湖南省岳阳市汨罗市第一中学2025-2026学年高一上学期9月月考数学试卷

这是一份湖南省岳阳市汨罗市第一中学2025-2026学年高一上学期9月月考数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题“ x  Q ， x  0 ”的否定是（）
A. x  Q ， x  0B. x  Q ， x  0
C. x  Q ， x  0D. x  Q ， x  0
已知集合Q＝x x2  2x  0 , x  N，且 P  Q ，则满足条件的集合 P 的个数（）
A. 8B. 9C. 15D. 16
已知实数 x, y 满足1  x  y  4, 1  x  y  2 ，则4x  2 y 的取值范围是（）
4  4x  2 y  10B. 3  4x  2 y  6
5  4x  2 y  13D. 2  4x  2 y  10
已知集合 A  {4, a}, B  1, a2， a  R ，则 A ∪ B 不．可．能．是（）
1,1, 4
1, 0, 4
1, 2, 4
2,1, 4
若 x  y  1 ，则下列四个数中最小的数是（）
x  y
A
2
2xy
B. x  y
C.
1  1  1 
2  xy 

x
已知关于 x 的不等式 x  2a  x2  2a 1 x 1 ≥ 0 对任意 x 0,  恒成立，则实数 a 的取值范围是（）
 3 , 0
 3 , 1 
, 0
 ,  3 
 2
 2 2 
2 

某商场对 100 位顾客做了一项调查，购买 A 商品的有 80 人，购买 B 商品有 70 人，则两种商品都购买的人数的最大值与两种商品都没购买的人数的最大值分别为（）
A. 70, 30B. 80, 20C. 70, 20D. 80, 30
已知集合 A  {x∣a 1  x  2a  3}， B  x∣ x2  5x 14  0，则 A ∩ B   的必要不充分条件是
（ ）
a  7
a  7
a  5
a  5
二、多选题（每题 5 分，共 15 分）
已知集合 A  0, a  b, a  ， B=2,2-b,c，若 A=B ，则 a+b+c 的值可能为（）
b 

323
A. B. 2C.
22
D. 12
下列函数的最小值为 4 的有（）
y  x2  4
x2
y 
1
x  1
 x  1 x  1
y 
​
x2  10
x2  6
1）
D. y  x  9  2
x
下列函数中最大值为 2 的是（
y  x2 
x
2
Cy 
1
16x2
y  x 
D. y = x +
1 x2 , x 0,1
4, x > −2
x4 1
三、填空题（每题 5 分，共 15 分）
x + 2
已知 x  0, y  0 ，且 x  y  8 ，则(1  x)  (1  y) 的最大值为．
已知 x，y∈R，且满足 4x+y+2xy+1=0，则 x2+y2+x+4y的最小值是.
关于 x 的不等式 ax  b  0 的解集为(1, ) ，则关于 x 的不等式 ax  b  0 的解集为
x  2
四、解答题（共 80 分）
已知集合 A  x∣x2  9，B  {x∣x 1  0}，U  x∣x2  2x  3  0，
（1）求 A  B，A  B .
（2）求ðU A，ðU A  B
x 1
(1)解不等式:
 2x  5
(2)解关于 x 的不等式: ax 1  a a  R
x  22
已知函数 y  2ax  x2 , x [1,1] .
当 a  1 时，求函数的最值；
求 y  2ax  x2 , x [1,1] 的最小值 g(a) ．
已知集合 A  {x∣x  1或 x  3}， B  x∣x  m  0 ， C  x∣ax 1  0，
已知 A ∪ B  R ，求实数m 的取值范围；
已知命题 p : x  A ，命题 q : x  C ，若 p 是 q 的必要条件，求实数 a 的取值范围.
已知函数 f  x  x2  ax  3
若 f  x  0 的解集为b, 3 ，求实数 a, b 的值；
当 x  1 ,  时，若关于 x 的不等式 f  x  1 x2 恒成立，求实数 a 取值范围．
 2

a  R ，解关于 x 的不等式 f  x  2x  a 1 x2 1.
2025 年 9 月高一上学期数学月考试题
一、单选题（每题 5 分，共 40 分）
命题“ x  Q ， x  0 ”的否定是（）
A. x  Q ， x  0B. x  Q ， x  0
x  Q ， x  0
【答案】C
【解析】
【分析】
本题可根据全称命题的否定是特称命题来得出结果.
x  Q ， x  0
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“ x  Q ， x  0 ”的否定是“ x  Q ， x  0 ”，故选：C.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，主要考查全称命题的否定，考查推理能力，体现了基础
性，是简单题.
已知集合Q＝x x2  2x  0 , x  N，且 P  Q ，则满足条件的集合 P 的个数（）
A. 8B. 9C. 15D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】先求得集合Q  0,1, 2 ，根据 P  Q ，结合集合子集个数的计算，即可求解.
【详解】由不等式 x2  2x  0 ，解得0  x  2 ，即Q  x|0  x  2, x  N  0,1, 2
又由 P  Q ，可得满足条件的集合 P 的个数为23  8 .
故选：A.
已知实数 x, y 满足1  x  y  4, 1  x  y  2 ，则4x  2 y 的取值范围是（）
4  4x  2 y  10B. 3  4x  2 y  6
C. 5  4x  2 y  13D. 2  4x  2 y  10
【答案】D
【解析】
【分析】方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得4x  2 y 的取值范围.方法二：利用双换元法，结合不等式的性质求得正确答案.
【详解】方法一：设4x  2 y  m  x  y   n  x  y  ，则m  n x  m  n y  4x  2 y ，
m  n  4

所以m  n  2,
解得m  1, 即4x  2 y   x  y   3 x  y  ，
n  3,

1  x  y  41  x  y  4
因为1  x  y  2, 则3  3 x  y   6,

因此2  4x  2 y   x  y   3 x  y   10 ．
方法二：设 x  y  s, x  y  t ，则 x  s  t , y  s  t ，
22
所以4x  2 y  4  s  t  2  s  t  s  3t ，
22
又因为1  s  4, 1  t  2 ，所以3  3t  6 ，因此2  4x  2 y  s  3t  10 ．
故选：D
已知集合 A  {4, a}, B  1, a2， a  R ，则 A ∪ B 不．可．能．是（）
1,1, 4
1, 0, 4
1, 2, 4
2,1, 4
【答案】A
【解析】
【分析】由题选择 A ∪ B 不．可．能．的选项，依次检验找出矛盾即可.
【详解】依次检验：
如果是 A 选项，则只能考虑 a  1 ，集合 B 不满足元素互异性；当 a  0 ， B 选项正确；
当 a  2 ， C 选项正确；当 a  2 ， D 选项正确；故选：A
【点睛】此题考查集合并集运算和元素互异性，对分析问题能力要求较高.
若 x  y  1 ，则下列四个数中最小的数是（）
x  y
​
2
2xy
x  y
​
1  1  1 
2  xy 

x
【答案】D
【解析】
【分析】
x
根据 x  y  1 可以推出 x  y 、 2xy 、都大于 1， 1  1  1   1 ，故可得答案.

2x  y
【详解】因为 x  y  1 ，
2  xy 
x  y
11
2xy 
2 2  1
所以
2
2  1， x  y
1  111
yx
，
1 ，
x
1  1  1   1 11
2  xy  (  )  1，
2 11
2  xy 
所以四个数中最小的数是 1  1  1  .

故选：D
【点睛】关键点点睛：利用不等式的性质找中间量 1 进行比较是解题关键.
已知关于 x 的不等式 x  2a  x2  2a 1 x 1 ≥ 0 对任意 x 0,  恒成立，则实数 a 的取值范围是（）
 3 , 0
 3 , 1 
, 0
 ,  3 
 2
 2 2 
2 

【答案】C
【解析】
【分析】根据判别式进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法、根与系数关系等知识确定正确答案.
【详解】对于函数 y  x2  2a 1 x 1, Δ  (2a 1)2  4 ．
①令Δ  (2a 1)2  4  0 ，即 3  a  1 ，满足 y  x2  2a 1 x 1  0 恒成立，
22
因此，只需2a  0 ，即a  0 ，所以 3  a  0 ．
2
②令Δ  (2a 1)2  4  0 ，即 a  1 或 a   3 ．
22
设方程 x2  2a 1 x 1  0 的两根分别为 x , x ，则 x  x
 2a 1, x x
 1 ．
12
当 a  1 时，方程 x2  2a 1 x 1  0 有两个正根，
2
121 2
存在 x 0,  ，使得 x  2a  x2  2a 1 x 1  0 ，不符合题意，舍去；
当 a   3 时，方程 x2  2a 1 x 1  0 有两个负根，
2
因此，只需2a  0 ，即a  0 ，所以 a   3 ，
2
综上所述， a 的取值范围为, 0 ．故选：C
某商场对 100 位顾客做了一项调查，购买 A 商品的有 80 人，购买 B 商品有 70 人，则两种商品都购买的人数的最大值与两种商品都没购买的人数的最大值分别为（）
A. 70, 30B. 80, 20C. 70, 20D. 80, 30
【答案】C
【解析】
【分析】
本题可根据购买两种商品的人数与总人数之间的联系得出结果.
【详解】因为购买 A 商品的有 80 人，购买 B 商品有 70 人，所以两种商品都购买的人数的最大值为70 人，
因为共 100 位顾客，
所以两种商品都没购买的人数的最大值为20 人，故选：C.
【点睛】本题考查学生从题目中获取信息的能力，考查学生解决实际问题的能力，考查推理能力，是简单题.
已知集合 A  {x∣a 1  x  2a  3}， B  x∣ x2  5x 14  0，则 A ∩ B   的必要不充分条件是
（ ）
a  7
a  7
a  5
a  5
【答案】A
【解析】
【分析】分集合 A   和 A   讨论求解，先确定 A ∩ B   的充要条件，再确定其必要不充分条件.
【详解】因为 B  x | x2  5x 14  0  x | x2  5x 14  0  x |  x  2 x  7  0  x | x  2 或
x  7.
若 A   ，则 a 1  2a  3  a  4 ，此时 A ∩ B   ；
a 1  2a  3

若 A   ，由a 1  2 4  a  5 ，此时 A ∩ B   .

2a  3  7
所以 A ∩ B   的充要条件为： a  5 .

所以 A ∩ B   的必要不充分条件为： a  7 .（因为 a  5  a  7 ，但 a  7
a  5 的必要不充分条件）故选：A
二、多选题（每题 5 分，共 15 分）
a  5 ，所以 a  7 是
已知集合 A  0, a  b, a  ， B=2,2-b,c，若 A=B ，则 a+b+c 的值可能为（）
b 

323
A. B. 2C.
22
D. 12
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据 A=B ，得到 2  b  0 或c  0 ，分类讨论得到 a 的值，根据元素的互异性，舍去不合要求的解，求出 a+b+c 的值.
【详解】因为 A=B ，所以2  b  0 或c  0 .
①当b=2 时， A  0, a  2, a  ， B  2, 0, c，
2 
所以 a  2  2 或 a
2

 2 ，得 a=0 或 4.
当 a=0 时， A  0, 2不合题设，舍去.
当 a=4 时， A  0, 6, 2 ， c  6 ，此时 a  b  c  12 .
②当c  0 时， A  0, a  b, a  ， B  2, 2  b, 0 ，
b 

a+b=2

a+b=2−b

a=0
a=1
a=1

所以 a
或 a
，解得： 
或或1



=2−b =2
 b b
b=2
b=1
b= 2
当 a=0 时， A  0, 2不合题设，舍去.

当a=1时， A  B  0, 2,1 ，此时 a  b  c  2 .
b=1

a=1
33
当1 时， A  B  0, 2 , 2 ，此时 a  b  c  .

b= 22
故选：ABD
下列函数的最小值为 4 的有（）
y  x2  4
x2
y 
1
x  1
 x  1 x  1
x2  6
y 
x2  10
y  x  9  2
x
【答案】AB
【解析】
x2  4
x2
【分析】构造基本不等式，然后根据基本不等式计算与判断 A，B，C 选项，取特殊值验证选项 D 即可.
【详解】对于 A， y  x2  4
x2
 2
 4 ，
2
当且仅当 x  时等号成立，
ymin  4 ，故 A 正确；
对于 B， y 
1
x 1
 x 1 2  2  2  4 ，
当且仅当 x  1  1 即 x  2 时等号成立，
故 B 正确；
x2  6
x2 10x2  6  44
x2  6
x2  6
x2  6
对于 C， y  4 ，
因为 x2  6  4 无解，故等号不成立，故 ymin 不是 4，故 C 错误.
对于 D， y  x  9  2 ，取 x=−1 ，则 y  12  4 ，
x
故 D 不正确.
故选：AB.
11.1）
下列函数中最大值为 2 的是（
y  x2 
x
2
C. y 
1
16x2
y  x 
D. y = x +
1 x2 , x 0,1
4, x > −2
x4 1x + 2
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式逐项判断即可.
【详解】解：对 A， y  x2 
1
16x2
 2
 1 ，
x2 
1
16x2
2
当且仅当 x2 
1
16x2
，即 x   1 时取等号，故 A 错误；
2
1 x2
x2  1 x2 
x2 1 x21
对 B， y  x 

 ，
22
当且仅当 x2  1  x2 ，又Q x 0,1，即 x 
2 时取等号，故 B 正确；
2
y 
x2
对 C，当 x  0 时， y  0 ；当 x  0 时，x4 1
1 1
x2  1 2 ，
当且仅当 x2 
x2
1 ，即 x  1 时等号成立，故 C 正确；
 x  2
4
x  2
x2
对 D， y  x 
4
x  2
 x  2 
4
x  2
 2  2
 2  2 ，
当且仅当 x  2 
故选：BC.
4
x  2
，又Q x  2
， x  0 时取等号，故 D 错误.
三、填空题（每题 5 分，共 15 分）
已知 x  0, y  0 ，且 x  y  8 ，则(1  x)  (1  y) 的最大值为．
【答案】 25
【解析】
【分析】
将 x  y  8 化为(1 x)  (1 y)  10 后，根据基本不等式可求得结果.
【详解】因为 x  0, y  0 ，且 x  y  8 ，
(1 x)(1 y)
所以(1 x)  (1 y)  10  2，即(1 x)(1 y)  25 ，
当且仅当 x  y  4 时，等号成立.
所以(1  x)  (1  y) 的最大值为25 .
故答案为： 25
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
已知 x，y∈R，且满足 4x+y+2xy+1=0，则 x2+y2+x+4y 的最小值是.
【答案】  13
4
【解析】
【分析】
将已知整理为2x 1 y  2  1 ，令 2 x 1  m, y  2  n ，得 mn  1，即可将所求最值的关于 xy 的表达式转化为 mn 的表达式，整理后由均值不等式可求得最小值.
【详解】因为4x+y+2xy+1=0，则 4x+y+2xy+2=1，即2x 1 y  2  1
令 2 x 1  m, y  2  n ，所以 mn  1
 m 1 22m 1117
所以 x2+y2+x+4y    n  2  4n  8  m2  n2 
2
244
由均值不等式 1 m2  n2  mn  1，当且仅当 1 m  n 2 取等号
422
所以 x2+y2+x+4y 的最小值为1 17   13 .
44
故答案为：  13
4
【点睛】本题考查利用均值不等式求最值，属于难题.
关于 x 的不等式 ax  b  0 的解集为(1, ) ，则关于 x 的不等式 ax  b  0 的解集为
x  2
【答案】, 1 ∪ 2, 
【解析】
【分析】不等式 ax  b  0 的解集为(1, ) 可以确定 a 的正负以及 a, b 的关系，从而可得 ax  b  0 的解.
x  2
【详解】不等式 ax  b  0 的解集为(1, ) ，故 a  0 且 a  b  0 ，
故 ax  b  0 可化为 a  x 1  0 即 x 1 x  2  0 ，
x  2
x  2
它的解为, 1 ∪ 2,  ，填, 1 ∪ 2,  .
【点睛】本题考查一元一次不等式的解与对应方程之间的关系及分式不等式的解法，属于容易题.
四、解答题（共 80 分）
已知集合 A  x∣x2  9，B  {x∣x 1  0}，U  x∣x2  2x  3  0，
（1）求 A  B，A  B .
（2）求ðU A，ðU A  B
【答案】（1） A  B  x |1  x  3，A  B  x x  3
（2） ðU A  x | x  3 或 x  3 ，ðU A  B  {x | x  3 或 x  1} .
【解析】
【分析】（1）先化简集合，再利用集合的交集和并集求解；
（2）利用集合的补集和并集求解.
【小问 1 详解】
因为 A  x | x2  9  x | 3  x  3, B  x x 1 0  x x1 ，
所以 A  B  x |1  x  3，A  B  x x  3 ；
【小问 2 详解】
因为 A  x | x2  9  x | 3  x  3, B  x x 1 0  x x1 ，
U  x | x2  2x  3  0  x |  x 12  2  0  R ，
所以ðU A  x | x  3 或 x  3 ，ðU A  B  {x | x  3 或 x  1} .
x 1
(1)解不等式:
 2x  5
(2)解关于 x 的不等式: ax 1  a a  R
x  22
【答案】(1) 1，2; (2)见解析.
【解析】
x 1
【分析】(1)由
x 1  5  2x2

 2x  5 得x 1  0

5  2x  0
，解出即可得到不等式
 2x  5 的解集；
x 1
 2

a x   211
(2)根据 ax 1a
 a
对参数 a 分 a  0 、 a  0 、0  a  、 a  、

x  22
a  R    0,22
x  2
a  1 五类讨论，可分别求得不等式 ax 1  a 的解集.
2
x 1
【详解】解：(1)因为
x 1  5  2x2
x  22
 2x  5 ，
x  13 或x  2

所以x 1  0
4
，即5.

5  2x  0
解得：1  x  2
1  x 

2
所以不等式
 2x  5 的解集为1，2.
x 1
(2)由 ax 1  a a  R 得 ax 1  a  ax  2a  2  0 .
x  22x  222  x  2
当 a  0 时，解得： x  2 .
a
 2
当 a  0 时.
ax  2a  2 2  x  2
a x   2 
   0 .
x  2
当 a  0 时，若 2  2  2 ，即 a  1 时，解得： x  2 .
a2
若 2  2  2 ，即0  a  1 时，解得： x  2  2 或 x  2 .
a2a
若 2  2  2 ，即 a  1 时，解得： x  2  2 或 x  2 .
a2a
当 a  0 时，解得： 2  2  x  2 .
a
2
a
综上所述： a  0 时，不等式: ax 1  a 的解集为x
 2  x  2 ；

x  22

当 a  0 时，不等式: ax 1  a 的解集为x x  2 ；
x22
当0  a  1 时，不等式: ax 1  a 的解集为x x  2  2或x  2 ；
a


2x  22
当 a  1 时，不等式: ax 1  a 的解集为x x  2；
2x  22
当 a  1 时，不等式: ax 1  a 的解集为x x  2  2 或 x  2 .
a

2x  22
【点睛】本题考查无理不等式与分式不等式的解法，突出等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，属于难题．
已知函数 y  2ax  x2 , x [1,1] .
当 a  1 时，求函数的最值；
求 y  2ax  x2 , x [1,1] 的最小值 g(a) ．
min
【答案】（1） y 3 ， ymax  1
（2） g(a)  2a 1, a  0

2a 1, a  0
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的单调性即可求解，
（2）根据二次函数的性质，结合 1 和1到对称轴的距离大小，即可求解.
【小问 1 详解】
当 a  1 时， y  2x  x2 开口向下，对称轴为 x  1 ，即 y  2x  x2 在[1,1] 上是递增的，∴ ymin  3
ymax  1，故函数的值域为3,1 ；
【小问 2 详解】
对称轴为 x  a ,开口向下，
①当a  0 时，当 x  1 时取到最小值
y
min
 2a 1
min
②当 a  0 时，当 x  1 时取到最小值 y 2a 1
综上可得， g(a)  2a 1, a  0

2a 1, a  0
已知集合 A  {x∣x  1或 x  3}， B  x∣x  m  0 ， C  x∣ax 1  0，
已知 A ∪ B  R ，求实数m 的取值范围；
已知命题 p : x  A ，命题 q : x  C ，若 p 是 q 的必要条件，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） , 1
（2）  1 ,1

 3
【解析】
【分析】（1）根据并集的定义即可求解；
由题意可得C  A ，根据参数 a 的取值分类讨论即可求解.
【小问 1 详解】
B  x∣x  m ， A  {x∣x  1或 x  3}，因 A ∪ B  R ，故 m  1，
即实数m 的取值范围为, 1 .
【小问 2 详解】
由于 p 是 q 的必要条件，所以C  A ，因C  x∣ax 1  0，
① 当 a  0 时， C   ，此时C  A ，符合题意；
② 当 a  0 时， C  x x   1  ，由C  A ，可得 1  1 ，解得0  a  1，
a
a


③ 当 a  0 时， C  x x   1  ，由C  A ，可得 1  3 ，解得 1  a  0 ，
a
a
3


综上所述：  1  a  1 ，
3
即实数 a 的取值范围为 1 ,1 .

 3
已知函数 f  x  x2  ax  3
若 f  x  0 的解集为b, 3 ，求实数 a, b 的值；
当 x  1 ,  时，若关于 x 的不等式 f  x  1 x2 恒成立，求实数 a 取值范围．
 2

a  R ，解关于 x 的不等式 f  x  2x  a 1 x2 1.
【答案】（1） a  4 ， b  1；
（2） a  4
答案见解析；
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数关系代入方程可解得 a  4 ， b  1；
a  1 
x
将不等式整理可得
2  x   ，利用基本不等式计算可得 a  4 即可；

对参数 a 的取值进行分类讨论，利用一元二次不等式解法即可得出对应解集.
【小问 1 详解】
由 f  x  0 的解集为b, 3 可得 3 是方程 x2  ax  3  0 的一个实数根，因此32  3a  3  0 ，解得 a  4 ；
所以 x2  4x  3  0 的另一实数根为 1，可得b  1；即实数 a, b 的值为 a  4 ， b  1；
【小问 2 详解】
由 f  x  1 x2 可得 x2  ax  3  1 x2 ，即2x2  2  ax ；
又因为 x  1 ,  ，可得 a    1  恒成立；
 2
2  xx 

易知当 x  1 ,  时,

x  1
x
1 
2 x   2  2
 4 ,
 2x 

当且仅当 x  1 ，即 x  1 时，等号成立，此时2  x  1  取得最小值，
xx 

所以 a  4
【小问 3 详解】
不等式 f  x  2x  a 1 x2 1即为 x2  ax  3  2x  a 1 x2 1；整理可得 ax2  a  2 x  2  0 ；
当 a  0 时，不等式为2x  2  0 ，易知其解集为x | x  1 ；
当 a  0 时，不等式可分解为ax  2 x  1  0 ，其方程对应的两根分别为1, 2 ；
a
若 a  2 ，不等式等价为2  x 12  0 ，此时不等式解集为；
若 a  2 ，不等式解集为x | 1  x  2  ；
a 

若2  a  0 ，不等式解集为x | 2  x    ；
a1

若 a  0 ，不等式解集为x | x  2 或x    ；
a1

综上可知，当 a  0 时，不等式解集为x | x  1 ；当 a  2 时，不等式解集为；
当 a  2 时，不等式解集为 x | 1  x  2  ；
a 

当2  a  0 时，不等式解集为x | 2  x    ；
a1

当 a  0 时，不等式解集为x | x  2 或x    .
a1
