2024—2025学年度上海市虹口区高二上学期期中数学试题[含解析]

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1. 在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是___________.
2. 半径为2的球的表面积为________.
3. 已知长方体棱，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
4. 在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为_____________．
5. 已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为___________.
6. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为_________.

7. 三棱锥中，三条侧棱，则顶点在平面内射影是的______．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）
8. 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH=______．
9. 如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是_____
10. 已知二面角为30°，P是半平面内一点，点P到平面的距离是1，则点P在平面内的投影到的距离是_________．
11. 如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为_____
12. 如图，正方体的棱长为4，点P在正方形的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足的点P组成，则四面体的体积的取值范围_________.
二、选择题（共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分）
13. 已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（ ）．
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件
14. 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（ ）
A. 16B. 18C. 20D. 22
15. 为空间中两条直线，为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（ ）
①二面角的范围是；
②经过3个点有且只有一个平面；
③若两条异面直线，，则．
④若为两条异面直线，且，则．
A. 0B. 1C. 2D. 3
16. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ）
A. 四棱锥为“阳马”
B. 四面体为“鳖臑”
C. 四棱锥体积的最大值为
D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF
三、解答题（本题满分78分，共5小题）
17. 如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点．
（1）证明：平面．
（2）求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示）
18. 如图，已知PA＝AC＝PC＝AB＝a，，，M为AC的中点．
（1）求证：平面ABC；
（2）求直线PB与平面ABC所成角的大小．
19. 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

（1）若，，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
20. 如图，是圆柱的底面直径，，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．
（1）求圆柱的表面积；
（2）证明：平面平面；
（3）若，是中点，点在线段上，求的最小值．
21. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.
2024-2025学年上海市虹口区高二上学期期中数学质量检测试卷
一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1. 在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是___________.
【正确答案】平行或异面
【分析】根据空间中两直线的位置关系即可判断.
【详解】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线.
故平行或异面
2. 半径为2的球的表面积为________.
【正确答案】
【分析】代入球的表面积公式:即可求得.
【详解】，
由球的表面积公式可得,
,
故答案为:
本题考查球的表面积公式;属于基础题.
3. 已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
【正确答案】##
【分析】由定义说明是异面直线与所成角或其补角，然后计算．
【详解】因为，所以异面直线与所成角或其补角，
在直角中，，，
故．

4. 在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为_____________．
【正确答案】
【分析】根据点面距公式代入计算即可得.
【详解】由点面距公式得.
故答案为.
5. 已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为___________.
【正确答案】
【分析】根据圆锥侧面展开图与圆锥侧面的关系求出圆锥底面圆半径即可计算得解.
【详解】设圆锥底面圆半径为r，则该圆锥底面圆周长为，
因圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则半圆弧长为，
依题意，，解得，
显然圆锥母线长，则圆锥侧面积，
所以圆锥的侧面积为.
故
6. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为_________.

【正确答案】
【分析】首先求出，再画出平面图形，从而求出其面积.
【详解】因为，，所以，
由直观图可得如下平面图形，则，，

所以.
故
7. 三棱锥中，三条侧棱，则顶点在平面内的射影是的______．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）
【正确答案】外心
【分析】由已知可得顶点在底面上的射影到底面三角形三个顶点的距离相等，即为的外心.
【详解】如图，设顶点在底面内的射影为，则平面，
连接，，，
，，在平面内，
，，，
，，都是直角三角形，
，
，和三个三角形全等，
从而有，
所以为的外心.
故外心.
8. 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH=______．
【正确答案】或
【分析】由题意可知四边形为菱形，且知菱形相邻的两个角分别为，再由所给边长即可求得的长.
【详解】如图，

由分别是的中点，得，
，则四边形为菱形，又与所成的角为，
于是直线与所成角为，即菱形的边长为1，相邻两个内角分别为，
即或，当时，,
当时，，
所以或.
故或
9. 如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是_____
【正确答案】
【详解】设球半径为，则V1V2=πr2×2r43πr3=32．故答案为．
点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
10. 已知二面角为30°，P是半平面内一点，点P到平面的距离是1，则点P在平面内的投影到的距离是_________．
【正确答案】
【分析】设点P在平面内的投影为点，作于点，连接，证明即为二面角的平面角，再解即可.
【详解】如图，设点P在平面内的投影为点，则，，
作于点，连接，
因为，，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
所以，
在中，，
所以，
即点P在平面内的投影到的距离是.
故答案为.
11. 如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为_____
【正确答案】12
【分析】设圆锥的母线长为l,求出以S为圆心，SA为半径的圆的面积以及圆锥的侧面积，根据题意，列出方程即可求得答案.
【详解】设圆锥的母线长为l,则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为，
又圆锥的侧面积为，
因为当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，
所以，解得，
故12
12. 如图，正方体的棱长为4，点P在正方形的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足的点P组成，则四面体的体积的取值范围_________.
【正确答案】
【分析】连接，由线面垂直的性质得到，再由勾股定理求出，即可得到以为圆心2为半径的圆面上，再根据得到当在边上时四面体的体积最大，当在边的中点时四面体的体积最小，再根据面体的体积公式计算可得取值范围.
【详解】连接，如图所示，
因为平面，平面，所以，
∵，由，，则；
所以在以为圆心2为半径的圆面上，由题意可知，，
所以当在边上时，四面体的体积的最大值是.
所以当在边的中点时，的面积取得最小值，此时，
所以四面体的体积的最小值是，所以，
故答案为.
思路点睛：
求解三棱锥体积的最值问题，要找准突破口，也即是按三棱锥的体积公式，
通常会有以下两种：
①如果底面积固定，则通过找高的最值来进行求解；
②如果高已知确定，则求底面积的最值来进行求解（如本题）.
二、选择题（共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分）
13. 已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（ ）．
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件
【正确答案】B
【分析】利用直线与平面垂直的判定定理，即可得出结论.
【详解】根据直线与平面垂直的判定定理可知：
如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面.
而“垂直于内的两条直线”，没有满足相交，
所以不一定能推出直线与平面垂直，
但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线，
即可得：“垂直于内的两条直线”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
14. 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（ ）
A. 16B. 18C. 20D. 22
【正确答案】A
【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.
【详解】由题意可得，几何体如下图所示：
取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为，且，
设圆锥的母线长为，根据相似比可得，解得，
即原圆锥的母线长为.
故选：A.
15. 为空间中两条直线，为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（ ）
①二面角的范围是；
②经过3个点有且只有一个平面；
③若为两条异面直线，，则．
④若两条异面直线，且，则．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【正确答案】B
【分析】利用二面角的取值范围可判断①，当三点共线时可判断②，利用线面平行的判定方法可判断③，利用线面平行的性质以及面面平行的判定定理可判断④
【详解】对于①，二面角的范围是，①错；
对于②，若三点共线，则经过这个点有无数个平面，②错
对于③，若为两条异面直线，，则与可能平行也可能相交，故③错误；
对于④，因，过直线m作平面，使得，
由线面平行的性质定理可得，则，
因为，则，
因为，过直线n作平面，使得，
由线面平行的性质定理可得，则，
因，则，
若，则，这与为两条异面直线矛盾，故相交，
又因为，所以，故④对，
故选：B
16. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ）
A. 四棱锥为“阳马”
B. 四面体为“鳖臑”
C. 四棱锥体积的最大值为
D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF
【正确答案】C
【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.
【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，
∴在堑堵中，，侧棱平面，
A选项，∴，又，且，则平面，
∴ 四棱锥为“阳马”，故A正确；
B选项，由，即，又且，
∴平面，∴，则为直角三角形，
又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，∴ 四面体为“鳖膈”，故B正确；
C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，
，最大值为，故C错误；
D选项，因为，，，所以平面，故D正确；
故选：C
三、解答题（本题满分78分，共5小题）
17. 如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点．
（1）证明：平面．
（2）求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示）
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行.
（2）根据线线平行，找出异面直线所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角的余弦.
【小问1详解】
如图：连接，.
因为为正方体，所以.
又，、分别是、的中点，所以，
所以，平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
如图：连接、
因为，所以即为异面直线与所成的角，设为.
在中，，，.
所以.
所以异面直线与所成的角为.
18. 如图，已知PA＝AC＝PC＝AB＝a，，，M为AC的中点．
（1）求证：平面ABC；
（2）求直线PB与平面ABC所成角的大小．
【正确答案】（1）见解析 （2）
【分析】（1）推导出，，由此能证明平面ABC；
（2）连结BM，则是直线PB和平面ABC所成的角，由此能求出直线PB和平面ABC所成的角．
【小问1详解】
证明：因为为等边三角形，且为的中点，
所以．
又，，且，
所以平面．
又在平面内，所以．
因为，且，，
所以平面．
【小问2详解】
解：连结，由（1）知平面，
所以是直线和平面所成的角．
因为为等边三角形，所以.
又为等腰直角三角形，且，
所以．
因为，所以，
则
所以直线和平面所成的角的大小等于．
19. 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

（1）若，，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
【正确答案】（1）
（2），
【分析】（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；
（2）先根据面积关系建立函数解析式，，然后利用二次函数性质求其最值.
【小问1详解】
由知.
因为，
所以正四棱锥的体积
正四棱柱的体积
所以仓库的容积.
【小问2详解】
设，下部分的侧面积为，
则，，
，
设，
当，即时，，.
即当为时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是.
20. 如图，是圆柱的底面直径，，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．
（1）求圆柱的表面积；
（2）证明：平面平面；
（3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值．
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【分析】（1）根据圆柱求表面积公式即可求解.
（2）先证平面，再利用面面垂直的判定定理判定即可.
（3）先分析得将绕着旋转到，使其与共面，且在的反向延长线上，当，，三点共线时，的最小值为，通过解三角形求即可.
【小问1详解】
根据题意，圆柱的底面半径，圆柱的高，
圆柱的上下底面积和为，圆柱的侧面积为，
所以圆柱的表面积为
【小问2详解】
由题意可知，底面，底面，则，
由直径所对的圆周角为直角，可得，
又，平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面
【小问3详解】
将绕着旋转到，使其与共面，
且在的反向延长线上，当，，三点共线时，
的最小值为，
因为，，，，
，所以，，，所以在三角形中，
由余弦定理可得，
所以的最小值为.
21. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）在线段上靠近点的处，
【分析】（1）由题可得平面，故.根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明；
（2）根据题干数据结合即可求解；
（3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使最大，则需使最小，此时，从而可求解.
【小问1详解】
因为点在底面上的射影是与的交点，所以平面.
因为平面，所以.
因为四边形为菱形，所以.
因为平面，
所以平面.
因为平面，所以.
【小问2详解】
由题意可得、与都是边长为2的等边三角形，
所以，.
所以.
因为，所以.
设点到平面的距离为，
由得，
即，解得.
故点到平面的距离为.
【小问3详解】
设直线与平面所成的角为，平面，
∴到平面的距离即为到平面的距离.
过作垂线平面交于点，则，
此时，要使最大，则需使最小，此时.
由题意可知：，因为平面，且，
所以，，
在中，由余弦定理可得：，
所以，
由面积相等，
即，经计算得，
，则，
此时在线段上靠近点的处.