初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）实际问题与一元一次方程同步达标检测题

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）实际问题与一元一次方程同步达标检测题，共30页。试卷主要包含了利用一元一次方程的定义求参数，利用一元一次方程的解求参数，利用一元一次方程的整数解求参数，利用一元一次方程同解求参数等内容，欢迎下载使用。
类型一、利用一元一次方程的定义求参数
例1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知是关于的一元一次方程，则 ．
【变式1-1】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程，则 ．
【变式1-2】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程，则a的值为 ．
【变式1-3】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则 ．
类型二、利用一元一次方程的解求参数
例2．（25-26八年级上·重庆·开学考试）若是关于x的方程的解，则的值为 ．
【变式2-1】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）是方程的解，则m的值是
【变式2-2】（25-26七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程的解，则的值为 ．
【变式2-3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知方程的解为．则代数式的值为 ．
类型三、利用一元一次方程的整数解求参数
例3．（24-25七年级上·全国·假期作业）关于x的方程的解是正整数，则满足条件整数a的和是 ．
【变式3-1】（24-25七年级上·重庆酉阳·期末）已知关于x的方程的解为整数，且k为整数，则满足条件的所有k值的和为 ．
【变式3-2】（24-25七年级上·重庆渝北·期末）如果关于x的方程有整数解，且关于y的多项式为三次四项式，则所有符合条件的整数a的和为 ．
【变式3-3】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）已知为整数，关于的方程的解为非负整数．求满足条件的值的和 ．
类型四、利用一元一次方程同解求参数
例4．（24-25七年级下·湖南岳阳·开学考试）关于的方程与的解相同，则 ．
【变式4-1】（24-25六年级下·山东泰安·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为 ．
【变式4-2】（24-25七年级上·四川达州·期末）关于的方程与的解相同，则的值是 ．
【变式4-3】（24-25七年级上·重庆·期末）已知关于y的方程与的解相同，则 ．
类型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题
例5．（24-25七年级下·河南南阳·期中）【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”．
【运用】
(1)在①，②两个方程中，为“友好方程”的是______（填序号）
(2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值．
【变式5-1】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）对于任意有理数a、b、c、d，定义新运算：．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【变式5-2】（24-25七年级上·全国·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．
(1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由；
(2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值；
【变式5-3】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”，
例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”．
(1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”；
(2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值；
(3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值．
一、单选题
1．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）若关于的方程的解为，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．（24-25七年级上·广西贺州·期中）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（ ）
A．1B．C．D．2
3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）王涵同学在解关于的方程时，误将“”看作“”，得到方程的解为，那么原方程的解为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25七年级上·河南濮阳·阶段练习）已知关于的方程 有整数解，则的所有可能的取值的和为( )
A．B．C．D．
5．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）下列结论：
①若是关于x的方程的一个解，则；
②若有唯一的解，则；
③若，则关于x的方程的解为；
④若，且，则一定是方程的解；
其中结论正确个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题
6．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若是方程的解，则 ．
7．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ．
8．（2024七年级下·福建泉州·竞赛）若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ．
9．（24-25七年级下·四川巴中·开学考试）k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则 ．
10．（24-25六年级下·山东青岛·阶段练习）若方程是关于x的一元一次方程，则代数式的值是 ．
三、解答题
11．（23-24七年级下·福建泉州·期中）关于的方程是一元一次方程，求的值．
12．（24-25七年级上·吉林·期中）已知关于x的方程的解与的解互为相反数．
(1)求a的值；
(2)求代数式 的值．
13．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）（1）已知是方程的解，求m的值；
（2）方程的解与方程的解相同，求m的值．
14．（24-25七年级上·全国·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”．
(1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值；
(2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值．
15．（24-25七年级上·全国·期末）【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项．
例如：经过处理器得到．
【应用】若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题：
（1）填空：若，则 ；
（2）若，求关于x的方程的解；
【延伸】
（3）已知是关于x的二次多项式，若N是M经过上述处理器得到的整式．
①若满足，且，求m的值．
②若满足的解x是整数，求整数m的值．
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc1427" 典例详解
\l "_Tc18336" 类型一、利用一元一次方程的定义求参数
\l "_Tc5897" 类型二、利用一元一次方程的解求参数
\l "_Tc12943" 类型三、利用一元一次方程的整数解求参数
\l "_Tc9067" 类型四、利用一元一次方程同解求参数
\l "_Tc9339" 类型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题
\l "_Tc3217" 压轴专练
利用一元一次方程定义求参数
一、核心知识点
一元一次方程定义：只含一个未知数，未知数最高次数为1，且含未知数项的系数不为0的整式方程（标准形式：ax + b = 0，其中a ≠ 0，a、b为常数）。求参数需紧扣这两个核心条件：次数为1、系数不为0。
二、解题技巧
1.定次数：令未知数的次数等于1，列方程求参数可能值（如方程(m - 2)x|m| - 1 + 3 = 0是一元一次方程，先令|m| - 1 = 1，得m = ±2）。
2.验系数：排除使含未知数项系数为0的参数值（上例中m = 2时，系数m - 2 = 0，舍去，最终m = -2）。
3.验整式：确保方程是整式方程，排除分母含参数导致不是整式的情况。
利用一元一次方程的解求参数
一、核心知识点
方程的解能使等式左右两边相等，因此求参数的核心是将已知解代入原方程，把原方程转化为关于参数的新一元一次方程，再求解新方程得到参数值，本质是利用“解满足方程”的性质。
二、解题技巧
1.代入解：将已知的解（如x = 2）代入含参数的原方程（如2x + k = 7，代入得2×2 + k = 7）。
2.解参数方程：把代入后得到的方程（如4 + k = 7）当作普通一元一次方程，求解参数（得k = 3）。
3.特殊情况处理：若方程有“无数解”（如ax = b中a = 0且b = 0）或“无解”（a = 0且b ≠ 0），需根据系数关系列等式求参数。
利用一元一次方程整数解求参数
一、核心知识点
先将方程化为ax = b（a含参数，b为常数或含参数）的形式，根据“解为整数”的要求，得出参数需满足的整除关系（若x为整数，则b能被a整除，或整理后参数为整数相关表达式），同时结合参数自身限制条件（如整数、正整数等）求解。
二、解题技巧
1. 化简方程：将原方程整理为x = mn（m、n含参数）的形式（如(k + 1)x = 6，得x = 6k+1 ）。
2. 分析整除性：因x为整数，故n是m的约数（如上例中k + 1是6的正负约数：±1、±2、±3、±6）。
3. 求参数值：根据约数列出方程求参数（如k + 1 = 1得k = 0），并检验参数是否使原方程系数不为0。
利用一元一次方程同解求参数
一、核心知识点
同解方程指解相同的方程，解题核心是分别求出两个方程的解（或化为含参数的解的表达式），再根据“解相等”列等式，进而求解参数；若方程含多个参数，需结合等式基本性质分析系数关系。
二、解题技巧
1.求方程解：分别解两个含参数的一元一次方程，化为x = m（m为含参数的表达式）的形式。
2.列等式求解：令两个解相等，列关于参数的新方程（如方程1的解x = 2k，方程2的解x = k + 3，则2k = k + 3），解出新参数。
3.检验：将参数值代入原方程，验证两方程解是否一致，确保结果正确。
含字母参数的一元一次方程新定义型问题
一、核心知识点
新定义型问题需先理解题目给出的新规则（如自定义运算“⊕”“※”、新方程类型），再结合一元一次方程定义（未知数次数为1、系数不为0） 和等式性质，将新定义转化为常规一元一次方程，进而求解参数或方程的解。
二、解题技巧
1.解读定义：明确新定义的运算规则或方程条件（如定义“a※b = ax + b”，则“3※2 = 0”即3x + 2 = 0）。
2.转化方程：根据新定义列出含参数的一元一次方程，确保符合“一次”“整式”“系数非0”条件。
3.求解验证：按常规步骤解转化后的方程，结合参数限制（如整数、正数）确定结果，代入新定义检验是否符合题意。
专题08 一元一次方程中含参数问题的五类综合题型
类型一、利用一元一次方程的定义求参数
例1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程”是解题的关键．根据一元一次方程的定义即可求解．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴，
解得：．
故答案为：3．
【变式1-1】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键．
根据一元一次方程的定义列式求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：
【变式1-2】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是 1 （次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a， b是常数且）．根据一元一次方程的定义求解即可．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
且，
解得：．
故答案为：．
【变式1-3】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元一次方程的概念，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，含有一个未知数并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程．
根据一元一次方程的定义，指数是1，系数不等于0列方程解答即可．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴且，
∴．
故答案为：2．
类型二、利用一元一次方程的解求参数
例2．（25-26八年级上·重庆·开学考试）若是关于x的方程的解，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是能得出关于m的一元一次方程．
把代入方程，即可求解．
【详解】解：∵是关于x的方程的解，
∴，
即．
故答案为：
【变式2-1】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）是方程的解，则m的值是
【答案】
【分析】本题考查了方程的解的概念及一元一次方程的求解，解题的关键是将方程的解代入原方程，建立关于m的方程并求解．根据方程的解的定义，把代入方程；得到含m的一元一次方程后，通过移项、计算得出m的值．
【详解】解：∵是方程的解，
∴将代入方程得．
即．
合并同类项得．
移项得．
故答案为：．
【变式2-2】（25-26七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程的解，则的值为 ．
【答案】2026
【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，先根据方程的解满足方程求得，再代值求解即可．
【详解】解：把代入关于x的一元一次方程中，得，
所以．
故答案为：2026
【变式2-3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知方程的解为．则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据方程的解为，可以求得的值，然后整体代入所求式子计算即可．
【详解】解：方程的解为，
，
，
，
故答案为：．
类型三、利用一元一次方程的整数解求参数
例3．（24-25七年级上·全国·假期作业）关于x的方程的解是正整数，则满足条件整数a的和是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值．把a看作已知数表示出方程的解，由方程的解为正整数，确定出整数a的值即可．
【详解】解：方程整理得：，
解得： ，
由方程的解为正整数，即为正整数，
∴或3，
∴整数，4共2个，和为；
故答案为：6．
【变式3-1】（24-25七年级上·重庆酉阳·期末）已知关于x的方程的解为整数，且k为整数，则满足条件的所有k值的和为 ．
【答案】8
【分析】本题考查一元一次方程的解和一元一次方程的解法．先求方程的解得，再由已知可得或，求出k的值即可．
【详解】解：，
去括号得，，
移项、合并同类项，得，
解得，
∵方程的解为整数，
∴或，
∴或或或，
∴所有k值的和为
故答案为：8
【变式3-2】（24-25七年级上·重庆渝北·期末）如果关于x的方程有整数解，且关于y的多项式为三次四项式，则所有符合条件的整数a的和为 ．
【答案】
【分析】先解含有字母参数a的一元一次方程，求出x，然后再根据方程有整数解，列出关于a的方程，解方程求出a，最后根据关于y的多项式为三次四项式求出符合条件的所有整数a的值，再相加计算即可．
【详解】解：
，
∵关于x的方程有整数解，
∴或或或，
解得或或或或或或或，
又∵关于y的多项式为三次四项式，
∴，
解得，
∴所有符合条件的整数a为－1，，，
∴它们的和为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式和解一元一次方程，解题关键是根据一元一次方程解的定义和条件求出a．
【变式3-3】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）已知为整数，关于的方程的解为非负整数．求满足条件的值的和 ．
【答案】
【分析】本题主要考查方程的整数解，先求出含有参数的方程的解，并列举出它是整数的所有可能性，再求出的整数值，最后求出这些值之和即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∵为整数，方程的解为非负整数，
∴是非负整数，
∴或或，
解得：或（不符合题意舍去）或，
∴符合条件的值的和为．
故答案为：．
类型四、利用一元一次方程同解求参数
例4．（24-25七年级下·湖南岳阳·开学考试）关于的方程与的解相同，则 ．
【答案】1
【分析】先求的解，得到方程的解，代入计算即可．本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：解方程，解得，
∵方程与的解相同，
∴方程的解为，
∴，
解得，
故答案为：1．
【变式4-1】（24-25六年级下·山东泰安·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查一元一次方程同解问题，熟练掌握一元一次方程的计算是解题的关键．根据解出，将代入即可得到答案．
【详解】解：，
解得，
方程的解与关于x的方程的解相同，
将代入，
即，
，
故答案为：．
【变式4-2】（24-25七年级上·四川达州·期末）关于的方程与的解相同，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程解的定义是解题的关键．
先解方程，根据题意，将，代入，解关于的一元一次方程即可求解．
【详解】解：，
解得：，
∵关于的方程与的解相同，
将，代入，得，
解得：，
故答案为：．
【变式4-3】（24-25七年级上·重庆·期末）已知关于y的方程与的解相同，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一元一次方程同解问题，解决的关键是能够求解关于y的方程，根据同解的定义建立方程．分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于m的方程，从而可以求出m的值．
【详解】解：由，得，
由，得，
由关于的方程与的解相同，得
，
解得．
故答案为：．
类型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题
例5．（24-25七年级下·河南南阳·期中）【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”．
【运用】
(1)在①，②两个方程中，为“友好方程”的是______（填序号）
(2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值．
【答案】(1)①
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意和熟知解一元一次方程的方法是解题的关键．
（1）分别计算方程求出两个方程的解，再根据“友好方程”的定义判断即可；
（2）先解方程得到方程的解，再根据“友好方程”的定义得到关于b的方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：解方程得，
∵，
∴方程是“友好方程”；
解方程得，
∵，
∴方程不是“友好方程”；
（2）解：解方程得，
∵关于x的一元一次方程是“友好方程”，
∴，
∴．
【变式5-1】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）对于任意有理数a、b、c、d，定义新运算：．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)7
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能正确根据等式的性质进行变形是解（2）的关键．
（1）已知等式利用题中的新定义运算计算即可；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可得到的值．
【详解】（1）解：．
（2）解：因为，
所以，
解得．
【变式5-2】（24-25七年级上·全国·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．
(1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由；
(2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值；
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元一次方程的求解，熟记相关求解步骤是解题关键．
（1）分别求出两方程的解，再根据“和谐方程”的定义解答即可；
（2）分别求出两方程的解，再根据“和谐方程”的定义得到关于m的方程，解出即可．
【详解】（1）解：方程与方程是“和谐方程”，理由如下：
由，解得；
由，解得；
∵，
∴方程与方程是“和谐方程”．
（2）解：由，解得；
由，解得；
∵方程与方程是“和谐方程”，
∴，
解得．
【变式5-3】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”，
例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”．
(1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”；
(2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值；
(3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)或
(3)
【分析】本题考查的是新定义的含义，一元一次方程的解法，绝对值方程的应用；
（1）由方程的解是，方程的解是，再利用新定义的含义计算并判断即可；
（2）分别解方程，，再结合新定义可得：，即，进一步求解即可；
（3）分别解方程，，可得，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：方程的解是；
方程的解是．
根据题意可得，
∴这两个方程是“4差解友好方程”；
（2）解：∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”
∴，即，
∴或，
解得：或；
（3）解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
∵关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
一、单选题
1．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）若关于的方程的解为，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程解的性质，将已知解代入方程，解关于的一元一次方程即可．
【详解】解：已知方程的解为，
将代入方程：，
解得：．
故选：A．
2．（24-25七年级上·广西贺州·期中）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的定义．
根据一元一次方程的定义，未知数的次数必须为1，且系数不为0，由此确定，求解的值即可．
【详解】解：由题意，方程是关于的一元一次方程，
因此的指数必须为1．
即，
得或，
即的值为．
故选：C．
3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）王涵同学在解关于的方程时，误将“”看作“”，得到方程的解为，那么原方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用．先按计算出，再将计算出的值，代入原方程再一次解方程即可得出答案．
【详解】解：王涵同学在解关于的方程时，误将“”看作“”，得到方程的解为，
，
解得：，
，
，
原方程为，
解得：，
故选：B．
4．（24-25七年级上·河南濮阳·阶段练习）已知关于的方程 有整数解，则的所有可能的取值的和为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般步骤解方程，再根据整数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
将系数化为1，得
是整数解
∴
或，，，，，，
则
故选：C．
5．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）下列结论：
①若是关于x的方程的一个解，则；
②若有唯一的解，则；
③若，则关于x的方程的解为；
④若，且，则一定是方程的解；
其中结论正确个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】本题主要考查了方程解的定义，解一元一次方程；方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，理解定义是关键．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等，根据方程的解的定义，逐项分析判断，即可求解．
【详解】①把代入得：，故结论①正确；
②方程可化简为．
若，则方程解为（唯一解）．
若，方程变为，有无穷多解．
题目中“有唯一解”需满足，故结论②正确．
③，则，方程移项，得：，则，则结论③错误；
④把代入1，方程一定成立，则一定是方程的解，结论④正确．
故选：B．
二、填空题
6．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若是方程的解，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了一元一次方程的解求参数，把方程的解代入计算即可．
【详解】解：若是方程的解，
∴，
解得，，
故答案为：4 ．
7．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查解整式方程．根据题意利用错误计算还原，即可得到本题答案．
【详解】解：由小玉的解法可知去分母后的方程为
，
解得，
∵，
∴，
解得．
故答案为：3．
8．（2024七年级下·福建泉州·竞赛）若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解．
整理原式得出，根据方程的解为1，得出，然后代数求解即可．
【详解】解：
把代入得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（24-25七年级下·四川巴中·开学考试）k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求字母的值，先求出一元一次方程的解，然后根据一元一次方程有正整数解确定的取值即可，正确求出一元一次方程的解是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵关于的一元一次方程有正整数解，
∴，
∴，
∴或或，
∴或或，
故答案为：或或．
10．（24-25六年级下·山东青岛·阶段练习）若方程是关于x的一元一次方程，则代数式的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及代数式求值．根据一元一次方程的定义，可求出m的值．在将m代入代数式计算即可．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：1．
三、解答题
11．（23-24七年级下·福建泉州·期中）关于的方程是一元一次方程，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的知识，由一次方程的定义，列关于的方程，通过求解即可得到答案．解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，从而完成求解．
【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程
∴且，
由得：或
∵，即，
∴．
12．（24-25七年级上·吉林·期中）已知关于x的方程的解与的解互为相反数．
(1)求a的值；
(2)求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解．
（1）先求出第二个方程的解，得出第一个方程的解是，把代入第一个方程，再求出a即可；
（2）将（1）中所得a的值代入所求式子计算即可．
【详解】（1）解：解方程得：，
∵两个方程的解互为相反数，
∴另一个方程的解为，
把代入方程得：
，
解得：；
（2）解：∵，
∴．
13．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）（1）已知是方程的解，求m的值；
（2）方程的解与方程的解相同，求m的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查方程的解，同解方程，熟练掌握方程的解的定义，解一元一次方程的步骤是解题的关键：
（1）把代入方程，进行求解即可；
（2）求出方程的解，再把解代入中，进行求解即可．
【详解】解：（1）把代入，得：，
∴，
解得：；
（2）∵，
∴，
解得：，
把代入，得：，
∴，
解得：．
14．（24-25七年级上·全国·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”．
(1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值；
(2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值．
【答案】(1)
(2)3或
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．
（1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可；
（2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为，，由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可．
【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：，
方程的解为：，
∵关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，
∴，
∴；
（2）解：∵“阳光方程”的一个解为，则另一个解为，
∵这两个“阳光方程”的解的差为5，
则或，
解得或．
故k的值为3或．
15．（24-25七年级上·全国·期末）【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项．
例如：经过处理器得到．
【应用】若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题：
（1）填空：若，则 ；
（2）若，求关于x的方程的解；
【延伸】
（3）已知是关于x的二次多项式，若N是M经过上述处理器得到的整式．
①若满足，且，求m的值．
②若满足的解x是整数，求整数m的值．
【答案】（1）；（2）；（3），整数m的值是0或4或
【分析】本题考查了新定义运算，多项式的定义，一元一次方程，根据题意列出一次多项式是解题的关键．
（1）根据题意进行计算即可求解；
（2）根据题意，得出，进而解方程即可求解；
（3）①根据题意得，又，得出，进而即可求解．②根据题意得，得出，根据 x， m都是整数，得出，进而即可求解．
【详解】解：（1）根据题目中整式处理器的处理方法可得：；
（2）由题可知，，
可得，
又 ∵，
∴，
解得：，
∴关于的方程的解为 1 ．
（3）①由题可知，经过处理器得到的整式，
则，
同时，，
∴，
∵，
∴，
．
②根据题意可得，则，
∴，
∵ x， m都是整数，
，
∴舍去，
∴整数的值是 0 或 4 或．
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc1427" 典例详解
\l "_Tc18336" 类型一、利用一元一次方程的定义求参数
\l "_Tc5897" 类型二、利用一元一次方程的解求参数
\l "_Tc12943" 类型三、利用一元一次方程的整数解求参数
\l "_Tc9067" 类型四、利用一元一次方程同解求参数
\l "_Tc9339" 类型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题
\l "_Tc3217" 压轴专练
利用一元一次方程定义求参数
一、核心知识点
一元一次方程定义：只含一个未知数，未知数最高次数为1，且含未知数项的系数不为0的整式方程（标准形式：ax + b = 0，其中a ≠ 0，a、b为常数）。求参数需紧扣这两个核心条件：次数为1、系数不为0。
二、解题技巧
1.定次数：令未知数的次数等于1，列方程求参数可能值（如方程(m - 2)x|m| - 1 + 3 = 0是一元一次方程，先令|m| - 1 = 1，得m = ±2）。
2.验系数：排除使含未知数项系数为0的参数值（上例中m = 2时，系数m - 2 = 0，舍去，最终m = -2）。
3.验整式：确保方程是整式方程，排除分母含参数导致不是整式的情况。
利用一元一次方程的解求参数
一、核心知识点
方程的解能使等式左右两边相等，因此求参数的核心是将已知解代入原方程，把原方程转化为关于参数的新一元一次方程，再求解新方程得到参数值，本质是利用“解满足方程”的性质。
二、解题技巧
1.代入解：将已知的解（如x = 2）代入含参数的原方程（如2x + k = 7，代入得2×2 + k = 7）。
2.解参数方程：把代入后得到的方程（如4 + k = 7）当作普通一元一次方程，求解参数（得k = 3）。
3.特殊情况处理：若方程有“无数解”（如ax = b中a = 0且b = 0）或“无解”（a = 0且b ≠ 0），需根据系数关系列等式求参数。
利用一元一次方程整数解求参数
一、核心知识点
先将方程化为ax = b（a含参数，b为常数或含参数）的形式，根据“解为整数”的要求，得出参数需满足的整除关系（若x为整数，则b能被a整除，或整理后参数为整数相关表达式），同时结合参数自身限制条件（如整数、正整数等）求解。
二、解题技巧
1. 化简方程：将原方程整理为x = mn（m、n含参数）的形式（如(k + 1)x = 6，得x = 6k+1 ）。
2. 分析整除性：因x为整数，故n是m的约数（如上例中k + 1是6的正负约数：±1、±2、±3、±6）。
3. 求参数值：根据约数列出方程求参数（如k + 1 = 1得k = 0），并检验参数是否使原方程系数不为0。
利用一元一次方程同解求参数
一、核心知识点
同解方程指解相同的方程，解题核心是分别求出两个方程的解（或化为含参数的解的表达式），再根据“解相等”列等式，进而求解参数；若方程含多个参数，需结合等式基本性质分析系数关系。
二、解题技巧
1.求方程解：分别解两个含参数的一元一次方程，化为x = m（m为含参数的表达式）的形式。
2.列等式求解：令两个解相等，列关于参数的新方程（如方程1的解x = 2k，方程2的解x = k + 3，则2k = k + 3），解出新参数。
3.检验：将参数值代入原方程，验证两方程解是否一致，确保结果正确。
含字母参数的一元一次方程新定义型问题
一、核心知识点
新定义型问题需先理解题目给出的新规则（如自定义运算“⊕”“※”、新方程类型），再结合一元一次方程定义（未知数次数为1、系数不为0） 和等式性质，将新定义转化为常规一元一次方程，进而求解参数或方程的解。
二、解题技巧
1.解读定义：明确新定义的运算规则或方程条件（如定义“a※b = ax + b”，则“3※2 = 0”即3x + 2 = 0）。
2.转化方程：根据新定义列出含参数的一元一次方程，确保符合“一次”“整式”“系数非0”条件。
3.求解验证：按常规步骤解转化后的方程，结合参数限制（如整数、正数）确定结果，代入新定义检验是否符合题意。