湖北省武汉市第六中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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考试时长：120 分钟 试卷满分：150 分
★沉着冷静规范答题端正考风严禁舞弊★
一、单选题
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线方程得斜率，再根据斜率和倾斜角的关系，即可求得倾斜角.
【详解】直线 的斜率是 ，
设倾斜角为 ，则 ，
∴ .
故选：C.
2. 已知空间向量 ， 且 与 夹角的余弦值为 ，则 在 上的投影向量
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由投影向量的计算公式可得.
【详解】由题意可得 在 上的投影向量为 .
故选：D
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3. 下列叙述正确的是（ ）
A. 若一条直线的斜率为 ，则此直线的倾斜角为
B. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是 或
C. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
D. 若直线 与 轴相交，其向上的方向与 轴正方向所成的角为 ，则其倾斜角为
【答案】B
【解析】
【分析】根据倾斜角与斜率的关系判断各选项即可.
【详解】选项 A：当 时，直线斜率 ，但直线倾斜角为 ，故 A 错误；
选项 B：与 轴垂直的直线倾斜角为 ，与 轴垂直的直线倾斜角为 ，所以选项 B 正确；
选项 C：平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，而倾斜角为 的直线的斜率不存在，所以选项
C 错误；
选项 D：如图，当 向上方向的部分在 轴左侧时，倾斜角为 ；
当 向上方向的部分在 轴右侧时，倾斜角为 ，故 D 错误．
故选：B.
4. 若直线 与直线 平行，则 （ ）
A. 0 B. 或 0 C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行的条件列方程求得 的值，然后检验，排除两直线重合的情况.
【详解】由题意得 ,即 ,解得 或 .
当 时，两直线方程都为 ，两直线重合，不合题意，舍去；
当 时，两直线方程分别为 和 ，此时两直线平行，符合题意.
故选：C.
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5. 设直线 的方程为 ，则直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据直线方程的特点，分 和 两种情况讨论，再分别计算出倾斜角 的取值范
围，最后取并集即可.
【详解】当 时，直线 的方程为 ，此时直线 的倾斜角 ；
当 时，直线 的斜率为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，
所以结合正切函数的图象可得： .
综上可得：直线 的倾斜角 的取值范围是 .
故选：C.
6. 在棱长为 1 的正方体 中，点 在正方形 内，且不在棱上，又 ，则
下列结论中错误的是（ ）
A. 四棱锥 体积不变
B. 总有
C. 点 在一条定线段（不含端点）上
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D. 记直线 分别与平面 和平面 所成角为 ，则 可以为
【答案】D
【解析】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据 可得 的轨迹为如图所示的线段 （不含
两点），故可判断 AC 的正误，利用空间向量数量积的坐标形式计算后可判断 B 的正误，利用向量法
求出 后结合三角变换公式求出 后结合 在 上无解可判断 D
的正误.
【详解】根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，
其中 ，
因为点 在正方形 内，且不在棱上，故设 ，
对于 C，因为 ，故 ，故 ，
故 ，取 的中点为 ， 的中点为 ，
则 的轨迹为 （不含 两点），故 C 正确；
对于 A，因为 ，故 到平面 的距离为 1，
而正方形 的面积为定值 ，故四棱锥 的体积为 为定值，
故 A 正确；
对于 B，又 ，
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故 ，故 B 正确；
对于 D， ，设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
而 ，故 .
而 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
故 .
因 ，故 ， ，
故 ，
令 ，整理得 ，
故 ，而 ，故 ，
而 ，故 在 无解，故 D 错误，
故选：D.
7. 在平面直角坐标系中，已知动点 到两直线 与 的距离之和为 ，则
的取值范围是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由点到直线的距离公式得 ，作图，结合 的几何意义求解可得．
【详解】将直线 与 化为一般式为 ，
所以 到两直线的距离之和为 ，
所以 ①．
当 时，①式变形为 ；
当 时，①式变形为 ；
当 时，①式变形为 ；
当 时，①式变形为 ．
则动点 的轨迹为如图所示的四边形的边，
的几何意义为四边形边上任意一点与 连线的斜率．
由 ，得 ，
由 ，得 ,
， ， ， ，
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所以 的取值范围是 ．
故选：C
8. 如图，棱长为 2 的正方体 中，P 为线段 上动点（包括端点）．
①三棱锥 中，点 P 到面 的距离为定值
②过点 P 且平行于面 的平面被正方体 截得的多边形的面积为
③ 直线 与面 所成角 正弦值的范围为
④当点 P 为 中点时，三棱锥 的外接球表面积为
以上命题为真命题的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，对于①③用空间向量求解；对于②可证明三角形 为截面多边形，求
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其面积即可；对于④设球心 ，由 求解球心坐标即可.
【详解】
以 A 为坐标原点，分别以 为 轴建系如图：
, ，
，
设 ,
则 ，
所以
设面 的一个法向量为 ，
则
令 得 ，
对于①： 到平面 的距离为 ，故①正确；
对于②：连接 ，因为四边形 为平行四边形，
，又 面 ， 面 ，
面 ，
同理可证 面 ，
又 ，所以面 面 ，
所以过点 P 且平行于面 的平面被正方体 截得的多边形为 ，
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它是边长为 的等边三角形，故面积为 ，故②正确；
对于③：设直线 与面 所成角为 ，则 ，
， ，
所以直线 与面 所成角的正弦值的范围为 ，故③正确；
对于④：当点 P 为 中点时 ，设三棱锥 的外接球球心 ，
，
，
解得 ，
所以外接球半径 满足： ，
三棱锥 的外接球表面积为 ，故④正确；
综上：①②③④均正确.
故选：D
【点睛】几何体外接球球心的求法：
（1）将几何体置入长方体中找球心；
（2）利用几何法找到几何体各个顶点距离相等的点即为球心；
（3）设球心 坐标，根据 到各顶点的距离相等解方程组得到球心 坐标.
二、多选题
9. 下面四个结论正确的是（ ）
A. 任意向量 满足
B. 若对空间中任意一点 ，有 ，则 四点共面
C. 已知 是空间的一组基底，若 ，则 也是空间的一组基底
D. 已知 为平面 的一个法向量， 为一条直线， 为直线 的方向向量，则“ ”是“ ”的
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充要条件
【答案】BC
【解析】
【分析】根据数量积的定义即可判断 A；根据空间向量共面定理的推论即可判断 B；根据空间向量基本定理
即可判断 C；根据 时， ，即可判断 D.
【详解】对于 A， 表示与 共线的向量，
表示与 共线的向量，
而 的方向无法确定，所以无法判断 是否相等，故 A 错误；
对于 B，因为 ，且 ，
所以 四点共面，故 B 正确；
对于 C， 是空间的一组基底，若 ，
当 共面时，则 ，
所以 ，无解，所以 不共面，
所以 也是空间的一组基底，故 C 正确；
对于 D， 时， ，故 D 错误.
故选：BC.
10. 直线 的方程为 ，若 在 轴上的截距为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线 关于点 对称的直线经过点
B. 直线 与 的交点坐标为
C. 已知直线 经过 与 的交点，且在 轴上的截距是在 轴上的截距的 2 倍，则 的方程为
D. 已知动直线 经过 与 的交点，当原点到 的距离最大时，点 到 的距离为
【答案】ABD
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【解析】
【分析】对于 A，由题可得 方程，可得 过点 ，据此可判断选项正误；对于 B，由 A 分析可得交
点坐标；对于 C，考虑直线过原点及直线横纵截距全不为 0 两种情况，可判断选项正误；对于 D，由题可得
方程，然后由点到直线距离公式可判断选项正误.
【详解】对于 A，由 ，可知 ，由 在 轴上的截距为 知 过点 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．令 ，得 ，即直线 过点 ，
所以直线 关于点 对称的直线经过点 ，故 A 正确；
对于 B，联立 ，解得 ，即直线 与 的交点坐标为 ．故 B 正确；
对于 C，当直线 经过 与 的交点且过原点时，方程为 ，即 ，满足题意；
当直线 不过原点时，设直线 的方程为 ，将点 代入可得 ，所以直线 的方
程为 ．
综上，满足条件的直线 的方程为 或 ．故 C 错误；
对于 D，由题意过点 的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和 的连线垂直，故此时直线 的
斜率为 ，
所以直线 为 ，即 ，所以点 到 的距离为 ，故 D
正确.
故选：ABD
11. 对平面直角坐标系 中的两组点，如果存在一条直线 使这两组点分别位于该直线的两
侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线 ，记所有的点到 的距离的最小值为 ，约定： 越大，
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分类直线 的分类效果越好．某学校高三（2）班的 7 位同学在 2020 年期间网购文具的费用 （单位：百元）
和网购图书的费用 （单位：百元）的情况如图所示，现将 和 为第 I 组点将 和 归为第
II 点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为 ．给出下列四个结论：
①直线 比直线 的分类效果好；
②分类直线 的斜率为 2；
③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为 300 元，则小明的这两项网购花销的费用所对应
的点与第 II 组点位于 的同侧；
④如果从第 I 组点中去掉点 ，第 II 组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是 ．
其中所有正确结论 序号是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据分类直线的定义判断
【详解】由图象知：
， ， ， ， ， ， ，
当直线 为分类直线时， ，
当直线 为分类直线时，其过 ，
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由图可知 ， 到直线 距离最小，
到直线 的距离为 ，
到直线 的距离为 ，
所以 ，所以直线 分类效果好，故①错误；
由图知 的位置由 ， ， 确定，
所有的点到 的距离的最小值为 ，约定： 越大，分类直线 的分类效果越好．
可知点 ， ， 直到线 的距离相等，
所以直线 过点 ， 的中点，而 的中点为 , 的中点为 ，
故直线 的斜率为 ，故②正确；
又直线 的方程为 ，
此时点 在 的右侧，故③正确；
去掉点 后， ， 到直线 的距离相等，
此时直线 为线段 ， 的垂直平分线 ，故④正确；
故答案为：BCD
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解分类直线的定义，如本题 的位置由 ， ，
确定.
三、填空题
12. 已知直线 和直线 的方向向量分别为 ，若 ，则实数 的值是
___________．
【答案】
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【解析】
【分析】由题意知 ，可得 ，从而可求解.
【详解】由题意可得直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，
且 ，可得 ，则得 ，
所以可得 .
故答案为： .
13. 图，已知正方体 棱长为 1，E，F，G 分别是棱 的中点，设 M 是该
正方体表面上的一点，若 ，则点 M 的轨迹所形成的长度是________．
【答案】
【解析】
【分析】首先确定点 的轨迹，再求长度.
【详解】， 在平面 上，
取 ， ， 的中点 ，则点 的轨迹是正六边形 ，轨迹长度是正六边形的周长，
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定 在平面 上，并能作出平面 与正方体的交线.
14. 若恰有三组不全为 0 的实数对 满足关系式 ，则实数 的所有
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可能的值为________
【答案】 ， ，
【解析】
【分析】
化简得到 ，然后，根据情况，对 进行分类讨论即可求解
【详解】由已知得，明显地， ，整理得，又由 ，看成有且仅有三条直线
满足， 和 到直线 （不过原点）的距离 相等；
由 ，
（1）当 ，此时，易得符合题意的直线 为线段 的垂直平分线 以及直线
平行的两条直线 和
（2）当 时，有 4 条直线 会使得点 和 到它们的距离相等，注意到 不过原点，
所以，当其中一条直线过原点时，
会作为增根被舍去；设点 到 的距离为 ，
①作为增根被舍去的直线 ，过原点和 的中点 ，其方程为 ，此时，
，符合；
②作为增根被舍去的直线 ，过原点且以 为方向向量，其方程为 ，此时， ，
符合；
综上，满足题意的实数 为 ， ， ；
故答案为： ， ，
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【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于化简得到 ，将问题转化为，有且仅
有三条直线满足， 和 到直线 （不过原点）的距离 相等，这是本题的解题
关键，本题难度属于困难
四、解答题
15. 已知两直线 .
（1）求过两直线的交点，且垂直于直线 的直线方程；
（2）已知两点 ，动点 在直线 运动，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程；
（2）求出点 的对称点，利用两点之间直线最短可求答案.
【小问 1 详解】
联立方程 ，解得 ；
因为所求直线垂直于直线 ，所以所求直线的斜率为 ，
故所求直线方程为 ，即 ；
【小问 2 详解】
设点 关于直线 对称的点为 ，
则 ，解得 ，即 ；
则 ,
故 的最小值为 .
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16. 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， ， ，
底面 ， ，点 在棱 上．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）当 取得最小值时，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理、判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；
（2）解法一：由二面角的性质可知 即为二面角 的平面角，利用垂直关系和等面积法求
出 的边长，进而求出 的余弦值即可；解法二：建立空间直角坐标系，求出平面 和
的法向量，利用向量的夹角公式求解即可.
【小问 1 详解】
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为四边形 为菱形，所以
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ．
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【小问 2 详解】
由（1）知 平面 ，
因为 平面 ，所以 ， ，
又 ，平面 平面 ，所以 即为二面角 的平面角，
当 取得最小值时，有 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
又因为在菱形 ABCD 中， ， ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ，
又因为在 中， ，解得 ,
则在 中， ，
所以二面角 的余弦值为 ．
解法二：由 底面 ， 底面 ，且底面 为菱形可知 两两垂
直，
又当 取得最小值时，有 ，
以 为原点， 分别为 轴建空间直角坐标系，
因为在菱形 ABCD 中， ， ，
所以 ， 为等边三角形，易得 ， ，
则 ， ， ， ， ，
易知 为平面 的法向量，
又由（1）得 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 ， ， 平面 ， 平面 ，
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所以 平面 ，
所以 为平面 的法向量，
又 ，
所以二面角 的余弦值为 .
17. 如图所示，将一块直角三角形板 ABO 置于平面直角坐标系中，已知 ， ，点
是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点 P 的任一直
线 MN 将三角形锯成 ，设直线 MN 的斜率为 k，问：
（1）求直线 MN 的方程；
（2）若 的面积为 ，求 的表达式；
（3）若 S 为 的面积，问是否存在实数 m，使得关于 S 的不等式 有解，若存在，求
m 的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1） （2） （3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用点斜式方程，即可求得直线 的方程，得到答案；
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（2）联立直线方程求出直线交点 的坐标，进而求得 的范围，再利用弦长公式和点到直线的距离公
式，由 ，即可得到答案；
（3）根据有解问题最值法，先分离变量 ，再利用二次函数性质求函数最小值，即可求解．
【详解】（1）依题意，点 ，直线 的斜率为 ，
由直线的点斜式方程，可得直线 MN 的方程为 ．
（2）由题意，因为 ，
可得直线 OA 方程为 ，直线 AB 方程为 ，
联立方程组 ，解得 ，
因为 ，所以 或 ，
又由 ，解得 ，∵ ，∴
所以
由弦长公式可得 ，
又由点 P 到直线 OM 的距离为 ，
所以 ．
（3）由题意，可得 ，
设 ，
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令 ，即 ，函数 在 为单调递增函数，
所以当 时， 的最小值为 ，当 时， 的最大值为 ，
即 ，所以 ，
又 且 ，
所以 ，可得 的最小值为 ，
所以实数 的取值范围是 ．
【点睛】本题主要考查了直线的一般方程与直线的性质，并且考查了函数的最值与有解问题，是一道知识
交汇较好，综合性较强的题，属于难题．
18. 已知一条动直线 3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点 P 的坐标；
（2）若直线与 x、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB
的周长为 12；②△AOB 的面积为 6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
（3）若直线与 x、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，当 取最小值时，求直线的方程.
【答案】（1）证明见解析； （2）存在；直线方程为 3x＋4y－12＝0（3）3x＋3y－10＝0
【解析】
【分析】（1）将题目所给直线方程重新整理，由此证得直线恒过定点，并求得定点坐标.
（2）设出直线方程截距式，根据题目所给条件，求出直线方程.
（3）设出直线的倾斜角，求得 的表达式并结合三角函数的知识求得最小值，以及此时的直线方
程.
【详解】（1）依题意直线方程为 ，
即 ，
即 ，
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所以由 ，解得 ，故直线过定点 .
（2）依题意设直线方程为 ，将 代入得 ①.
则 ，则 ，解得 或 .
其中 不满足①， 满足①.
所以存在直线 ，即 满足条件.
（3）由（1）知直线过定点 ，而若直线与 x、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，所以直线的倾斜
角 ，
所以 ，
所以 ②，
令 ，
由于 ，所以 ，所以 ，
所以 .
则②可化为 ，由于 在 上为减函数，所以 在
上为增函数，故当 ，即 时， 取得最小值为 .此时
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直线方程为 ，即 ，
也即 .
【点睛】本小题主要考查直线方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
19. 如图，在三棱台 中，点 D，E 分别为 ， 的中点， ， ，
， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）点 M 在侧面 内，且 平面 ，当线段 最短时，求平面 与平面 所
成的二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证明四边形 是平行四边形求出 ，余弦定理求出 ，即可根据勾股定理证明
，结合 ，可证明线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，空间向量法求直线与平面所成角的正弦值.
（ 3） 求 出 平 面 ADE 的 法 向 量 ， 设 ， 由 点 M 在 侧 面 内 ， 所 以 存 在 使 得
，再结合 平面 可推出 ，根据两点间
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距离公式及二次函数的性质可求出 取最小值时 m 的取值，即可求出此时点 M 的坐标，利用向量法求
平面 与平面 的夹角的余弦值.
【小问 1 详解】
由棱台性质知 ，
所以 ，则 ，
在 中，由余弦定理可得： ， ，
连接 ，因为 D 为 BC 中点，所以 ，所以四边形 为平行四边形，则
，
因为 ，所以 ， ，
又因为 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
因为 ， 所以 ，则 ，
以 A 为坐标原点，AB、AD、 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
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，
， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
，令 ，得 ，故 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
【小问 3 详解】
设 为平面 ADE 的法向量，
，
，令 得 ， ，
设 ，
因为点 M 在侧面 内，所以存在 使得 ,
，
， ， ，
因为 平面 ，所以 ，得 ，
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将 ， ， 代入上式可得 ，
则 ，所以 ，
因为 M 在侧面 内，所以 ，
当 时， 取得最小值，此时 ，
易知平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为
， ，
，令 得 ， ，
设平面 与平面 所成的二面角为 ，
， ，
所以平面 与平面 所成的二面角得正弦值为 .
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