2024—2025学年度上海市松江区高一上学期期中考试数学试题[含解析]

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【正确答案】0
由，
得到.解得（舍或0.
2.不等式的解集为______.
【正确答案】
3.函数的对称中心是______.
【正确答案】
函数，显然函数的图象可以由函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位而得，而函数的图象的对称中心为，所以函数的图象的对称中心为.
4.已知，，则用、表示______.
【正确答案】
.
5.若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为______.
【正确答案】
设已知方程两根为，则，
所以，解得或，
又，即或，所以.
6.已知函数在区间上严格减，则的一个取值为______.
【正确答案】
由题意知函数是偶函数，则.
7.若正数，满足，则的最小值是______.
【正确答案】4
由题意可得，
，当且仅当时等号成立，此时符合题意.
所以的最小值为4.
8.在平面直角坐标系中，设点，，，，定义.若点，点为直线上的动点，则的最小值为______.
【正确答案】3
设，
则.
9.人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从级别跃升到，乃至级别.国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为，2010年增长到.若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中，均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的 倍.
【正确答案】1.5
由题意，，所以，所以，
所以2022年全球产生的数据量为，
则2023年全球产生的数据量，
所以2023年全球产生的数据量是2022年的倍.
10.已知常数，函数经过点、若，则______.
【正确答案】4
函数经过点、，
则，，解得，，
，则，解得（负值舍去）.
11.若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是______.
【正确答案】
方程有四个不同的实数解，
是方程的1个根，
当时方程变为①.
要使方程①有3个不为0的实数根，
则函数和应有3个不同的交点，
如图，
显然不成立，当时与有一个交点，
只需和有两个交点即可，
联立，得.
由，得.
时和有两个交点.
综上，关于的方程有四个不同的实数解的实数的取值范围是.
12.已知集合，集合，其中.若集合表示的区间为一个闭区间，则的取值范围为______.
【正确答案】
由题意知，，则的最小值为，最大值为，
所以，又因为，
所以，又集合表示的区间为一个闭区间，
则，化简可得，又，
解得.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.“”是“”的（ ）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件
【正确答案】A
由，又，
所以，即，充分性成立；
当时，即，显，时成立，必要性不成立；
故“”是“”的充分非必要条件.
故选：A.
14.标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
对于，有，
所以，
分析选项知C中与其最接近.
故选：C.
15.已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
作出的图象如图所示：
由，得，，可得，
则，
令，
则，
故.
故选：D.
16.已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间的距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A.， B.， C. D.
【正确答案】C
集合
当时，，当时，，
则集合表示的图形如下图阴影部分所示，
由图象可知，，.
故选：C.
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
记全集，集合.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【正确答案】（1）；（2）
（1）.
①当时，，
②当时，，
则，若，则，
所以的取值范围为；
（2）由（1）知由，则①，
②，
则的取值范围为.
18.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
已知函数（且）.
（1）若在区间上的最大值与最小值之差为2，求实数的值；
（2）若函数的值域为，求使得的实数的取值范围.
【正确答案】（1）；（2）
（1）①当时，则.
②当时，则，
则实数的值为.
（2）因为函数的值域为，
则，
，
则实数的取值范围为.
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示.当车速为（米秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，.
（1）请写出报警距离（米与车速（米秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米小时？
【正确答案】（1）2；（2）30
（1）由题意得，
所以，
当时，，
（秒，
即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒.
（2）根据题意要求对于任意，恒成立，
即对于任意，，即恒成立，
由，得，
所以
即，解得，
所以，
故要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在30千米小时.
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数，其中.
（1）若“存在，使得成立”是假命题，求实数的取值范围；
（2）求不等式的解集；
（3）已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合。如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）；（2）见解析；（3）
（1）由题意知，对任意的，恒成立，
即恒成立，
①当时，符合题意，
②当时，则，
则实数的取值范围.
（2），
当时，，
当时，解集为，
当时两根为，
当时，即，解集为，
当时，即，解集为，
当时，即，解集为.
（3），
①分子分母都是二次三项式，若满足题意，则对应的图像都是开口向上的抛物线，
若分子分母对应的方程是同解方程，则，
若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则需要分子分母的判别式均小于0，即，
②当时，不符合题意舍去，
则实数的取值范围为.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
若函数的定义域为，且对任意，都有，则称具有“性质”.
（1）当时，判断是否具有“性质”，并说明理由；
（2）当时，证明：具有“性质”；
（3）如果函数具有“性质”，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）不具有；（2）见解析；（3）或
（1）当时，，
则不具有“性质”.
（2）若要证具有“性质”，则
只需要证成立即可，
又，则，
恒成立，
则具有“性质”.
（3）由题意知，
则对任意恒成立，
当时，成立，当时不成立，
当时，
或.阶段
0.准备
1.人的反应
2.系统反应
3.制动
时间
秒
秒
距离
米
米