安徽省太和中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省太和中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知函数，则从1到的平均变化率为( )
A.2B.C.D.
3．2024年度最具幸福感城市调查推选活动于9月16日正式启动，在100个地级及以上的候选城市名单中，成都市入选“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高，现随机抽取10位成都市居民，他们的幸福感指数分别为4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，则下列说法错误的是( )
A.该组数据的第60百分位数为7.5
B.该组数据的极差为5
C.该组数据的平均数为7.5
D.该组数据的中位数为7
4．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为( )
A.B.
C.D.
5．已知点M，N在直线上运动，且，点P在圆上，则的面积的最大值为( )
A.B.C.20D.15
6．已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，，当的周长最小时，的面积为( )
A.B.1C.D.2
7．如图，在直三棱柱中，，，，点E为棱的中点，点F是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8．已知F是椭圆的一个焦点，B是C的上顶点，的延长线交C于点A，若，则C的离心率是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知事件A，B，且，，则下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若A与B互斥，则
C.若A与B相互独立，则
D.若A与B相互独立，则
10．已知等比数列的前n项积为，公比，，则( )
A.B.
C.当时，最小D.当时，最大
11．已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有( )
A.的图像关于直线对称B.
C.D.在上单调递减
三、填空题
12．若复数，则___________.
13．若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则该圆锥的侧面积为___________.
四、双空题
14．已知等差数列满足，，则数列的通项公式为___________；记数列的前n项和为，若恒成立，则实数a的取值范围为___________.
五、解答题
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的周长为.
(1)求角B的大小；
(2)已知，，求的面积
16．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，E为的中点
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值
17．已知数列的前n项和为，且，
(1)证明：数列是等差数列；
(2)已知，求数列的前n项和.
18．已知函数在区间上单调，且.
(1)求函数的图像的一个对称中心；
(2)若，求的解析式
19．若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线已知椭圆的共轭双曲线为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，直线l（不过点A）与相交于M、N两点，且，求点A到直线l的距离的最大值
参考答案
1．答案：A
解析：，
解得，故
故.
故选：A
2．答案：B
解析：
故选：B.
3．答案：C
解析：A选项：，
因此该组数据的第60百分位数为，故A正确；
B选项：该组数据最大为9，最小为4，
因此极差为，故B正确；
C选项：该组数据的平均数为，故C错误；
D选项：该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，故D正确，
故选：C.
4．答案：B
解析：由，，
，，
可得的一个通项公式为.
故选：B.
5．答案：D
解析：设圆心C到直线的距离为d，
P到直线l的距离为，
又圆心坐标为，所以，又半径为，
则当最大时，，
此时的面积也最大，最大值为.
故选：D.
6．答案：A
解析：如图，，
作垂直于C的准线，垂足为B，由抛物线的定义知，
所以的周长为，要使周长最小，
则必须使得A，P，B三点共线，
即点P在过A垂直于的直线上（图中点处），
将代入中，
求得点，所以，
在边上的高为1，
故其面积为.
故选：A.
7．答案：D
解析：因为，，，
则，
故，
在直三棱柱中，底面，
以点B为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴
建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为点E为棱的中点，点F是棱上的一点，且，
则、、、，
，，
所以，.
因此，直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
8．答案：D
解析：设F、分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆的焦距为，连接，，
则，由，
可得，
在中，由余弦定理得，
结合，可得，
解得，
所以椭圆C的离心率.
故选：D.
9．答案：BC
解析：对于A，若，则，故A错误；
对B，若A与B互斥，则，故B正确；
对于C，若A与B相互独立，则与B相互独立，
所以，故C正确；
对于D，若A与B相互独立，
则，
，故D错误
故选：BC.
10．答案：BC
解析：对于选项AB：由题意知，
由，得，
所以，得，，
所以，且，，
所以，故A错误，B正确
对于选项CD：因为，，，，
所以数列为递增数列，且当时，，
当时，，
所以当时，最小，故C正确，D错误
故选：BC.
11．答案：ACD
解析：是偶函数，
，
图像关于直线对称，A正确；
又在上单调递增，
，但与的正负符号不确定，
无法确定，的大小，B错误；
,在上单调递减，
，C正确；
令，得，
在上单调递减，D正确
故选：ACD.
12．答案：
解析：,
故
故答案为：
13．答案：
解析：
过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外接圆，
且两圆同圆心，即的内心与外心重合，
所以为正三角形，
由题意的半径为，
所以的边长为6，
所以圆锥的底面半径为3，
所以圆锥的侧面积.
故答案为：.
14．答案：；.
解析：由等差数列性质得，
解得，
故数列的通项公式为，
所以，
故，
故恒成立，
故，
又，
所以是递增数列，且当n趋向于时，恒成立且趋向于2，
故，解得或，
实数a的取值范围为.
故答案为：，.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得，
由正弦定理得：，
所以，
所以，又
所以.
(2)易知角A为锐角，所以，
，
由正弦定理，
所以.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)，
所以得，
又,
所以，
又，，
平面，所以平面，
(2)知，，
以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
设平面的一个法向量，
则有，
令，则有，，
平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)由，得，
令，则，解得；
当时，，
所以，
所以，
所以当时，，
有，
又，满足上式，
所以，得，
所以数列是等差数列
(2)由(1)知，所以，
所以，
故，
两式相减，得，
所以.
18．答案：(1)
(2).
解析：(1)由题意可知，在区间上单调，
所以当时，，
则函数的图像的一个对称中心为.
(2)由题意可知，的最小正周期，
所以，因为，
所以或，
由(1)可知，，，
因为，所以，
所以，或，，
若，，则，，
即，，，
易知，不存在，，使得或；
若，，
则，，
即，，，
易知，当，
即时，，
此时，，
由，得，
所以.
综上可知，.
19．答案：(1)
(2)12
解析：(1)由题意可设的标准方程为，
则，，
所以双曲线的标准方程为.
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
设点、，
联立，
得，
所以且，
即且，
由韦达定理可得，，
.
因为，且，，
所以
.
所以或.
当时，直线恒过点，不合题意，
当时，直线恒过点，合乎题意；
当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为，
则、
因为，所以，
解得或（舍去）.
所以直线l恒过点，
所以当直线l时，点A到直线l的距离最大，距离的最大值为.