湖北省武汉市第十一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

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命题教师： 审题教师：
考试时间：2024年3月30日7：50-9：50 试卷满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式及特殊值即可求解.
详解】.
故选：B.
2. 在中，其中三个内角分别为A，B，C，并且所对的边分别为a，b，c，其中，则（ ）
A. 2∶3∶4B. 4∶9∶16C. 4∶3∶2D. 16∶9∶4
【答案】A
【解析】
【分析】运用正弦定理边化角即可.
【详解】由正弦定理得，， ，（为三角形外接圆半径），
所以，
又，所以.
故选：A
3. 计算的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接由二倍角的余弦公式，即可得解.
【详解】由二倍角公式得：，
故选D.
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.
4. 已知扇形的圆心角为30°，面积为，则扇形的半径为（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】利用扇形的面积公式直接求解即可
【详解】解：设扇形的半径为，则由题意得
，得，解得，
故选：D
5. 若单位向量，的夹角为，则与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出与的数量积以及模长，根据向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意知单位向量，的夹角为，则，
故，
，
，
故，
故选：D
6. 如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则（ ）
A. 为定值16B. 为定值10C. 最大值为8D. 与的位置有关
【答案】A
【解析】
【分析】结合向量运算求得正确答案.
【详解】，
设，
，
.
故选：A
7. 已知函数的部分图像如图所示，且的图像关于点中心对称，则（ ）．
A. 4B. 3C. 2D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图像的最低点及对称中心的位置得到A，B的值，根据点得出的值，由五点作图法可得，即可得出答案．
【详解】由图可知，，
又因为过点，
所以，解得，
又因为，且在的一个减区间上，
所以，
根据五点作图法可知，，解得，
∴，
，
故选：A．
8. 三角形的三边分别是，若，，且，则有如下四个结论：
①
②的面积为
③的周长为
④外接圆半径
这四个结论中一定成立的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理可得三角形外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简或，即；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论．
【详解】，，可得，可得外接圆半径，④正确；
，即为，
即有，
则，即或，即；
若，，，可得，①可能成立；
由可得，，则三角形的周长为；面积为；
则②③成立；
若，由，
可得，，
则三角形的周长为；面积为；
则②③成立①不成立；
综上可得②③④一定成立,故选C．
【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分．
9. 已知向量，则（ ）
A. B. 若，则C. 若，则D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A用向量相等判断，B用向量共线的坐标运算来判断，C用向量垂直的坐标运算来判断，D用向量模的运算来判断.
【详解】显然，A对，
得：或，B错，
，，C对，
，，D对．
故选：ACD
10. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A. 右移个单位B. 左移个单位
C. 右移个单位D. 左移个单位
【答案】AB
【解析】
【分析】将目标函数解析式化为，利用三角函数图象变换规律可得出结论.
【详解】
，
所以，为了得到函数的图象，
可以将函数的图象右移个单位或左移个单位.
故选：AB.
11. 武汉十一中举行了春季运动会，运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个扇形．类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形AOB，其中，，点F在弧AB上，且，点E在弧CD上运动，则下列结论正确的有（ ）
A. B. ，则
C. 在方向上投影向量为D. 的最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知条件，建立以为坐标原点的平面直角坐标系，求出相关点的坐标由点坐标写出向量坐标，利用向量运算的坐标运算即可求解.
【详解】依题意，以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，如图所示
因为，
所以，
设，
对于A， ，故A错误；
对于B，由，得，
即，解得，所以，故B正确；
对于C，，所以在方向上的投影向量为
，故C正确；
对于D，
，
因为，所以，
当，即时，取得最大值,
所以的最大值是.故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题主要是建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量的坐标运算即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则=_________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：∵，∴，∴，故答案为.
考点：诱导公式；二倍角的余弦.
13. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为，则的最小值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用三角形的面积公式及余弦定理的推论，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为的面积为，
所以,
因为，所以,
所以
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
14. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，且，则______．

【答案】
【解析】
【分析】设，根据图象以及点在一个周期内，先计算出，然后利用求出，则函数解析式可求，代入计算即可.
【详解】设，
则，，
由图可知点在一个周期内，
则，，
又，则，可得，解得，
则，解得，
所以，
所以
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，．
（1）求线段BC的长度；
（2）求线段AC的长度；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角形的面积公式即可求解；
（2）利用（1）的结论及余弦定理即可求解；
（3）利用（1）(2)的结论及正弦定理即可求解；
【小问1详解】
因为，，，
所以，解得，
所以线段BC的长度为.
【小问2详解】
由（1）知，，
在中，由余弦定理可得
，
解得，
所以线段AC的长度为.
【小问3详解】
由（1）（2）知,
在中，由正弦定理可得
，即，得，
又因为，
所以
在中，由正弦定理可得
，即得，
故的值为.
16. 如图，在中，，，．
（1）求；
（2）已知点D是AB上一点，满足，点E是边CB上一点，满足．
①当，求；
②是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）①；②存在，
【解析】
【分析】（1）由，然后根据向量数量积的运算律即可求解；
（2）①由题意，，由向量数量积的定义及运算律即可求解；
②由题意，，，假设存在非零实数，使得，则由即可求得.
【小问1详解】
解：∵，且，，，
∴．
【小问2详解】
解：①时，，，
∴D、E分别是边AB、BC的中点，
∴，，
∴
；
②存在．理由如下：假设存在非零实数，使得，
由，得，
∴．
又，
∴，
∴，解得或（不合题意，舍去），
所以存在非零实数，使得.
17. 已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求的对称轴以及对称中心；
（3）当，求的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）对称轴为，，对称中心为，
（3）最大值为2，最小值为1
【解析】
【分析】（1）运用诱导公式、降次公式、辅助角公式化简，结合周期公式计算即可.
（2）运用整体性求的对称轴、的对称中心.
（3）由的取值范围求出整体角的取值范围，再结合正弦函数图象及性质得出结果.
【小问1详解】
，
所以的最小正周期为.
【小问2详解】
令，，解得，，
故的对称轴为，，
令，，解得，，故的对称中心为，.
【小问3详解】
当时，，
又，
所以当，即时，取得最大值为2，
当，即时，取得最小值为1.
故最大值为2，最小值为1.
18. 在平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中O为坐标原点．
（1）若，求的值；
（2）若，设点D为线段OA（包括端点）上动点，求的最小值；
（3）若，向量，，求式的最小值及对应的值．
【答案】（1）
（2）
（3）当时，最小0.
【解析】
【分析】（1）求出，将目标式转化为用表示，然后代入的值计算即可；
（2）设点，利用向量的坐标运算以及二次函数的性质计算模的最小值；
（3）计算化简，然后利用正弦函数的性质求解最值.
【小问1详解】
因为，则，
则；
【小问2详解】
因为，且，则点，设点，，
则，
所以，
当时，最小，且最小为；
【小问3详解】
由已知点，则，
又，
所以
，
因为，所以，
则当，即时，取最小值，且最小值为.
19. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为
（1）已知，，若函数为集合中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；
（2）已知点满足条件：，，若向量的“相伴函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围；
（3）当向量时，“相伴函数”为，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把化为形式得“相伴向量”，求出模后可得其范围；
（2）写出“相伴函数”，根据辅助角公式得最大值及最大值点，由的范围得的范围，再得出的范围后可得的取值范围；
（3）由定义得并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程得或，求得两根，然后作出函数，的图象，由图象可得且有两根的的范围．
【小问1详解】
，
∴函数的相伴向量，
，
∴时，；时，.
∴的取值范围为[1，3]
【小问2详解】
的相伴函数
其中，.
当，，即，时，取得最大值，
∴，
∵，∴，
∴，∴.
∴.
【小问3详解】
，
当时，，
由，得：，
∴或，
由，即，而，解得或，
即∴在上有两个根，
方程在上存在4个不相等的实数根，
当且仅当且在上有两个不等实根，
在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线，如图，
方程在上有两个不等实根，
当且仅当函数在上的图像和直线有两个公共点，
观察图像知：或，
解得或，
所以实数的取值范围是.