山西省太原市某校2025-2026学年高一上学期9月半月考数学试卷

这是一份山西省太原市某校2025-2026学年高一上学期9月半月考数学试卷，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
已知集合 A  x 1  x  6, x  N， B  1, 2, 3 ，那么 A ∩ B  （）
1, 2, 3, 4
1, 2, 3, 4, 5
2, 3
2, 3, 4
命题“ n  N *，使得n  2n2 1 ”的否定形式是（）
A. n  N *，使得n  2n2 1
n  N *，使得n  2n2 1
B. n  N *，使得n  2n2 1
D. n  N *，使得n  2n2 1
对于实数a, b, c ， a  b ，则下列不等式恒成立的是（）
A. 1  1
B.a2  b2
C.a c  b c
ab
abc2 1c2 1
m, n2
20252025
已知m  R ， n  R ，若集合

,1  m , m  n, 0，则m n
m 
 （）
A．0B．1C． 1D．1 或-1
设集合 A  {x | a  1  x  a  4}， B  {x | 4  x  7}，若 A ∪ B  B ，则a 的取值范围是
（）
A．{a | a  3}
C．{a | 4  a  4}
B．{a | a  0}
D．{a | 3  a  3}
若命题“ x  R ， x2  4x  a  0 ”为假命题，则实数a的取值范围是()
a  4
a  4
a  4
a  4
已知集合S  x x  m  1 , m  Z ， P  x x  n  1 , n  Z ，




12
312
Q  x x  k  1 , k  Z ，则S ， P ， Q 之间的关系是（）


34
S  P  QB. S  P  Q
C. S  P  QD. P  Q  S
在整数集Z 中，被5 除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为k  ，即
k   5n  k n  Z, k  0,1, 2, 3, 4 ，则下面选项正确的为（）
2025 3
2 2
Z  0 1 2 3 4
整数a、b 属于同一“类”的充分不必要条件是“ a  b 0”
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 4 分，部分选对的得 2 分，
有选错的得 0 分）.
已知集合 A  {1, 2, a2}， B  {1, a  2} ，若 A ∪ B  A ，则a 的取值可以是（）
A. 1B. 0C. 2D. 2
图中阴影部分用集合符号可以表示为（）
A． B  A  C 
C． B  CU ( A  C)
B． CU B  ( A  C)
D．  A  B  B  C 
用card  P 表示集合 P 中元素的个数，对于集合A 、 B ，定义 A  B  card  A  card  B ，若 A  x x2  ax 1  0 ， B  x x2  axx2  ax 1  0，且 A  B  1，则实数a 的值可能为
（）
A． 2B． 0C．1D． 2
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分.)
已知0 < a < 1，0 < b < 1，则ab与a + b−1的大小关系为.
设a, b, c, d 为实数，且a  b  0  c  d ，则下列不等式不正确的有.
① c2  cd
② a  c  b  d
③ ac  bd
1
④ a  c
1
b  d
设a, b  R ，集合 A  a, a2 1, B  b, b2 1，则“A  B”是“a  b”的
条件.（填充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）
四、解答题(本题共 5小题，共 52 分.)
a
（10 分）已知2 < a < 3，−2 < b < −1，分别求2a−b，
的取值范围．
b
16.（10分）已知a ， b 是实数，求证： a4  b4  2b2  1成立的充要条件是a2  b2  1.
17.（10 分）已知集合 A  x 0  2x  a  3 ， B  x  1  x  2 ．
2

当a  1 时，求 A  B 和 A ∪ B ；
若 A  B ，求实数 a 的取值的集合．
18.（10 分）已知集合 A  x | 1  x  6， B  x m 1  x  2m 1且 B   .
若“命题 p : x  A ， x  B ”是真命题，求实数m 的取值范围；
若 s : x  B 是t : x  A 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
19．(12 分）若集合A 具有以下性质：
① 0  A,1 A ；
②若 x, y  A ，则 x  y  A ，且 x  0 时， 1  A .
x
则称集合A 是“好集”.
分别判断集合B  1, 0,1 ，有理数集Q 是否是“好集”，直接写出结论；
设集合A 是“好集”，求证：若 x, y  A ，则 x  y  A ；
设集合A 是“好集”，求证：若 x  A ，则x2  A ；
高一年级月考试题（数学）
总分： 100 分
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
已知集合 A  x 1  x  6, x  N， B  1, 2, 3 ，那么 A ∩ B  （C）
1, 2, 3, 4
1, 2, 3, 4, 5
2, 3
2, 3, 4
命题“ n  N *，使得n  2n2 1 ”的否定形式是（ D）
n  N *，使得n  2n2 1
n  N *，使得n  2n2 1
n  N *，使得n  2n2 1
D. n  N *，使得n  2n2 1
对于实数a, b, c ， a  b ，则下列不等式恒成立的是（ D）
A. 1  1
B.a2  b2
C.a c  b c
ab
abc2 1c2 1
m, n2
20252025
已知m  R ， n  R ，若集合

,1  m , m  n, 0，则m n
m 
 （C）
A．0B．1C． 1D．1 或-1
设集合 A  {x | a  1  x  a  4}， B  {x | 4  x  7}，若 A ∪ B  B ，则a 的取值范围是
（D）
A．{a | a  3}
{a | 4  a  4}
{a | a  0}
D．{a | 3  a  3}
若命题“ x  R ， x2  4x  a  0 ”为假命题，则实数a的取值范围是( A )
a  4
a  4
a  4
a  4
已知集合
S  x x  m  1 , m  Z ，
P  x x  n  1 , n  Z ，


12
312


Q  x x  k  1 , k  Z ，则S ， P ， Q 之间的关系是（ B）


34
S  P  QB. S  P  Q
C. S  P  QD. P  Q  S
解析Q S  x x  m  1 , m  Z  x x  12m 1 , m  Z  x x  4  3n 1 , n  Z ，

12
12

12
P  x x  n  1 , n  Z  x x  4n 1 , n  Z ，



31212
Q  x x  k  1 , k  Z  x x  4k  3 , k  Z  x x  4n 1 , n  Z ，

34
12

12


 S  P  Q .
在整数集 Z 中， 被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“ 类”， 记为k  ， 即
k   5n  k n  Z, k  0,1, 2, 3, 4 ，则下面选项正确的为（ C）
2025 3
2 2
C.       
所以b  5n3  p  t ， n3  t  Z ，所以a, b 除以5 后余数相同，
所以a, b 属于同一“类”
所以整数a、b 属于同一“类”的充要条件是“ a  b 0”，D 错误.
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 4 分，部分选对的得 2 分，
有选错的得 0 分）.
已知集合 A  {1, 2, a2}， B  {1, a  2} ，若 A ∪ B  A ，则a 的取值可以是（BC）
A. 1B. 0C. 2D. 2
图中阴影部分用集合符号可以表示为（AD）
A． B  A  C 
C． B  CU ( A  C)
B． CU B  ( A  C)
D．  A  B  B  C 
【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素 x ，则 x  A ∩ B 或 x  B ∩ C ，所以阴影部分所表示的集合为  A  B  B  C  ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为
B  A  C  ，
所以选项AD正确，选项CD不正确，故选：AD.
用card  P 表示集合 P 中元素的个数，对于集合A 、 B ，定义 A  B  card  A  card  B ，若 A  x x2  ax 1  0 ， B  x x2  axx2  ax 1  0，且 A  B  1，则实数a 的值可能为
（）
A． 2B． 0C．1D． 2
【解析】ABD 对 x2  ax 1  0 ，有1  a2  4  0 ，
故card  A  2 ，则card  B  1 或card  B  3 ，
当card  B  1 时，由x2  axx2  ax 1  x  x  ax2  ax 1  0 ，故0  B ，则有0  a  0 ，即a  0 ，
此时 B  x x2 x2 1  0  0 ，符合要求；
当card  B  3 时，则a  0 ，故0, a  B ，
2
对于 x2  ax 1  0 ，若  a2  4  0 ，解得a  2 ，
① 当a  2 时， x2  ax 1  x2  2x 1  0 ，解得 x  1 ，此时 B  1, 0, 2，符合要求；
② 当a  2 时， x2  ax 1  x2  2x 1  0 ，解得 x  1 ，此时 B  0,1, 2，符合要求.
2
若  a2  4  0 ，则 x2  ax 1  0 有一根属于0, a ，另一根不属于0, a ，当 x  0 时，有0  0 1  1  0 ，故0 不是 x2  ax 1  0 的根，
当 x  a 时，有a2  a2 1  2a&2 1  0 ，故a 不是 x2  ax 1  0 的根，
故Δ2  0 时，不合题意；
综上所述，实数a 的值可能为0 或2 ．
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分.)
已知0 < a < 1，0 < b < 1，则ab与a + b−1的大小关系为
?? > ? + ?−1.
[解析】??−?−? + 1 = (?−1)(?−1)，因为0 < ? < 1，0 < ? < 1，
所以?−1 < 0，?−1 < 0，所以(?−1)(?−1) > 0， 所以?? > ? + ?−1
设a, b, c, d 为实数，且a  b  0  c  d ，则下列不等式不正确的有
②③④.
① c2  cd
② a  c  b  d
③ ac  bd
1
④ a  c
1
b  d
设a, b  R ，集合 A  a, a2 1, B  b, b2 1，则“A  B”是“a  b”的充要条件
条件.（填充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）
四、解答题(本题共 5小题，共 52 分.)
a
已知2 < a < 3，−2 < b < −1，分别求2a−b，
的取值范围．
b
【解答过程】因为2 < ? < 3，−2 < ? < −1，由4 < 2? < 6，1 < −? < 2，
得5 < 2?−? < 8，
所以2?−?的取值范围是(5,8)．
11
易知 < −
2?
< 1，
而2 < ? < 3
?
则1 < −? < 3，
?
所以?的取值范围是(−3,−1)．
16.（10分）已知a ， b 是实数，求证： a4  b4  2b2  1成立的充要条件是a2  b2  1.
【解析】先证明充分性：
若a2  b2  1，则a4  b4  2b2  (a2  b2 )(a2  b2 )  2b2  a2  b2  2b2  a2  b2  1成立．所以“ a2  b2  1”是“ a4  b4  2b2  1”成立的充分条件；
再证明必要性：
若a4  b4  2b2  1，则a4  b4  2b2 1  0 ，即a4  (b4  2b2  1)  0 ， a4  (b2  1)2  0 ，
(a2  b2 1)(a2  b2 1)  0 ，Q a2  b2  1  0 ， a2  b2  1  0 ，即a2  b2  1成立．所以“ a2  b2  1”是“ a4  b4  2b2  1”成立的必要条件.
综上： a4  b4  2b2  1成立的充要条件是a2  b2  1．
17．（10 分）已知集合 A  x 0  2x  a  3 ， B  x  1  x  2 ．
2

当a  1 时，求 A  B 和 A ∪ B ；
若 A  B ，求实数 a 的取值的集合．
1
2
【解析】（1）当a  1 时， A  x 0  2x 1  3，所以 A  x x  2 ，
 A  B  x


1
2
 x  2 , A  B  x  1  x  2 ；
2

（2）Q A  x  a  x  3  a  ， A  B ，
22 

 a   1
 22

则3  a
 2
，解得： 1  a  1．
 2
故实数a 取值的集合为a 1  a  1.
18．（10 分）已知集合 A  x | 1  x  6， B  x m 1  x  2m 1且 B   .
若“命题 p : x  A ， x  B ”是真命题，求实数m 的取值范围；
若 s : x  B 是t : x  A 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
【解析】（1）因为 B   ，所以2m 1  m 1  m  2
因为 A  x | 1  x  6， B  x | m 1  x  2m 1，
m  2

1  m 1  6 ， 2  m  5 ,
故m 的取值范围是m | 2  m  5.
（2）若 s : x  B 是t : x  A 的充分不必要条件,得 B 是A 的真子集， B   ，
2m 1  m 1
 m 1  1 ，解得2  m  7 ，故m 的取值范围是m | 2  m  7  .
22 

 2m 1  6
19.若集合A 具有以下性质：
① 0  A,1 A ；
②若 x, y  A ，则 x  y  A ，且 x  0 时， 1  A .
x
则称集合A 是“好集”.
分别判断集合B  1, 0,1 ，有理数集Q 是否是“好集”，直接写出结论；
设集合A 是“好集”，求证：若 x, y  A ，则 x  y  A ；
设集合A 是“好集”，求证：若 x  A ，则x2  A ；
【详解】（1）B 不是“好集”, 理由是：
1 B ，1 B ，而11  2  B ，∴B 不是“好集”；
Q 是“好集”， 理由是： 0 Q ，1Q ；对任意 x∈Q ， y Q ，有 x  y Q ，
且 x  0 时， 1 Q ，∴有理数集 Q 是“好集”.
x
因为集合A 是“好集”，所以0  A .
若 x, y  A ，则0  y  A ，即 y  A .
所以 x   y  A ，即 x  y  A .
对任意一个“好集” A ，任取 x  A ，若 x  0 或 x  1 时，显然x2  A .
x  0 且 x  1时，由定义可知： x 1,
1
x 1
, 1  A .
x
所以 1
x 1
 1  A ，即
x
1
x  x 1
 A .
所以 x  x 1 A .
由（2）可得： x  x 1  x  A ，即x2  A .