
活动意图说明
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识;学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点.
5.作业设计
1. 教材练习3,4,5
2. 预习下节课内容
6.板书设计
5.1任意角与弧度制
问题1： 问题2： 问题3； 问题4
例1： 例2 例3
巩固练习：1. 2. 3.
课时教学设计
课题
5.1任意角与弧度制
授课时间： 年 月 日
课型：新授课
课时：第二课时
核心素养目标
1.能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题。
2.主要是指数学活动过程中反映的思维品质、表述 的严谨性和准确性。
3.通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美。
学习重点难点
教学重点：弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．；
教学难点： “角度制”与“弧度制”的区别与联系；
教学准备
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
学习活动设计
环节一：（一）情景引入，温故知新
由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
教授新课
1.定义
我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
2.思考：
（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确 定的？与圆的半径大小有关吗？
（2）引导学生完成P6的探究并归纳：
弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为
②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是一个正数．
④负角的弧度数是一个负数．
⑤零角的弧度数是零．
⑥角α的弧度数的绝对值|α|=
3.角度与弧度之间的转换：
①将角度化为弧度：
； ；；．
②将弧度化为角度：
；；；
．
4.常规写法：
① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π的形式,不必写成小数．② 弧度与角度不能混用．
5．特殊角的弧度
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
6.角集合与实数集 R 之间的一一对应关系 ：
（ 1）在弧度制下，每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（角的弧度数等于这个实数）与它对应。所以用弧度制来度量角时，角的集合与实数集合 R 之间是一一对应的。
（ 2）角度制的集合与实数集 R 之间也是一一对应的关系。
（ 3）所以无论是在角度制下还是在弧度制下，角的集合与实数集合 R 之间都是一一对应的关系，即正角对应正数，负角对应负数，零角对应 0。
用弧度制表示：
（1） 终边在轴上的角的集合

（2） 终边在轴上的角的集
（3） 终边在坐标轴上的角的集合
弧长公式
在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长。
其中指的是弧度制的圆心角,请注意是弧度制!
利用弧度制证明扇形面积公式，其中是扇形弧长，是圆的半径。
证法一:∵圆的面积为,∴圆心角为1rad的扇形面积为, 又扇形弧长为l,半径为R,
∴扇形的圆心角大小为 1 rad,
∴扇形面积．
证法二:设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为，

又此时弧长，
∴
可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．
教师活动：
通过初中学过的一些特殊角引导学生转化成弧度制，因而进一步的让学分析，观察并计算出扇形的面积公式。
学生活动：
学生进行讨论，通过讨论学生分析出角与弧度之间的联系，加强学生的自主能动性。 ；
活动意图
通过比较初中所学的特殊角的三角函数及扇形的面积，引入本节新课把角转化成弧度制。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
环节二：
例题讲解
例1. 把化成弧度
解：
∴
例2 . 把化成度
解：
例3.将表示成（，）的形式，并指出是第几象限角。
解：
是第四象限角
是第四象限角。
课堂小结
（1）弧度制的定义。
（2）角度制与弧度制的互化。
（3）特殊角的弧度数。
（4）角的集合与实数集合R之间的一一对应关系；
（5）弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活解决有关实际问题；
教师活动
通过对上述立体及巩固练习的审题思路和解答过程书写的训练，让学生巩固本节课所学习的知识点，等式性质与不等关系。
学生活动
通过例题，让学生自主思考的过程中让学生找出学生在审题过程中中的瓶颈，并且注意观察老师的审题思路和书写解答过程，通过对比的方式找出学生自己的易错点；
活动意图说明
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识;学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点.
5.作业设计
1.
2. 预习下节课内容
6.板书设计
5.1任意角与弧度制
概念（1） （2） （3）
（4） （ 5） （6）
例1： 例2 例3

7.教学反思与改进
优点：
不足：
改进措施：