江西省上饶市余干县私立蓝天中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题含答案解析

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1. 已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（ ）
A. 平行B. 异面C. 相交D. 平行或异面
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间线面、线线的位置关系直接判断即可.
【详解】依题意可知，而，所以a，b没有公共点，a与b可能异面或平行.
故选：D
2. 点P是平面外一点，过点P且平行于平面的平面有（ ）个
A. 0B. 1C. 2D. 无数
【答案】B
【解析】
【分析】假设过点P且平行于平面平面有两个，可判断重合.
【详解】假设过点P且平行于平面的平面有两个，
则由面面平行的性质知，
又都过P点，故重合，
所以过点P且平行于平面的平面只有一个.
故选：B
3. 已知正方体的棱长为1，则直线与所成角的正弦值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正方体可得，可得是异面直线直线与所成的角，进而求解即可.
【详解】在正方体中，可得，，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以是异面直线直线与所成的角，
又易得是等边三角形，所以，
所以，所以直线与所成角的正弦值为.
故选：D.
4. 在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（ ）
A. 2B. 2C. 4D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面垂直得出PC⊥CM，利用勾股定理及正三角形的性质可得答案.
【详解】如图，连接CM，因为PC⊥平面ABC，平面ABC，所以PC⊥CM，
因为PC＝4，所以，
要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，
此时有，所以PM的最小值为.
故选：B.
5. 已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A. B. 6C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知直线的斜率，再结合斜率公式运算求解.
【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率，
又因为，则，解得.
故选：C.
6. 过点且与直线斜率相等直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线的点斜式方程得到直线方程.
【详解】直线斜率为2且过点，由点斜式方程得．
故选：A．
7. 若直线与直线互相平行，则实数的值为（ ）
A. 0B. 1C. 0或1D. 0或-1
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行直线的性质进行求解即可.
【详解】因为直线与直线互相平行，
所以有且，
解得，
故选：A
8. 已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，找到球心的位置，设，连接，利用半径相等得到方程，求出，进而求出外接球半径和表面积.
【详解】取的中点，连接，，
因为底面与侧面均是边长为2的正三角形，
所以⊥，⊥，
因为平面平面，交线为，且平面，
所以⊥平面，
在上取点，使得，故为等边三角形中心，
该三棱锥外接球的球心在平面上的投影为，
其中，，，
设，连接，过点作⊥于点，
则，，，
设，则，
即，解得，
所以，该三棱锥外接球的表面积是.
故选：C
二、多选题
9. 在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（ ）
A. B.
C. 平面平面D. 平面平面
【答案】BD
【解析】
【分析】根据正三棱柱的性质以及相关判定定理，对每个选项逐一进行分析判断.
【详解】在正三棱柱中，，又，故与不平行，A错误；
由题得，，，
所以，所以，B正确；
因为平面，平面，，
且在平面与平面的交线上，与不垂直，
所以平面与平面不垂直，C错误；
因为是正三角形，是的中点，所以，
又，且，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，D正确．
故选：BD.
10. 已知直线，直线，则（ ）
A. 当时，与的交点为
B. 直线恒过点
C. 若，则
D. 存在，使
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，联立两直线方程，求出交点坐标；B选项，变形得到，从而得到，求出定点坐标；C选项，根据两直线垂直得到方程，求出；D选项，根据两直线平行得到方程，求出或，检验后得到结论.
【详解】对于A，当时，直线，直线，
联立，解得，所以两直线的交点为，故A正确；
对于B，直线，即，令，即，
所以直线恒过点，故B正确；
对于C：若，则，解得，故C正确；
对于D，假设存在，使，则，解得或，
当，，，两直线重合，舍去，
当时，，即，
，即，两直线重合，舍去，
所以不存在，使，故D错误．
故选：ABC．
11. 已知点，且点在直线上，则（ ）
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得
C. 的最小值为
D. 若，则的最小值为1
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，设，分，和且三类情况，利用斜率判断与是否垂直即可；对于B，设，通过将坐标代入等式，利用方程有实根即可判断；对于C，通过作点关于直线的对称点，利用三点共线时线段和最短即可判断；对于D，通过消元后化成二次函数，利用其性质求得最小值即可判断.
【详解】对于A：依题意，设，
当时，，此时轴，但，此时与不垂直；
同理当时，，此时与不垂直；
而当且时，由，可得
该方程无实数解，此时与不垂直.
综上可知，不存在点，使得，故A错误；
对于B：设，由，，
可得，化简得，
因，则方程有解，故存在点，使得，故B正确；
对于C：如图设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以，
当且仅当三点共线时取等号（两点之间），故C正确：
对于D，因，则，
当时等号成立，故的最小值为2，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
12. 如图所示，正方形为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且，则原平面图形的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用斜二测画法，可得原图形是平行四边形，求得一边长及这边上的高即可求面积.
【详解】因为正方形为一个平面图形的水平直观图，
所以可得原图形是一平行四边形，且，，，
所以平行四边形的面积为.
故答案为：.
13. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为____________.
【答案】
【解析】
【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角.
【详解】依题意，直线的斜率，
所以直线l的倾斜角为.
故答案为：
14. 直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】数形结合即可求得的取值范围.
【详解】由题可知，当直线经过点时，
当直线经过点时，
当直线与线段没有公共点，
则或.
故答案为：.
四、解答题
15. 如图，在正方体中，E为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若F为的中点，判断并证明平面和平面的位置关系．
【答案】（1）证明见解析；
（2）平面平面，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）连接，交于，易得，再由线面平行的判定证明结论；
（2）先证，利用线面平行的判定得平面，结合（1）及面面平行的判定证明面面平行.
【小问1详解】
连接，交于，连接，由正方体的结构易知为的中点，
又E为的中点，则，平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
平面平面，证明如下：
由F为的中点，连接；
E为的中点，易知，
所以为平行四边形，则，
由平面，平面，则平面，
由（1）平面，且，平面，
所以平面平面.
16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，．
（1）证明：BD⏊平面PAC；
（2）求三棱锥的表面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先由线面垂直的性质定理得证，然后由线面垂直的判定定理得证结论；
（2）证明三棱锥的四个面都是直角三角形，然后计算表面积．
【小问1详解】
∵平面ABCD，平面ABCD，
∴，又底面ABCD为正方形，∴，
又，平面，∴平面PAC；
【小问2详解】
连接PO，∵平面ABCD，平面，∴，，∴，为直角三角形，
同理由（1）中平面PAC可得为直角三角形，又是直角三角形，
由题意可得，，，
其表面积
∴三棱锥的表面积为．
17. 已知，，三点．
（1）若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值．
（2）三点可能共线吗？若能，求出m值．
【答案】（1）1 （2）3
【解析】
【分析】（1）利用斜率与倾斜角的关系式及斜率公式即可求解；
（2）三点共线，则，结合斜率公式即可求解.
【小问1详解】
过两点的直线斜率，
所以，解得.
【小问2详解】
，，
若三点共线，则，
即，解得，
所以当时，三点共线.
18. 根据下列条件，写出直线方程的一般式：
（1）经过点，且倾斜角为；
（2）经过点和点
（3）经过点，在x，y轴上有相等的截距．
【答案】（1）
（2）；
（3）或.
【解析】
【分析】（1）由题知直线的斜率为，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可；
（2）根据斜率公式得直线斜率为，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可；
（3）分截距0和不为0两种情况求解.
【小问1详解】
因为直线经过点，且倾斜角为，
所以直线的斜率为，则直线方程为，
所以直线的一般方程为；
【小问2详解】
因为直线经过点和点，
所以直线斜率为，直线方程为，
所以直线的一般式方程为；
【小问3详解】
当直线在x，y轴上截距都为0时，
设直线方程为，则，得，
设直线方程为，即；
当直线在x，y轴上截距都不为0时，
由题设直线方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的一般式方程为,
综上所述，所求直线为或.
19. 已知三个顶点分别为，，.
（1）求边上的高线长；
（2）过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式求出点C到直线AB的距离可得答案；
（2）求出直线AC的方程，设，则，根据点M，N分别在直线AB，AC上，可得，再利用点斜式方程可得答案.
【小问1详解】
，，，
直线的斜率，
直线的方程为化为，
点C到直线的距离，
即边上的高线长为；
【小问2详解】
由题知，直线的斜率，
直线的方程为，即，
设，因为点平分线段，则，
∵点M，N分别在直线，上，
，解得，
直线l的斜率，
直线l的方程为，即．