山西省太原市2025-2026学年高二上学期9月半月考数学试卷

这是一份山西省太原市2025-2026学年高二上学期9月半月考数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题.，多选题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
考试时间：2025 年 9 月 20 日 答题时间 90 分钟满分 100 分
一、单选题（8 小题，共 32 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）.
直线 y  2 的倾斜角为（）
π
2
直线 x 
π
B. 0C. 4
3y 1  0 的一个方向向量是（）．
D.  π 2
A. (1,3 )
3
B. (1, 3)C.
(1, 3 )
3
D. (1,  3)
若直线l1 : mx  2 y  1  0 的倾斜角是直线l2 : x  3y 1  0 的倾斜角的两倍，则实数m  （）
3
2
​
2

3
3
3
已知 A3, 4 ， B 6, 3 两点到直线 l： ax  y 1  0 的距离相等，则 a 的值为（）

17
B.
C.  1 或 7
D. 1 或 7
393939
圆 x  42   y  32  25 关于原点0, 0 对称的圆的方程为（）
 x  42   y  32  25
C.  x  42   y  32  25
 x  42   y  32  25
D.  x  42   y  32  25
点 A1, 4 到直线l : 2λ1 x  λ1 y  λ 4  0 的最大距离是（）
5
A.
B. 2C.
D. 不存在
3
当方程 x2  y2  2kx  4 y  2k 2  0 所表示的圆取得最大面积时，直线 y  k 1 x 1 的倾斜角为
（）
3ππ
A.B.
44
2π5π
C.D.
34
在平面直角坐标系中，已知动点 P a, b 到两直线l1
: y  2x 与l2
: y   1 x 1 的距离之和为，则
5
2
b + 1 a + 4
的取值范围是（）
A  ∞,  1    7 , ∞B.  ∞,  1   7 , ∞
17  6
17  6

C.  1 , 7 

D.   1 , 7 
 17 6  17 6 

二、多选题（多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 全部选对的得 6 分，部分选对的得 2，3，4 分，有选错的得 0 分，每题有两个或两个以上是符合题目要求）.
若两直线l1, l2 的倾斜角分别为α1,α2 ，斜率分别是 k1, k2 ，则下列命题正确的是（）
若k1  k2 ，则α1 α2
C. 若α1 α2 ，则 k1  k2
若 k1  k2 ，则α1 α2
D. 若 k2  0  k1 ，则α1  90 α2
下列命题中，正确的是（）
如果 AB  0 且 BC  0 ，那么直线 Ax  By  C  0 不经过第三象限.
2 5
若直线l : x  2 y 1  0 与l : 2x  ay  2  0 平行，则l 与l 的距离为.
5
1212
圆 C： (x 1)2  ( y 1)2  4 关于直线 x  y 1  0 对称的圆方程为(x 2)2 (y 2)2  4.
点 A x, y  为圆(x  3)2  ( y  4)2  1上任意一点，则 x2  y2 的最大值为 6.
已知实数 x, y 满足圆的方程 x 12  y2  1 ，则（）
4
2
圆心(1, 0) ，半径为 1
x 的最大值为 3
2
​
的最大值为
2  1
2
x  y2 的最大值为 1
x2   y 12
2
三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）.
若点 P 1, 2 在圆 x2  y2  x  y  k  0 外，则实数 k 的取值范围为．
过点 P 2, 1 ，且在 x 轴、y 轴上的截距互为相反数的直线方程为．
已知一束光线通过点 A3, 5 ，经直线l : 3x  4 y  4  0 反射．如果反射光线通过点 B 2,15 ，则反射光线所在直线的方程是．
四、解答题（共 3 小题，共 35 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
已知直线l1 : 3x  m  1 y  6  0 ， l2 : mx  2 y  m  2  0 ，分别求满足下列条件的m 的值：
（1） l1 //l2 ；
（2） l1  l2 ．
（1）已知两直线l1 : x  y 1  0, l2 : x  y  5  0 .求过两直线的交点，且垂直于直线3x  4 y  5  0
的直线方程；
（2）已知直线l 的方程为2m 1 x  m 1 y  7m  4  0 ．直线l 交坐标轴正半轴于 A, B 两点，当
V AOB 的面积最小时，求V AOB 的周长．
已知圆C 过点 A(3, 2) 和点 B(1, 6) ，且圆心C 在直线 x  y 1  0 上.
求圆C 的标准方程；
经过点(5, 3) 作直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程.
高二年级半月考试题
数学
考试时间：2025 年 9 月 20 日 答题时间 90 分钟满分 100 分
一、单选题（8 小题，共 32 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）.
直线 y  2 的倾斜角为（）
π
2
【答案】B
【解析】
π
0C. 4
D.  π 2
【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解.
【详解】直线 y  2 为平行于 x 轴的直线，所以倾斜角为0 .
故选：B
直线 x  3y 1  0 的一个方向向量是（）．
(1,3 )
3
(1, 3)C.
(1, 3 )
3
D. (1,  3)
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出直线的斜率即可得解.
【详解】直线 x 
3y 1  0 的斜率为 k 
3 ，则该直线的一个方向向量是(1,
3
3 ) ，
3
而选项 BCD 中对应向量与(1,
3 ) 不共线，因此 A 是，BCD 不是.
3
故选：A
若直线l1 : mx  2 y  1  0 的倾斜角是直线l2 : x 
3y 1  0 的倾斜角的两倍，则实数m  （）
3
2
​
2

3
3
3
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线l2 的倾斜角，从而得到直线l1 的倾斜角及斜率，得到m .
2
【详解】因为直线l 的斜率 k 3 ，对应的倾斜角为 π ，
236
3
3
由题意可得，直线l 的倾斜角为 π ，故其斜率 k   m ，解得 m  2，
1312
故选：C．
已知 A3, 4 ， B 6, 3 两点到直线 l： ax  y 1  0 的距离相等，则 a 的值为（）

17
B.
 1 或 7
1 或 7
39
【答案】C
【解析】
3939
【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值.
【详解】法一：因为点 A3, 4 ， B 6, 3 到直线 l： ax  y 1  0 的距离相等，
所以

，即 3a  3  6a  4 ，
a2 1
3a  4 1
a2 1
6a  3 1
化简得27a2  30a  7  0 ，解得a   1 或 a   7 ；
39
法二：若 AB / /l ，由 A3, 4 ， B 6, 3 ，得直线 AB 的斜率为 3  4  7 ，又直线 l 的斜率为a ，
6  39
故 a   7 ；
9
若 A, B 在l 两侧，线段 AB 的中点 3 ,  1  ，代入直线 l： ax  y 1  0 ，得 3a  1 1  0 ，则a   1 ．
22
 

经检验， a   1 或 a   7 均符合题意.
39
故选：C
223
圆 x  42   y  32  25 关于原点0, 0 对称的圆的方程为（）
 x  42   y  32  25
C.  x  42   y  32  25
 x  42   y  32  25
D.  x  42   y  32  25
【答案】B
【解析】
【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程.
【详解】圆 x  42   y  32  25 的圆心为4, 3 ，半径r = 5 ．
圆心4, 3 关于原点0, 0 的对称点为4, 3 ，即所求圆的圆心为4, 3 ，半径为 5，所以所求圆的方程为 x  42   y  32  25 ．
故选：B.
点 A1, 4 到直线l : 2λ1 x  λ1 y  λ 4  0 的最大距离是（）
5
A.
B. 2C.
D. 不存在
3
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线 l 所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案.
【详解】直线l : 2λ1 x  λ1 y  λ 4  0 即l : 2x  y  1λ  x  y  4  0 ，
2x  y 1  0

令x  y  4  0
x  1

，解得 y  3 ，
即直线l : 2λ1 x  λ1 y  λ 4  0 过定点1, 3 ，设为 B，
当直线 AB 与 l 垂直时，点 A1, 4 到直线l : 2λ1 x  λ1 y  λ 4  0 的距离最大，
1  12  4  32
即为
4  3
此时 AB 的斜率为
，
5
  1 ，则 l 的斜率为 2，故 2λ 1  2 ，方程无解，
1  12λ 1
5
即直线 l 和 AB 不可能垂直，则点 A1, 4 到直线 l 的距离小于
，不存在最大值，
故选：D
当方程 x2  y2  2kx  4 y  2k 2  0 所表示的圆取得最大面积时，直线 y  k 1 x 1 的倾斜角为
（）
3ππ
A.B.
44
【答案】B
【解析】
2π5π
C.D.
34
【分析】将圆的一般式化为标准式，根据面积最大得 k  0 ，进而判断直线的斜率和倾斜角.
【详解】方程 x2  y2  2kx  4 y  2k 2  0 可化为 x  k 2   y  22  4  k 2 （其中4  k 2  0 ），当 k  0 时，圆的半径最大，即圆的面积最大，此时直线 y  x  1 的斜率为 1，即倾斜角为 π .
4
故选：B
在平面直角坐标系中，已知动点 P a, b 到两直线l1
: y  2x 与l2
: y   1 x 1 的距离之和为，则
5
2
b + 1
a + 4
的取值范围是（）
A.  ∞,  1    7 , ∞B.  ∞,  1   7 , ∞
17  6
17  6

C.  1 , 7 

D.   1 , 7 

 17 6  17 6 
【答案】C
【解析】
【分析】由点到直线的距离公式得 2a  b  a  2b  2  5 ，作图，结合 b + 1 的几何意义求解可得．
a + 4
【详解】将直线l : y  2x 与l : y   1 x 1 化为一般式为l : 2x  y  0, l
: x  2 y  2  0 ，
5
a  2b  2
5
12212
5
2a  b
所以 P a, b 到两直线的距离之和为
，
所以 2a  b  a  2b  2  5 ①．
 2a  b  0,

当a  2b  2  0 时，①式变形为3a  b  7 ；
 2a  b  0,

当a  2b  2  0 时，①式变形为 a  3b  3 ；
 2a  b  0,

当a  2b  2  0 时，①式变形为a  3b  7 ；
 2a  b  0,

当a  2b  2  0 时，①式变形为3a  b  3 ．
则动点 P a, b 的轨迹为如图所示的四边形的边，
+
b + 1 的几何意义为四边形边上任意一点与 E 4, 1 连线的斜率．
a4
由3a  b  3，得 a   3 , b   6 ，

2a  b  055
由3a  b  3 ，得 a   8 , b  9 ,

a  3b  7
55
 6 1
9 1
C   3 ,  6  ， D   8 , 9  ， k5
  1 ， k 5
 7 ，
55 
5 5 CE
317DE86

  4 5
  4 5
所以 b + 1 的取值范围是 1 , 7  ．
a + 4
 17 6 
故选：C
二、多选题（多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 全部选对的得 6 分，部分选对的得 2，3，4 分，有选错的得 0 分，每题有两个或两个以上是符合题目要求）.
若两直线l1, l2 的倾斜角分别为α1,α2 ，斜率分别是 k1, k2 ，则下列命题正确的是（）
若k1  k2 ，则α1 α2
C. 若α1 α2 ，则 k1  k2
若 k1  k2 ，则α1 α2
D. 若 k2  0  k1 ，则α1  90 α2
【答案】AD
【解析】
【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误.
【详解】A：由k1  k2 表明斜率存在，则tanα1  tanα2 ，
由正切函数在0, 90 90,180 上，倾斜角和斜率一一对应，故α1 α2 ，对；
B：若 k1  1， k2  1 时，相应的倾斜角α1  135 ，α2  45 ，不满足α1 α2 ，错；
C：由正切函数的图象知：
当0 α1 α2  90 和90 α1 α2  180 时， k1  k2 ； 当0 α1  90 ， 90 α2  180 时， k1  k2 ；
当α1  90 或α2  90 时， k1 或 k2 不存在，错；
D：因为 k2  0  k1 ，结合正切函数的图象知0 α1  90 ， 90 α2  180 ， 所以α1  90 α2 ，对.
故选：AD
下列命题中，正确的是（）
如果 AB  0 且 BC  0 ，那么直线 Ax  By  C  0 不经过第三象限.
2 5
若直线l : x  2 y 1  0 与l : 2x  ay  2  0 平行，则l 与l 的距离为.
5
1212
圆 C： (x 1)2  ( y 1)2  4 关于直线 x  y 1  0 对称的圆方程为(x 2)2 (y 2)2  4.
点 A x, y  为圆(x  3)2  ( y  4)2  1上任意一点，则 x2  y2 的最大值为 6.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用直线方程的性质判断 A，利用平行线间的距离公式判断 B，利用点关于直线对称点的研究判断 C，利用圆的几何意义判断 D．
【详解】对于 A，当 B  0 时，直线 Ax  By  C  0 等价于 y   A x  C ，
BB
由于 AB  0 且 BC  0 ，所以直线的斜率 k   A  0 ， y 轴截距b   C  0 ，
BB
即该直线经过第一、第二、第四象限，故 A 正确；
对于 B，由直线l1 : x  2 y 1  0 与l2 : 2x  ay  2  0 平行，则 a  4 ，
此时可化简直线l1 : x  2 y 1  0 与l2 : x  2 y 1  0 ，再由平行线间距离公式得：
1 4
11
d 
，故 B 正确；
2 5
5
对于 C，由圆 C： (x 1)2  ( y 1)2  4 可得，圆心C 1,1 ，设圆心C 1,1 关于直线 x  y 1  0 的对称圆心为Cm, n ，
 m 1  n 1 1  0
 22
m  2


则 n 1
1  1
 m 1
，解得n  2 ，
则对称圆的方程为(x 2)2 (y 2)2  4，故 C 正确；
对于 D，由于 x2  y2 可以看成动点 A x, y  到原点距离的平方，即可求圆心3，4 到原点的距离为 9+16 =5 ，而圆的半径为1，所以圆上的动点A 到原点的最大距离是5+1=6 ，
即 x2  y2 的最大值是36 ，故 D 错误；
故选：ABC．
已知实数 x, y 满足圆的方程 x 12  y2  1 ，则（）
4
2
圆心(1, 0) ，半径为 1
x 的最大值为 3
2
2
x2   y 12
​
【答案】BC
的最大值为
2  1
2
x  y2 的最大值为 1
【解析】
x2   y 12
【分析】由圆的标准方程判断圆心与半径知 A 错误；用 y 表示 x 并利用 y2  0 可求得 x 的范围判断 B；将转化为圆上点到定点的距离，利用几何意义进行求解可判断 C；利用圆的方程将 x  y2 转化
为一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断 D.
【详解】 x 12  y2  1 表示圆心为(1, 0) ，半径为 1 的圆，A 错误；
42
 x 12  1  y2  1   1  x 1  1 ，解得 1  x  3 ，即 x 的最大值为 3 ，B 正确；
4422222
x2   y 12
表示圆上点(x, y) 到定点( 0, 1) 的距离，圆心(1, 0) 到定点( 0, 1) 的距离为
(1- 0)2 +(0 - 1)2
d =
=，圆上点(x, y) 到定点( 0, 1) 的距离的最大值为 d + r =
2 + 1 ，C 正确；
2
2
由  x 12  y2  1 得 y2  1   x 12 ， 代 入 x  y2 得 x  y2  x   1   x 12   x2  x  3 ，
44 44
1  x  3 ， 因 为 函 数
22
f (x) = x2 - x + 3 在
4
1 3
[ , ] 上 单 调 递 增 ， 所 以
2 2
x  y2 的 最 大 值 为
f  3   9  3  3  3 ，D 错误.
2

 4242
故选：BC
三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）.
若点 P 1, 2 在圆 x2  y2  x  y  k  0 外，则实数 k 的取值范围为．
【答案】 6  k  1
2
【解析】
1 22 1 2  k  0
【分析】根据条件，得 2
1
 12
 4k  0
，即可求解.
【详解】因为点 P 1, 2 在圆 x2  y2  x  y  k  0 外，
1 22 1 2  k  01
则 2
1
 12
 4k  0
，解得6  k  ，
2
故答案为： 6  k  1 .
2
过点 P 2, 1 ，且在 x 轴、y 轴上的截距互为相反数的直线方程为．
【答案】 y   1 x 和 x  y  3  0
2
【解析】
【分析】根据截距是否为 0，由待定系数法即可求解.
【详解】当在 x 轴、y 轴上的截距为 0 时，设直线方程为 y  kx ，代入 P 2, 1 ，可得
1  2k ，故 k   1 ，此时直线方程为 y   1 x ，
22
当截距均不为 0 时，设直线方程为 x  y  1 ，将 P 2, 1 代入可得 2  1  1 ，解得 a  3 ，
aaaa
故直线方程为 x  y
33
 1，即 x  y  3  0 ，
综上可得满足条件的直线方程有： y   1 x 和 x  y  3  0 ，
2
故答案为： y   1 x 和 x  y  3  0
2
已知一束光线通过点 A3, 5 ，经直线l : 3x  4 y  4  0 反射．如果反射光线通过点 B 2,15 ，则反射光线所在直线的方程是．
【答案】18x  y  51  0
【解析】
【分析】先求出 A3, 5 关于直线l 的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点 B 2,15 和对称点，从而
得到反射光线所在直线方程.
【详解】设点 A3, 5 关于直线l 的对称点为 A  x , y
3

 ，则
3  x0
2
 4 
5  y0
2
 4  0
，
00 y
 54
解得 x0  3, y0  3，故 A3, 3 .
由于反射光线所在直线经过点 A3, 3 和 B 2,15 ，
 0  
 x0  33
所以反射光线所在直线的方程为 y  15  3  15  x  2 ，即18x  y  51  0 .
3  2
故答案为：18x  y  51  0 .
四、解答题（共 3 小题，共 35 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
已知直线l1 : 3x  m  1 y  6  0 ， l2 : mx  2 y  m  2  0 ，分别求满足下列条件的m 的值：
（1） l1 //l2 ；
（2） l1  l2 ．
【答案】（1） m  3
（2） m   2
5
【解析】
【分析】（1）利用一般式方程两条直线平行的条件可得答案；
（2）利用一般式方程两条直线垂直的条件可得答案．
【小问 1 详解】
3 2  m m 1

因为l1 //l2 ，所以6m  3m  2 ，解得 m  3 ，
所以当l1 //l2 时， m  3 ；
【小问 2 详解】
因为 l  l ，所以3 m  m 1 2  0 ，解得 m   2 ，
125
所以当l  l 时， m   2 ．
125
（1）已知两直线l1 : x  y 1  0, l2 : x  y  5  0 .求过两直线的交点，且垂直于直线3x  4 y  5  0
的直线方程；
（2）已知直线l 的方程为2m 1 x  m 1 y  7m  4  0 ．直线l 交坐标轴正半轴于 A, B 两点，当
V AOB 的面积最小时，求V AOB 的周长．
10
【答案】（1） 4x  3y  6  0 ；（2） 8  2
【解析】
【分析】（1）先求两直线l1、l2 的交点，再根据垂直关系求所求直线斜率，进而得直线方程；
（2）先确定直线l 过定点，再求出与坐标轴正半轴交点 A、B 的坐标表达式，结合面积最小利用基本不等式计算即可求周长.
x  y  5  0
【详解】（1）联立方程x  y 1  0 ，解得 x  3, y  2 ；

因为所求直线垂直于直线3x  4 y  5  0 ，所以所求直线的斜率为 4 ，
3
故所求直线方程为 y  2  4  x  3 ，即4x  3y  6  0 ；
3
（2）由2m  1 x  m  1 y  7m  4  0 可得， m 2x  y  7  x  y  4  0 ，
令2x  y  7  0 ，解得x  3 ，所以直线l 过定点 M 3,1 ．


x  y  4  0 y  1
由题意可设直线l 的方程为 y 1  k  x  3(k  0) ，直线l 与 x 轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A, B ，
令 x  0 ，得 yB
 1 3k ；令 y  0 ，得 xA
 3  1 ．
k
9k   1 
k 

所以V AOB 的面积 S  1 1  3k  3  1   1 9k     1   6  1 2

 6  6 ，
2k 2 
k 
2 


当且仅当9k  1
k
，即 k   1 时等号成立，此时V AOB 面积最小，
3
62  (2)2
A6, 0, B 0, 2 ， AB 
 2，
10
10
10
V AOB 的周长为6  2  2 8  2．
10
所以当V AOB 面积最小时， V AOB 的周长为8  2．
已知圆C 过点 A(3, 2) 和点 B(1, 6) ，且圆心C 在直线 x  y 1  0 上.
求圆C 的标准方程；
经过点(5, 3) 作直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程.
【答案】（1） (x 1)2  ( y  2)2  16
（2） x  5 或15x  8 y  99  0
【解析】
【分析】（1）设圆的方程为(x  a)2  ( y  b)2  r 2 (r  0) ，带入 A、B 点的坐标以及将圆心带入直线方程构成方程组，解方程组可得答案；
（2）分直线l 的斜率不存在和斜率存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式即可求得切线 l 的方
程.
【小问 1 详解】
设圆C 的方程为(x  a)2  ( y  b)2  r 2 (r  0) ，
(3  a)2  (2  b)2  r 2

则(1 a)2  (6  b)2  r 2

a  b 1  0
a  1

，解得b  2 ，

r  4
所以圆C 的标准方程为(x 1)2  ( y  2)2  16 .
【小问 2 详解】
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 x  5 ，此时符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y  k (x  5)  3 ，
1 k 2
由| 4k 1|  4 ，得k  15 ，
8
则直线l 的方程为 y  15 (x  5)  3 ，即15x  8 y  99  0 .
8
故直线l 的方程为 x  5 或15x  8 y  99  0 .