山西省太原市某校2025-2026学年高二上学期9月半月考数学试题含答案解析

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考试时间：2025年9月20日 答题时间90分钟 满分100分
一、单选题（8小题，共32分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据直线方程和倾斜角定义求解.
【详解】直线为平行于轴的直线，
所以倾斜角为.
故选：B
2. 直线的一个方向向量是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出直线的斜率即可得解.
【详解】直线的斜率为，则该直线的一个方向向量是，
而选项BCD中对应向量与不共线，因此A是，BCD不是.
故选：A
3. 若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，得到.
【详解】因为直线的斜率，对应的倾斜角为，
由题意可得，直线的倾斜角为，故其斜率，解得，
故选：C．
4. 已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值.
【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等，
所以，即，
化简得，解得或；
法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故；
若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则．
经检验，或均符合题意.
故选：C
5. 圆关于原点对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程.
【详解】圆的圆心为，半径．
圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5，
所以所求圆的方程为．
故选：B.
6. 点到直线的最大距离是（ ）
A. B. 2C. D. 不存在
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案.
【详解】直线即，
令，解得，
即直线过定点，设为B，
当直线与l垂直时，点到直线的距离最大，
即为，
此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解，
即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值，
故选：D
7. 当方程所表示的圆取得最大面积时，直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将圆的一般式化为标准式，根据面积最大得，进而判断直线的斜率和倾斜角.
【详解】方程可化为（其中），
当时，圆的半径最大，即圆的面积最大，此时直线的斜率为1，即倾斜角为.
故选：B
8. 在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由点到直线的距离公式得，作图，结合的几何意义求解可得．
【详解】将直线与化为一般式为，
所以到两直线的距离之和为，
所以①．
当时，①式变形为；
当时，①式变形为；
当时，①式变形为；
当时，①式变形为．
则动点的轨迹为如图所示的四边形的边，
的几何意义为四边形边上任意一点与连线的斜率．
由，得，
由，得,
，，，，
所以的取值范围是．
故选：C
二、多选题（多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 全部选对的得6分，部分选对的得2，3，4分，有选错的得0分，每题有两个或两个以上是符合题目要求）.
9. 若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误.
【详解】A：由表明斜率存在，则，
由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对；
B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错；
C：由正切函数的图象知：
当和时，；
当，时，；
当或时，或不存在，错；
D：因为，结合正切函数的图象知，，
所以，对.
故选：AD
10. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 如果且，那么直线不经过第三象限.
B. 若直线与平行，则与的距离为.
C. 圆C：关于直线对称的圆方程为.
D. 点为圆上任意一点，则的最大值为6.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用直线方程的性质判断A，利用平行线间的距离公式判断B，利用点关于直线对称点的研究判断C，利用圆的几何意义判断D．
【详解】对于A，当时，直线等价于，
由于且，所以直线的斜率，轴截距，
即该直线经过第一、第二、第四象限，故A正确；
对于B，由直线与平行，则，
此时可化简直线与，再由平行线间距离公式得：
，故B正确；
对于C，由圆C：可得，圆心，
设圆心关于直线的对称圆心为，
则，解得，
则对称圆的方程为，故C正确；
对于D，由于可以看成动点到原点距离的平方，
即可求圆心到原点的距离为，而圆的半径为，
所以圆上的动点到原点的最大距离是，
即的最大值是，故D错误；
故选：ABC．
11. 已知实数满足圆的方程，则（ ）
A. 圆心，半径为B. 的最大值为
C. 的最大值为D. 的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】由圆的标准方程判断圆心与半径知A错误；用y表示x并利用可求得x的范围判断B；将转化为圆上点到定点的距离，利用几何意义进行求解可判断C；利用圆的方程将转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断D.
【详解】表示圆心为，半径为的圆，A错误；
，解得，即的最大值为，B正确；
表示圆上点到定点的距离，圆心到定点的距离为，圆上点到定点的距离的最大值为，C正确；
由得，代入得，，因为函数在上单调递增，所以的最大值为，D错误.
故选：BC
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）.
12. 若点在圆外，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
分析】根据条件，得，即可求解.
【详解】因为点在圆外，
则，解得，
故答案为：.
13. 过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为__________．
【答案】和
【解析】
【分析】根据截距是否为0，由待定系数法即可求解.
【详解】当在x轴、y轴上的截距为0时，设直线方程为，代入，可得
，故，此时直线方程，
当截距均不为0时，设直线方程为，将代入可得，解得，
故直线方程为，即，
综上可得满足条件的直线方程有：和，
故答案为：和
14. 已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程.
【详解】设点关于直线的对称点为，则，
解得，故.
由于反射光线所在直线经过点和，
所以反射光线所在直线的方程为，即.
故答案为：.
四、解答题（共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
15. 已知直线，，分别求满足下列条件的的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用一般式方程两条直线平行的条件可得答案；
（2）利用一般式方程两条直线垂直的条件可得答案．
【小问1详解】
因为，所以，解得，
所以当时，；
【小问2详解】
因，所以，解得，
所以当时，．
16. （1）已知两直线.求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
（2）已知直线的方程为．直线交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先求两直线交点，再根据垂直关系求所求直线斜率，进而得直线方程；
（2）先确定直线过定点，再求出与坐标轴正半轴交点的坐标表达式，结合面积最小利用基本不等式计算即可求周长.
【详解】（1）联立方程，解得；
因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为，
故所求直线方程为，即；
（2）由可得，，
令，解得，所以直线过定点．
由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为，
令，得；令，得．
所以的面积，
当且仅当，即时等号成立，此时面积最小，
，，
的周长为．
所以当面积最小时，的周长为．
17. 已知圆过点和点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）经过点作直线与圆相切，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设圆的方程为，带入A、B点的坐标以及将圆心带入直线方程构成方程组，解方程组可得答案；
（2）分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式即可求得切线l的方程.
【小问1详解】
设圆的方程为，
则，解得，
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得，
则直线的方程为，即.
故直线的方程为或.