广东省肇庆市碧海湾学校等两校2025^2026学年高三上学期9月月考数学试题[有解析]

这是一份广东省肇庆市碧海湾学校等两校2025^2026学年高三上学期9月月考数学试题[有解析]，共15页。试卷主要包含了锐角中，若，则，若实数、、满足，则的取值范围是，已知函数则，下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，则复数所对应的点落在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.若集合，，则( )
A. B. C. D.
3.直线被圆截得的弦长最大值为( )
A. B. C. D.
4.某校高一共有个班，编号至，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽次，设五班第二次被抽到的可能性为，则( )
A. B. C. D.
5.锐角中，若，则( )
A. B. C. D.
6.在道试题中有道填空题和道选择题，不放回地依次随机抽取道题，在第次抽到填空题的条件下，第次抽到选择题的概率为( )
A. B. C. D.
7.十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算也可以用其他进制表示数，如十进制下，；；将余数下往上排列起来所以就是这个数七进制表示形式就是，个位数为，那么用七进制表示十进制的，其个位数是( )
A. B. C. D.
8.若实数、、满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数则( )
A. 若，可得
B. 函数的值域为
C. 函数的减区间为
D. 直线与函数的图象有且仅有两个交点
10.下列命题是真命题的是( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
11.设，都是集合的子集，如果叫做集合的长度，则下列说法正确的是( )
A. 集合的长度为B. 集合的长度为
C. 集合的长度最小值为D. 集合的长度最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等比数列中，，，那么数列的前项和 ______．
13.如图所示，正方体的棱长为，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为______．
14.已知函数若函数有四个零点，，，，且，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，圆锥的顶点为，底面中心为，母线，，且．
求圆锥的体积；
求二面角的大小结果用反三角表示．
16.本小题分
已知数列满足：；
若，求的值；
Ⅱ若，记，数列的前项和为，求证：．
17.本小题分
已知四棱锥的底面是正方形，平面．
Ⅰ设平面平面，求证：；
Ⅱ求证：平面平面．
18.本小题分
已知向量，，且．
求点的轨迹的方程；
设曲线与直线相交于不同的两点、，又点，当时，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数，曲线在点处的切线方程为．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ当时，恒成立，求实数的取值范围．
1.【正确答案】
解：，
复数所对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：．
直接由复数代数形式的除法运算化简复数，求出其对应点的坐标，则答案可求．
本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．
2.【正确答案】
【分析】
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题．
利用交集定义直接求解．
解：集合，
，
．
故选：．
3.【正确答案】
【分析】
本题考查了直线与圆相交求弦长问题，属于中档题．
利用半径、圆心到直线的距离和弦长的关系计算可得答案．
解：圆的标准方程为：，
则圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离 ，
因为，所以，即。
设弦长为，由几何性质可知 ，
所以当取最小值时，弦长最大值为，
故选：．
4.【正确答案】
解：因为总体中共有个个体，
所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为
．
故选：．
根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解．
本题主要考查等可能事件概率的求解，属于基础题．
5.【正确答案】
【分析】
本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
由已知结合二倍角公式进行化简即可求解．
解：因为锐角中，
若，
则，
即，
所以，
因为为锐角，
故A．
故选：．
6.【正确答案】
解：因为第次抽到填空题，则剩下道填空题和道选择，
所以在第次抽到填空题的条件下，第次抽到选择题的概率为．
故选：．
利用条件概率的含义结合古典概型的概率公式求解即可．
本题考查了条件概率的求解，古典概型概率公式的运用，解题的关键是掌握条件概率的含义，属于基础题．
7.【正确答案】
解：，
且能被整除，
而，
，
被除的余数为，
用七进制表示十进制的，其个位数是．
故选：．
利用二项式定理求出被除的余数即可．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题．
8.【正确答案】
解：，
，
；
又，
．
综上可得：．
故选：．
利用，可得，又，即可得出．
本题考查了不等式的性质和灵活应用乘法公式的能力，属于中档题．
9.【正确答案】
解：对于选项A，当时，由，可得；
当时，由，可得，故选项A错误；
对于选项B，，，如图，由函数的图象，
可知，，选项正确．
故选：．
分、解方程，判断；
作出函数的图象，结合图象判断，，．
本题考查了二次函数、对数函数的性质，考查了数形结合思想，属于基础题．
10.【正确答案】
【分析】
本题主要考查了全称量词命题、存在量词命题的真假判断，涉及指数、对数、指数函数的性质，属于基础题．
利用一元二次方程可判断；取可判断；由二次函数的性质可判断；由对数函数的值域可判断．
解：对于， ，化解，该方程无解，
所以不存在，使得成立，故A错误；
对于，取，有，故B正确；
对于，因，
所以，，故C正确；
对于，，，故D选项错．
11.【正确答案】
解：，集合的长度为，故A正确；
，集合的长度是，故B正确；
由，且，解得，
由，且，解得，
分别把，的两端值代入求出：
，或，，
或
或，
综上，的长度的最小值为，故C正确，D错误．
故选：．
利用集合，可得集合的长度，由，且，求出的范围；由，且，求出的范围，由此能求出结果．
本题考查集合运算、新定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【正确答案】
解：等比数列中，，，
，解得，，
．
故．
利用等比数列的通项公式求解．
本题考查等比数列的前项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的合理运用．
13.【正确答案】
解：如图，以正方体所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，
也可以看作是两个正四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为．
则其中一个正四棱锥的高为．
该多面体的体积．
故．
由题意可得，以正方体所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，也可以看作是两个正四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为，求出一个正四棱锥的高，再由棱锥体积公式求解．
本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
14.【正确答案】
解：由题意，画出函数的图象，如图所示，
又函数有四个零点，，，，且，
所以，
且，
所以，，
所以，
，
所以，当且仅当时“”成立；
所以的取值范围是．
故．
画出函数的图象，由题意得出的取值范围和，的值，再利用基本不等式即可求出的取值范围．
本题考查了分段函数研究函数的零点的应用问题，也考查了取值范围的确定与等价转化的应用问题，是综合性题目．
15.【正确答案】解：圆锥的高，
则圆锥的体积为；
取的中点，连接，，
因为，，所以，，
由图可知，二面角为锐角，
故为二面角的平面角，
因为，
所以，
故，
，
故，
故．
求出圆锥的高，进而利用锥体体积公式得到答案；
作出辅助线，得到为二面角的平面角，求出各边长，得到，即可求解．
本题考查几何体体积与二面角的计算，属于中档题．
16.【正确答案】解：数列满足：，，
，解得或；
当时，解得或．
当时，无解．
或．
，；
．
，
为单调递减数列．
，
，
，
，
．
由数列满足：，，代入可得，．
由，；可得，为单调递减数列．进而得到，
，即可得出．
本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【正确答案】证明：Ⅰ平面，平面，，
平面，
又平面，平面平面，
．
Ⅱ平面，平面，，
四棱锥的底面是正方形，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面．
本题考查线线平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
Ⅰ由，得平面，由此能证明．
Ⅱ推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．
18.【正确答案】解：由题意向量，，且，
，
化简得，
点的轨迹的方程为分
由得，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，，即分
当时，设弦的中点为，、分别为点、的横坐标，则，
从而，，分
又，．
则，即，
将代入得，解得，由得，解得，
故所求的的取值范围是．
当时，，，，
解得．
综上，当时，的取值范围是，
当时，的取值范围是．
利用向量的数量积公式，结合，即可求点的轨迹的方程；
直线方程代入椭圆方程，分类讨论，设弦的中点为，利用，，即可求出实数的取值范围．
本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．
19.【正确答案】解：Ⅰ函的定义域为，
，
把代入方程中，得
即，；
又因为，，
故；
Ⅱ由Ⅰ可知，当时，
恒成立等价于；
设，
则，
由于，，
当时，，则在上单调递增，
恒成立，
当时，设，则，
则为上单调递增函数，
又由，
即在上存在，使得，
当时，单调递减，
当时，单调递增；
则，不合题意，舍去，
综上所述，实数的取值范围是．
Ⅰ求出函数的导数，利用导数得切线的斜率，再根据切线方程列方程组求得、的值；
Ⅱ由恒成立等价于，构造函数，利用导数求的最小值，判断最小值大于即可．
本题主要考查了导数及其应用、不等式等基础知识，也考查了函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想，是难题．