安徽省太和中学2025-2026学年高二上学期数学周考测试卷（有解析）

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当时，一个方向向量为，其他选项均不合要求.故选：D
2、【详解】，所以直线的斜率，
令直线的倾斜角为，则，因为，所以，
故选：B
3、【详解】设平面的法向量，则，令，得，所以此四棱锥的高.故选：B.
4、【详解】表示点与点所成直线的斜率k，
又是在部分图象上的动点，
如图，当接近时，
当为时，，则，只有C满足.故选：C.
5、【详解】在正三棱锥中，，又，，
所以，所以，同理可得，，即两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
正方体的体对角线就是外接球的直径，易得，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，
设平面的法向量为，则，令，则，所以，则点到平面的距离，所以，故选B.
6、【详解】如图所示：依题意直线l过点，，，
要想直线l过点且与线段MN相交，则或．
故选：A．
7、【详解】连接，
在平行六面体中，由与平行且相等得平行四边形，因此，∴是异面直线与直线所成角或其补角，
由已知，，，由余弦定理得，，
，∴．故选：C．

8、【详解】平面，平面，，
又，，平面，平面，
又平面，；设，，，
，，，，即，
关于的方程有且仅有一个范围内的解，对称轴为，，解得：，，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
轴平面，平面的一个法向量；设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
，由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.故选：C.
9、【详解】A.由是直线的一个方向向量得也是直线的方向向量，因为是直线的方向向量，所以，选项A正确；
B.由两直线互相垂直得，，解得或，可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误；
C.将直线方程变形为，由得，直线过定点，斜率为.当直线与垂直时，点到直线的距离最大.因为，所以，选项C正确；
D. 对D，易知直线y=x满足题意，D错误；故选：AC.
10、【详解】对于A，底面正方形的面积不变，到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A正确；
对于B，与所成角即与所成，为等边三角形，
当在端点，时，所成角最小，为，当在中点时，所成角最大为，故B正确；
对于C，所在的平面为如图所示正六边形，该正六边形的六个顶点分别为对应边的中点，边长为，设中点为，中点为，此时当与中点重合时，取最小值，
此时，为顶角为的等腰三角形，故，故C正确．
对于D，由于在正方体表面，的轨迹为对角线，，以及以为圆心1为半径的圆弧如图，
故的轨迹长度为，故D错误；故选：ABC．
11、【详解】由题意，，，
选项A，设平面的一个法向量是，则，取，则，A正确；
选项B，，又，因此直线的方程为，B正确；
选项C，过点的平面方程为，则平面的一个法向量是，
即为，，平面，因此平面即为平面，
截面是正三角形，其面积为，C错；
选项D，平面的法向量是，且过点，平面的法向量是，且过点，，因此平面与平面平行，它们的距离为，D正确．故选：ABD．
12、【详解】解：依题意得，直线的斜率为，
其倾斜角为，则直线的倾斜角为，
若直线在y轴上的截距为－3，
，
而，
故答案为：，．
13、或或4 【详解】当三条直线交于一点时，由，解得直线和直线的交点的坐标，由点在直线上可得，解得或，
至少有两条直线平行或重合时，即，，中至少有两条直线的斜率相等，
当时，；当时，；若，则需有，不可能.
14、【详解】过点作，交于点，，为中点，
，又，且，平面，平面，平面，则，则易得两两垂直，所以以为原点，所在直线分别建立轴，如图所示：
则点,又知，，为中点，则，
故，，，，
，,，
又，，
设平面法向量为，则，且
有，令，则，到平面的距离，，化简得，故故答案为：.
15、【详解】解：（1），因为，所以存在实数，使得.
又，所以，解得.所以或.
（2）由已知，，因为与互相垂直，故即，故即.
（3）因为点在平面上，故存在，使得，
又，所以，解得.故.
16、【详解】（1）将整理可得，
令，可得，所以直线过定点，
若直线在两坐标轴上截距都为零，可得直线的方程为；
若直线在两坐标轴上截距不为零且相等，设直线的截距式方程为，
代入点即可得，解得；
此时直线的方程为；
综上可知直线的方程为或；
（2）（ⅰ）显然，求得：，
依题意得：，
解得；
（ⅱ）由（ⅰ）得三角形的面积为；
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
此时直线的方程为.
17、【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∵平面，∴，
∵且，，平面，∴平面．
（2）因为平面平面，，，M是的中点，
∴，取的中点O，连接，则平面，
取的中点N，连接，则，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
设，，因为平面的一个法向量，
，，
设平面的一个法向量为，
则，可得．
再由，则，
∴或（舍），所以E为的靠近D点的五等分点．
18、【详解】（1）易知AB的中点为，，
边的垂直平分线的斜率为，
由点斜式可知AB边的垂直平分线所在直线的方程为：，
变为一般式方程得：
（2），，，，，即的平分线的一个方向向量为，
故的平分线的斜率为1，由点斜式可知的平分线所在直线的方程为，变为一般式方程得：
（3）解：若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
因为点到直线的距离为1，可得，解得，
即所求直线的方程为；
若直线的斜率不存在，即直线的方程为，
因为点到直线的距离为1，所以直线也满足题意
故所求的直线的方程为或.
19、【详解】（1）因为，因为，，
所以四边形为矩形，在中，，，，
则，，，
且平面平面，平面，平面平面，
平面；

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，则，，，，，设平面的法向量为，，，
由，取.
设平面的法向量为，，由，取，.二面角是钝角，
二面角的正弦值为.

（3）设，则，
又平面的法向量为，直线与平面所成的角的正弦值为，解得，.