广东省深圳市建文外国语学校两学部2025-2026学年高三上学期8月月考数学试题

这是一份广东省深圳市建文外国语学校两学部2025-2026学年高三上学期8月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了设函数 的部分图象如图所示，则，已知，，且，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。
数 学
2025.8
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
2.设，是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，，则等于( )
A. B. C. D.
4.设函数 的部分图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
5.下列命题正确的是( )
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，则D. 若，则
6.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若，，且，则下列不等式中恒成立的是( )
A. B.
C. D.
8.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.双曲线的一条渐近线的斜率为，若，则的值可能为( )
A. B. C. D.
10.已知复数是方程的一个根，则下列说法正确的是( )
A.
B. 复数的模为
C. 复数的虚部为
D. 方程的另一个根为
11.已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数，若在上恒成立，则的取值范围是______．
13.一个圆锥恰有三条母线两两夹角为，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为______．
14.已知集合，将与其中，的乘积放入如图的方格中，则方格中全部数之和的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，求的最大值．
已知，，且，求的最大值．
16.本小题分
已知函数，，且的解集为．
求的值；
若，，，且，求证：．
17.本小题分
已知函数，当，；设．
求的值；
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
若有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是棱的中点．
求点到平面的距离；
求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
设是棱含端点上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围．
19.本小题分
已知向量，，定义新运算：若函数，则称为向量，的点积函数例如：向量，，则向量，的点积函数．
若向量，，且向量，的点积函数，求的值；
若向量，，求向量，的点积函数的值域；
若向量，的点积函数为，且存在，使得成立，求的取值范围．
1.【答案】
【解析】解：由已知，，，，
所以．
故选：．
利用中间值比较可得答案．
本题主要考查由对数函数和指数函数的单调性比较大小，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，是一个随机试验中的两个互斥事件，且，
，
．
故选：．
根据互斥事件的概率加法公式求得，再利用对立事件的概率公式求解即可．
本题考查互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】由，，为外接圆的半径，得．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查由的部分图象确定解析式的应用问题，是基础题．
由三角函数的图象与性质求得、和的值，写出的解析式，再求的值．
【解答】
解：由函数的图象知，，又，
，
，
，
，
，
又，，
，
．
故选D．
5.【答案】
【解析】解：对于，若，，则不成立，不正确；
对于，若，，则，不正确；
对于，若，则，不正确；
对于，若，则，正确．
故选D．
利用不等式的性质，对个选项分别进行判断，即可得出结论．
本题考查不等式的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
6.【答案】
【解析】解：由题意知有两个相异实根，即函数与图象有两个交点．
当时，图象只有一个交点，不成立；
当时，令，当与相切时，
设切点横坐标为，则，解可得，此时，
所以当时，图象有两个交点，
故选：．
由题意知有两个相异实根，即函数与图象有两个交点，结合的范围进行求解．
本题主要考查了函数极值存在条件的应用，体现了转化思想的应用．
7.【答案】
【解析】解：根据，，且，取，，则可排除，；
取，，则可排除．
故选：．
根据条件取取，和，，即可排除错误选项．
本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：
等号成立的条件为．
所以的最小值为．
故选：．
把看成的形式，把“”换成，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“”的代换．
9.【答案】
【解析】解：的渐近线方程为，则，解得．
故选：．
根据双曲线渐近线方程判断即可．
本题考查双曲线渐近线方程，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，
所以根据一元二次方程的求根公式可得：
方程的另一个根为，所以选项正确；
所以根据一元二次方程的根与系数的关系可得：
，解得，所以选项正确；
所以复数的模为，所以选项错误；
所以复数的虚部为，所以选项错误．
故选：．
根据一元二次方程的求根公式及根与系数的关系，复数的概念，即可求解．
本题考查复数的运算，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，已知函数为上的奇函数，则，
即，解得，B正确；A错误；
函数的图象关于直线对称，则，
而为奇函数，则有，
变形可得，从而是周期为的周期函数，
，，．
因为当时，，所以，
从而，，，
所以，D正确；C错误．
故选：．
根据题意，由奇函数的性质分析、，再分析函数的周期性，结合函数的单调性分析、，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性、单调性的性质和应用，涉及函数值大小的比较，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：若在上恒成立，
则在上恒成立，
故在上恒成立，
故在上恒成立，
即在上恒成立，
而在递减，
时，其最大值是，
故，解得：，
故答案为：．
问题转化为在上恒成立，根据函数的单调性求出的范围即可．
本题考查了函数恒成立问题，考查对数函数的性质以及转化思想，是一道常规题．
13.【答案】
【解析】解：如图，设，则，
设，则底面的直径为，
该圆锥的侧面积为，解得，
高，
该圆锥的体积为．
故答案为：．
由题意画出图形，由圆锥的侧面积求出母线长及底面半径，再由圆锥体积公式求解．
本题考查圆锥的结构特征、体积与表面积计算公式，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．
14.【答案】
【解析】解：由表格数据可得所有数之和为：
，
，
集合，
，
设，则，，
，
当或时，取最大值，最大值为，
此时，，
可取最大值．
故答案为：．
先求方格中全部数之和的表达式，设，换元并利用二次函数性质求其最大值．
本题考查元素与集合的属于关系等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
15.【答案】解：因为，则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为．
因为，，且，
所以，
当且仅当，即，时，取得最大值，
所以的最大值为．
【解析】根据，对化简，然后利用基本不等式求最大值．
由，都是正数可知，也是正数，利用基本不等式可求出的最大值，从而得到的最大值．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】解：函数，，故，由题意可得的解集为，
即的解集为，故．
由，，，且，


，
当且仅当时，等号成立．
所以．
【解析】由条件可得 ，故有的解集为，即的解集为，故．
根据，利用基本不等式证明它大于或等于．
本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：，
在区间上是增函数，
，
解得
由已知可得，
，即，
，
令，则，
，，
记，，
，
的取值范围是；
当时，，
不是方程的解；
当时，令，则，
原方程有三个不等的实数解可转化为
有两个不同的实数解，
其中，或．
记，，
则或，
解不等组得，可得，
而不等式组无实数解．
所以实数的取值范围是．
【解析】本题考查了函数的性质和恒成立问题以及函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
利用二次函数的单调性，得，进而求得的值；
通过换元思想，把恒成立问题转化为函数的最值问题，进而求解；
转化为二次函数的零点问题．
18.【答案】； ； ．
【解析】平面，且，平面，
，，
，，且，平面，
平面，
平面，
平面平面，
是中点，且，
，，
平面平面，平面，
平面，
点到平面的距离；
由，可知，，两两垂直，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面的法向量，
则，则，
令，得，
又易知平面的一个法向量，
，
即平面与平面所成的锐二面角余弦值为；
设，，
又是中点，则，
即，，，，
，
设平面法向量，
则，则，则，
令，得，
则，，
直线与平面夹角满足，
当时，，
当，，且
综上所述，
，．
根据线面垂直证明面面垂直，即可得知点到平面的距离为，结合等边三角形性质可得解；
建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面的法向量，进而可两平面夹角；
利用坐标法可得平面的法向量，进而可得线面夹角正弦值的取值范围，即可得线面夹角的范围．
本题考查点到平面距离的计算，以及向量法的应用，属于难题．
19.【答案】；
；
．
【解析】由题意，，
则，，即，
所以；
由题意，，
令，则，对称轴为，
则函数在上单调递增，当，，则的值域为．
利用两角差正弦公式：，
利用两角和余弦公式：，
合并得：，
当时，，
在时，取值范围为，
故，
由存在性条件“使”，即与有交集，
需满足，解得，
综上所述的取值范围为．
根据点积函数的定义可得，进而求出，的值，再结合模的坐标表示计算即可；
根据点积函数的定义及平方关系可得换元结合二次函数的性质求解即可；
根据点积函数的定义及三角恒等变换公式可得，再结合正弦函数的性质可得，进而结合题意求解即可．
本题考查不等式恒成立的问题，属于难题．