江西省上饶市余干县蓝天中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

这是一份江西省上饶市余干县蓝天中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
已知直线 a 与平面α没有公共点，直线b α，则 a 与b 的位置关系是（ ）
A. 平行B. 异面C. 相交D. 平行或异面
点 P 是平面α外一点，过点 P 且平行于平面α的平面有（）个
A. 0B. 1C. 2D. 无数
已知正方体 ABCD  A1B1C1D1 的棱长为 1，则直线 A1D 与 AC 所成角的正弦值为（ ）
2
A. 0B. 1
C.2
2
D.3
2
7
3
7
在三棱锥 P－ABC 中，PC⊥平面 ABC，△ABC 是边长为 4 的正三角形，PC＝4，M 是 AB 边上的一动点，则 PM 的最小值为（）
3
A. 2
B. 2
C. 4
D. 4
已知两点 Aa, 3, B 1,  2 ，若直线 AB 的倾斜角为135 ，则 a 的值为（ ）
6
6C. 4
D. 4
过点1, 2 且与直线 y  2x  3 斜率相等的直线方程为（）
y  2  2  x 1
C. y  2  2  x 1
y 1  2  x  2
D. y 1  2  x  2
若直线l1: : a  2 x  y 1  0 与直线l2 : 2x  a 1 y  2  0 互相平行，则实数 a 的值为（）
A. 0B. 1C. 0 或 1D. 0 或-1
已知三棱锥 P  ABC 的底面 ABC 与侧面 PAB 均是边长为 2 的正三角形，且平面 PAB  平面 ABC ，则该三棱锥外接球的表面积是（）
5 π 3
10 π 3
20 π 3
25 π 3
二、多选题
在棱长均为 2 的正三棱柱 ABC  A1B1C1 中，D 是棱 AC 的中点，则（ ）
BD ∥ B1C1B. BD  C1D
C. 平面 BDC1  平面 ABCD. 平面 BDC1  平面 ACC1 A1
已知直线l1 : ax  y  3a  0 ，直线l2 : 2x  a 1 y  6  0 ，则（ ）
当 a  3 时， l1 与l2 的交点为3, 0
直线l1 恒过点3, 0
若l  l ，则 a  1
123
D. 存在 a  R ，使l1//l2
已知点 M 1,1, N 2,1 ，且点 P 在直线l : x  y  2  0 上，则（）
存在点 P ，使得 PM  PN
存在点 P ，使得2 PM  PN
PM
 PN
的最小值为
29
若 P a, b ，则 a2  b2 的最小值为 1
三、填空题
如图所示，正方形OABC 为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且OA  2 ，则原平面图形的面积为.
已知直线 l 经过点2,  3 , 3, 0 ，则直线 l 的倾斜角为.
直线 x  y  b  0 与线段 AB 没有公共点，其中 A1, 2 ， B 3, 3 ，则实数 b 的取值范围是.
四、解答题
如图，在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点．
求证： BD1 / / 平面 AEC ；
若 F 为CC1 的中点，判断并证明平面 AEC 和平面 BFD1 的位置关系．
如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA⊥平面 ABCD， PA  AD  2 ，
BD  AC  O ．
证明：BD⏊平面 PAC；
求三棱锥 P  ABO 的表面积．
已知 A1, 2 ， B 2,1 ， C 0, m 三点．
若过 A, C 两点的直线的倾斜角为 45°，求 m 的值．
A, B,C 三点可能共线吗？若能，求出 m 值．
根据下列条件，写出直线方程的一般式：
经过点0, 2 ，且倾斜角为 π ；
3
经过点2, 3 和点1,0
经过点2,1 ，在 x，y 轴上有相等的截距．
已知V ABC 三个顶点分别为 A1,1 ， B 1, 3 ， C 3, 1 .
求 AB 边上的高线长；
过V ABC 内一点 P 1, 0 有一条直线l 与边 AB ， AC 分别交于点 M ， N ，且点 P 平分线段 MN ，求直线l 的方程.
蓝天中学高二年级第一次月考数学试卷
一、单选题
已知直线 a 与平面α没有公共点，直线b α，则 a 与b 的位置关系是（ ）
A. 平行B. 异面C. 相交D. 平行或异面
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间线面、线线的位置关系直接判断即可.
【详解】依题意可知 a Pα，而b α，所以 a，b 没有公共点，a 与 b 可能异面或平行.
故选：D
【分析】假设过点 P 且平行于平面α的平面有两个β,γ，可判断β,γ重合.
【详解】假设过点 P 且平行于平面α的平面有两个β,γ， 则由面面平行的性质知β//γ，
又β,γ都过 P 点，故β,γ重合，
所以过点 P 且平行于平面α的平面只有一个.故选：B
已知正方体 ABCD  A1B1C1D1 的棱长为 1，则直线 A1D 与 AC 所成角的正弦值为（ ）
2. 点 P 是平面α外一点，过点 P
且平行于平面α的平面有（
）个
A. 0
B. 1
C. 2
D. 无数
【答案】B
【解析】
2
A. 0B. 1
C.2
2
D.3
2
【答案】D
【解析】
【分析】由正方体可得 A1D B1C ，可得B1CA 是异面直线直线 A1D 与 AC 所成的角，进而求解即可.
【详解】在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，可得 A1B1 ∥ AB ∥CD ， A1B1  AB  CD ，所以四边形 A1B1CD 是平行四边形，所以 A1D B1C ，
所以B1CA 是异面直线直线 A1D 与 AC 所成的角，又易得VB1CA 是等边三角形，所以B1CA  60 ，
所以sin B CA 3 ，所以直线 A1D 与 AC 所成角的正弦值为 3 .
122
故选：D.
7
3
7
在三棱锥 P－ABC 中，PC⊥平面 ABC，△ABC 是边长为 4 的正三角形，PC＝4，M 是 AB 边上的一动点，则 PM 的最小值为（）
3
A. 2
B. 2
C. 4
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面垂直得出 PC⊥CM，利用勾股定理及正三角形的性质可得答案.
【详解】如图，连接 CM，因为 PC⊥平面 ABC， CM  平面 ABC，所以 PC⊥CM，
PC 2  CM 2
16  CM 2
因为 PC＝4，所以 PM ，
要求 PM 的最小值只需求出 CM 的最小值即可，在△ABC 中，当 CM⊥AB 时 CM 有最小值，
此时有CM  4 
3  2
3
2
，所以 PM 的最小值为2.
7
故选：B.
已知两点 Aa, 3, B 1,  2 ，若直线 AB 的倾斜角为135 ，则 a 的值为（ ）
6
6C. 4
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知直线 AB 的斜率 k  1 ，再结合斜率公式运算求解.
【详解】因为直线 AB 的倾斜角为135 ，则直线 AB 的斜率 k  tan135  1，
又因为 Aa, 3, B 1,  2 ，则 3  2  1 ，解得 a  4 .
a 1
故选：C.
过点1, 2 且与直线 y  2x  3 斜率相等的直线方程为（）
y  2  2  x 1
C. y  2  2  x 1
y 1  2  x  2
D. y 1  2  x  2
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线的点斜式方程得到直线方程.
【详解】直线斜率为 2 且过点1, 2 ，由点斜式方程得 y  2  2  x 1 ．故选：A．
若直线l1: : a  2 x  y 1  0 与直线l2 : 2x  a 1 y  2  0 互相平行，则实数 a 的值为（）
A. 0B. 1C. 0 或 1D. 0 或-1
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行直线的性质进行求解即可.
【详解】因为直线l1 : a  2 x  y 1  0 与直线l2 : 2x  a 1 y  2  0 互相平行，所以有a  2  a 1  1 2 且a  22  1 2 ，
解得 a  0 ，
故选：A
已知三棱锥 P  ABC 的底面 ABC 与侧面 PAB 均是边长为 2 的正三角形，且平面 PAB  平面 ABC ，则该三棱锥外接球的表面积是（）
5 π
3
10 π
3
20 π
3
25 π
3
【答案】C
【解析】
【分析】作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，找到球心的位置，设OF  h ，连接OP, OC ，利用半
径相等得到方程，求出 h 
3 ，进而求出外接球半径和表面积.
3
【详解】取 AB 的中点 E ，连接CE ， PE ，
因为底面 ABC 与侧面 PAB 均是边长为 2 的正三角形，所以CE ⊥ AB ， PE ⊥ AB ，
因为平面 PAB  平面 ABC ，交线为 AB ，且 PE  平面 PAB ，所以 PE ⊥平面 ABC ，
在CE 上取点 F ，使得CF  2EF ，故 F 为等边三角形 ABC 的中心，该三棱锥外接球的球心O 在平面 ABC 上的投影为 F ，
3
其中 PE  CE  2 sin 60 ， EF  1 CE 3 ， CF  2 CE  2 3 ，
3333
设OF  h ，连接OP, OC ，过点O 作OG ⊥ PE 于点G ，
3
则 EG  OF  h ， PG  h ， OG  EF 3 ，
3
设OP  OC  R ，则CF 2  OF 2  OG2  PG2  R2 ，
22
 2 3 23 23
3
即

 3   h
 3 
 
 h
，解得 h ，
3

 2 3 2
3 25
20π
所以 R2  
  
，该三棱锥外接球的表面积是4πR2 .

故选：C
3  3 33
二、多选题
在棱长均为 2 的正三棱柱 ABC  A1B1C1 中，D 是棱 AC 的中点，则（ ）
BD ∥ B1C1B. BD  C1D
C. 平面 BDC1  平面 ABCD. 平面 BDC1  平面 ACC1 A1
【答案】BD
【解析】
【分析】根据正三棱柱的性质以及相关判定定理，对每个选项逐一进行分析判断.
【详解】在正三棱柱中， BC ∥ B1C1 ，又 BD  BC  B ，故 BD 与 B1C1 不平行，A 错误；
2
3
5
由题得C1B  2， BD ， C1D ，
所以C B2  BD2  C D2 ，所以 BD  C D ，B 正确；
111
因为C1D  平面 BDC1 ， AC  平面 ABC ， C1D ∩ AC = D ，
且 D 在平面 BDC1 与平面 ABC 的交线上， C1D 与 AC 不垂直，所以平面 BDC1 与平面 ABC 不垂直，C 错误；
因为V ABC 是正三角形， D 是 AC 的中点，所以 BD  AC ，
又 BD  C1 D ，且 AC ∩ C1D  D ， AC ， C1D  平面 ACC1 A1 ，所以 BD ⊥平面 ACC1 A1 ，又 BD  平面 BDC1 ，所以平面 BDC1  平面 ACC1 A1 ，D 正确．
故选：BD.
已知直线l1 : ax  y  3a  0 ，直线l2 : 2x  a 1 y  6  0 ，则（ ）
当 a  3 时， l1 与l2 的交点为3, 0
直线l1 恒过点3, 0
若l  l ，则 a  1
123
存在 a  R ，使l1//l2
【答案】ABC
【解析】
【分析】A 选项，联立两直线方程，求出交点坐标；B 选项，变形得到 a  x  3  y  0 ，从而得到
x  3  0 ，求出定点坐标；C 选项，根据两直线垂直得到方程，求出 a  1 ；D 选项，根据两直线平行

 y  03
得到方程，求出 a  2 或 a  1 ，检验后得到结论.
【详解】对于 A，当 a  3 时，直线l1 : 3x  y  9  0 ，直线l2 : 2x  2 y  6  0 ，
 3x  y  9  0

联立2x  2 y  6  0
，解得x  3 ，所以两直线的交点为3, 0 ，故 A 正确；
 y  0

对于 B，直线l : ax  y  3a  0 ，即 a  x  3  y  0 ，令x  3  0 ，即x  3 ，


1
所以直线l1 恒过点3, 0 ，故 B 正确；
 y  0
 y  0
对于 C：若l  l ，则2a  a 1  0 ，解得 a  1 ，故 C 正确；
123
对于 D，假设存在 a  R ，使l1//l2 ，则 a a 1 1 2  0 ，解得 a  2 或 a  1 ，当 a  2 ， l1 : 2x  y  6  0 ， l2 : 2x  y  6  0 ，两直线重合，舍去，
当 a  1 时， l1 : x  y  3  0 ，即 x  y  3  0 ，
l2 : 2x  2 y  6  0 ，即 x  y  3  0 ，两直线重合，舍去，所以不存在 a  R ，使l1//l2 ，故 D 错误．
故选：ABC．
已知点 M 1,1, N 2,1 ，且点 P 在直线l : x  y  2  0 上，则（）
存在点 P ，使得 PM  PN
存在点 P ，使得2 PM  PN
29
PM  PN 的最小值为
若 P a, b ，则 a2  b2 的最小值为 1
【答案】BC
【解析】
【分析】对于 A，设 P a, a  2 ，分 a  1 ， a  2 和a  1且 a  2 三类情况，利用斜率判断 PM 与 PN是否垂直即可；对于 B，设 P a, a  2 ，通过将坐标代入等式，利用方程有实根即可判断；对于 C，通过作点关于直线的对称点，利用三点共线时线段和最短即可判断；对于 D，通过消元后化成二次函数，利用其
性质求得最小值即可判断.
【详解】对于 A：依题意，设 P a, a  2 ，
当 a  1 时， P 1, 1 ，此时 PM  x 轴，但 kPN
 11  2  0 ，此时 PM 与 PN 不垂直；
1 23
同理当 a  2 时， P 2, 4 ，此时 PM 与 PN 不垂直；
而当a  1且 a  2 时，由 k k a  3 a  3  1 ，可得2a2  5a  7  0,
PMPNa 1 · a  2
该方程无实数解，此时 PM 与 PN 不垂直.
(a  2)2  (a  3)2
综上可知，不存在点 P ，使得 PM  PN ，故 A 错误； 对于 B：设 P a, a  2 ，由 M 1,1, N 2,1 ， 2 PM
 PN ，
(a 1)2  (a  3)2
可得2

，化简得2a2 10a  9  0 ，
因Δ  102  4  2  9  28  0 ，则方程有解，故存在点 P ，使得2 PM
对于 C：如图设 M 1,1 关于直线l 的对称点为 M m, n ，
 n 1  1
 PN
，故 B 正确；
 m 1
则 m 1
n 1
，解得m  3 ，即 M 3, 1 ，

n  1
 2  0
 22
所以 PM
 PN
 PM   PN
 M N

，
(3  2)2  (11)2
29
当且仅当 M ､P､N 三点共线时取等号（ P 在两点 M , N 之间），故 C 正确：
对于 D，因b  a  2 ，则 a2  b2  a2  (a  2)2  2a2  4a  4  2(a 1)2  2  2 ，当 a  1 时等号成立，故 a2  b2 的最小值为 2，故 D 错误.
故选：BC.
三、填空题
如图所示，正方形OABC 为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且OA  2 ，则原平面图形的面积为.
2
【答案】8
【解析】
【分析】利用斜二测画法，可得原图形是平行四边形，求得一边长及这边上的高即可求面积.
【详解】因为正方形OABC 为一个平面图形的水平直观图，
2
所以可得原图形OABC 是一平行四边形，且OA  2 ， OB  OA ， OB  2OB  4，
2
所以平行四边形OABC 的面积为2  4
 8.
2
2
故答案为： 8.
已知直线 l 经过点2, 
【答案】60
3 , 3, 0 ，则直线 l 的倾斜角为.
【解析】
【分析】求出直线l 的斜率，进而求出其倾斜角.
【详解】依题意，直线l 的斜率 k  
3  0 ，
3
2  3
所以直线 l 的倾斜角为60 .
故答案为： 60
直线 x  y  b  0 与线段 AB 没有公共点，其中 A1, 2 ， B 3, 3 ，则实数 b 的取值范围是.
【答案】∞, 3 0, ∞
【解析】
【分析】数形结合即可求得b 的取值范围.
【详解】由题可知，当直线 y=−x−b 经过点 A(1, 2) 时b  3 ， 当直线 y=−x−b 经过点 B(3, 3) 时b  0 ，
当直线 x  y  b  0 与线段 AB 没有公共点，
则b  3 或b  0 .
故答案为： ∞, 3 0, ∞ .
四、解答题
如图，在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点．
求证： BD1 / / 平面 AEC ；
若 F 为CC1 的中点，判断并证明平面 AEC 和平面 BFD1 的位置关系．
【答案】（1）证明见解析；
（2）平面 AEC / / 平面 BFD1 ，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）连接 BD ，交 AC 于G ，易得 EG / / BD1 ，再由线面平行的判定证明结论；
（2）先证 FD1 / /CE ，利用线面平行的判定得 FD1 / / 平面 AEC ，结合（1）及面面平行的判定证明面面平行.
【小问 1 详解】
连接 BD ，交 AC 于G ，连接 EG ，由正方体的结构易知G 为 BD 的中点，又 E 为 DD1 的中点，则 EG / / BD1 ， EG  平面 AEC ， BD1  平面 AEC ，
所以 BD1 / / 平面 AEC ；
【小问 2 详解】
平面 AEC / / 平面 BFD1 ，证明如下：由 F 为CC1 的中点，连接 BF , FD1 ；
E 为 DD1 的中点，易知 ED1 / /CF , ED1  CF ，所以CFD1E 为平行四边形，则 FD1 / /CE ，
由CE  平面 AEC ， FD1  平面 AEC ，则 FD1 / / 平面 AEC ，
由（1） BD1 / / 平面 AEC ，且 BD1 ∩ FD1  D1 ， BD1, FD1  平面 BFD1 ，所以平面 AEC / / 平面 BFD1 .
如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA⊥平面 ABCD， PA  AD  2 ，
BD  AC  O ．
证明：BD⏊平面 PAC；
求三棱锥 P  ABO 的表面积．
【答案】（1）证明见解析
2
3
（2） 3 
【解析】
【分析】（1）先由线面垂直的性质定理得证 PA  BD ，然后由线面垂直的判定定理得证结论；
（2）证明三棱锥 P  ABO 的四个面都是直角三角形，然后计算表面积．
【小问 1 详解】
∵ PA 平面 ABCD， BD  平面 ABCD，
∴ PA  BD ，又底面 ABCD 为正方形，∴ AC  BD ，
又 PA  AC  A ， PA, AC  平面 PAC ，∴ BD  平面 PAC；
【小问 2 详解】
连接 PO，∵ PA 平面 ABCD， AO, AB  平面 ABCD ，∴ PA  AO ， PA  AB ，∴VPAO ，
△PAB 为直角三角形，
同理由（1）中 BD  平面 PAC 可得△POB 为直角三角形，又△ABO 是直角三角形，
2
4  2
6
由题意可得 PA  AD  AB  2 ， AO  BO ， PO ，
6
2
其表面积 1  2  2  1  2  2  1  2  1  2 
2222
2
3
2
3
 2 1  3 
2
3
∴三棱锥 P  ABO 的表面积为3 ．
已知 A1, 2 ， B 2,1 ， C 0, m 三点．
若过 A, C 两点的直线的倾斜角为 45°，求 m 的值．
A, B,C 三点可能共线吗？若能，求出 m 值．
【答案】（1）1（2）3
【解析】
【分析】（1）利用斜率与倾斜角的关系式及斜率公式即可求解；
A, B,C 三点共线，则kAB  kAC ，结合斜率公式即可求解.
【小问 1 详解】
过 A, C 两点的直线斜率 k  tan 45∘  1 ，
所以 k  m  2  1，解得 m  1.
0 1
【小问 2 详解】
kAB
 1 2  1 ， k
2 1AC
 m  2  2  m ，
0 1
若 A, B,C 三点共线，则kAB  kAC ，
即2  m  1 ，解得 m  3 ，
所以当 m  3 时， A, B,C 三点共线.
根据下列条件，写出直线方程的一般式：
经过点0, 2 ，且倾斜角为 π ；
3
经过点2, 3 和点1,0
经过点2,1 ，在 x，y 轴上有相等的截距．
【答案】（1） 3x  y  2  0
（2） 3x  y  3  0 ；
x  y  3  0 或 x  2 y  0 .
【解析】
【分析】（1）由题知直线的斜率为 k 
3 ，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可；
根据斜率公式得直线斜率为 k  3 ，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可；
分截距为0 和不为 0 两种情况求解.
【小问 1 详解】
因为直线经过点0, 2 ，且倾斜角为 π ，
3
3
所以直线的斜率为 k  tan π 
3
，则直线方程为 y 
3x  2 ，
所以直线的一般方程为 3x  y  2  0 ；
【小问 2 详解】
因为直线经过点2,3 和点1, 0 ，
2  1
所以直线斜率为 k  3  0  3 ，直线方程为 y  3 x 1 ，所以直线的一般式方程为3x  y  3  0 ；
【小问 3 详解】
当直线在 x，y 轴上截距都为 0 时，
设直线方程为 y  kx ，则1  2k ，得k  1 ，
2
设直线方程为 y  1 x ，即 x  2 y  0 ；
2
当直线在 x，y 轴上截距都不为 0 时，
由题设直线方程为 x  y  1，
aa
因为直线过点2,1 ，所以 2  1  1 ，解得 a  3 ，
aa
所以直线的一般式方程为 x  y  3  0 ,
综上所述，所求直线为 x  2 y  0 或 x  y  3  0 .
已知V ABC 三个顶点分别为 A1,1 ， B 1, 3 ， C 3, 1 .
求 AB 边上的高线长；
过V ABC 内一点 P 1, 0 有一条直线l 与边 AB ， AC 分别交于点 M ， N ，且点 P 平分线段 MN ，求直线l 的方程.
【答案】（1） 65
5
（2） x  2 y  1  0
【解析】
【分析】（1）求出直线 AB 的方程，利用点到直线距离公式求出点 C 到直线 AB 的距离可得答案；
（2）求出直线 AC 的方程，设 M  x0 , y0  ，则 N 2  x0 ,  y0  ，根据点 M，N 分别在直线 AB，AC 上，可得 x0、y0 ，再利用点斜式方程可得答案.
【小问 1 详解】
A1,1 ， B 1, 3 ， C 3, 1 ，
直线 AB 的斜率 kAB
 1 3  2 ，
11
直线 AB 的方程为 y 1  2  x 1, 化为2x  y  1  0 ，
5
点 C 到直线 AB 的距离 d  6
即 AB 边上的高线长为 65 ；
5
 65 ，
5
【小问 2 详解】
由题知，直线 AC 的斜率 kAC
 11  1 ，
1 3
直线 AC 的方程为 y 1  1 x 1 ，即x  y  2  0 ，
设 M  x0 , y0  ，因为点 P 1, 0 平分线段 MN ，则 N 2  x0 ,  y0  ，
∵点 M，N 分别在直线 AB ， AC 上，
x  1
2x0  y0 1  0
 03
2  x  y  2  0 ，解得1 ，
00
 y  
 03
直线 l 的斜率 kl
0  1
 3  1 ，
1 12
3
直线 l 的方程为 y  0  1  x 1 ，即 x  2 y  1  0 ．
2