山西省太原市2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

这是一份山西省太原市2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷，共11页。试卷主要包含了AD10， 513，证明等内容，欢迎下载使用。

2025～2026 学年第一学期高二年级期中学业诊断数学试卷
14
17
一．选择题：BACCABCD二．选择题：9.AD10.BC11.BCD
三．填空题:12. 513.
14.
四．解答题：15.解：（1）B (1,1) ， C (3, 2) ，kBC
边 BC 上的高所在直线的斜率 k  4 ,
  1 ，
4
边 BC 上的高所在直线的斜截式方程为 y  4x  2 .………6 分
 

x
（2）设 D(x, y) 是边 AC 的中点，则
13
2
 2,
 D(2,0) ，

y 

22
2
0,
边 AC 上的中线 BD 的一般式方程为 x  3y  2  0 .………13 分
1 1 1
16.（1）解：由题意得 AD1  AD  DD1  2 ( AB  AC)  AA1  2 a  2 b  c ；………3 分
|2  1 1 21 21 2 21
| AD( a  b  c)  a  b  c  a  b  b  c  c  a
122
111
442
11
11
  1
44
cs 60  cs 60  cs 60 
2
4 ，| AD1 |
.………8 分
2
1 1
（2）由（1）得 AD1  2 a  2 b  c ， BC  AC  AB  b  a ，………9 分
( a
 AD  BC  1  1 b  c)（ b  a） 1 a b  1 b2  c b  1 a2  1 b  a  c  a
1222222
1111
 cs 60   cs 60 
22
2  2 cs 60  cs 60  0 ， AD1  BC ，………14 分
 AD1  BC .………15 分
17.（1）证明：取 SD 中点G ，连接 AG, FG ,
1
 F 为 SC 的中点， FG // DC ， FG  CD  2 ，2 分
2
又 AB // DC ， AB  2 , FG // AB, FG  AB ，四边形 ABFG 为平行四边形，
 BF // AG ， BF // 平面 SAD .6 分
z
S
G
D
F
C
y
A
x
B
（2）当CD  SD 时， AD  DC ，CD  平面 SAD ，平面 ABCD  平面 SAD ，以 D 为原点，DA, DC 所在直线分别为 x 轴、y 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0) ，
3
1
B(2,2,0) , C(0,4,0), S(1,0,
3), F(
2
,2,
)……8 分
2
设 m  (x1 , y1 , z1 ) 是平面 BCF 的一个法向量，
则
m  BC,

 2x1  2y1  0,

令 z1 
3
，则 x1  y1 1， m  (1,1,
3) ，………10 分

 33
m  BF ,
 2 x1  2 z1  0,
n  DB,
2x2  2 y2  0,

设 n  (x2 , y2 , z2 ) 是平面 BDF 的一个法向量，则


 33
n  BF , 2 x1  2 z1  0,
令 z1  3 ，则 x1  1, y1  1，n  (1,1, 3) ，12 分

cs  m, n 

m  n
| m || n |
 3 ，平面 BCF 与平面 BDF 夹角的余弦值为
5
3
.……15 分
5
解：（1）由题意得点 P 到直线l 的距离为 d | x  (4) || x  4 | ，
| PF |
由 d
 1 得
2
(x  1)2  y 2
| x  4 |
x2
 ，化简整理得 x  y
1
2
2
243
y 2
 1 ，
所以曲线C 的标准方程为
43
 1 .………4 分
（2）由题意得设直线 DE 的方程为 y  kx  4 ， D(x1 , y1 ) , E(x2 , y2 )，
y  kx4,
32k
22
x1  x2   3 4k2 ,
由x2y2
得(3 4k )x
 32kx  52  0 ,52
………7 分
1

 x x ,
 43
1 23 4k2
由  (32k)2  452(3 4k 2)  0 得k   13 或k
2
13

，………8 分
2
| DE |2  (1 k 2 )(x  x )2  (1 k 2 )[(x  x )2  4x x ]  (1 k 2 )[(32k )2  4  52 ]
12
4 3 1 k 24k 2 13
48(1 k 2 )(4k 2 13)
121 2
3  4k 23  4k 2
，| DE |
(3  4k 2 )2
4
3  4k 2
，………11 分
又点O 到直线 DE 的距离为 d1 ，
1  k 2
18 3 4k 2 13
8 3
2 t 16
t
3
△ DOE 的面积 SDOE  2 | DE | d1 3  4k 2，………13 分
令t 
4k2 13 (k  13或k13 ，则 S
 8 3t
 8 3 

， …15 分

22 )DOE
29
16
t2 16
t  16
t
当且仅当t ，即当t  4， k  
t2
时，△ DOE 面积取最大值
．………17 分
3
1
解：（1）易得圆 N 的标准方程为(x 4)2 (y 1)2  9， N (4,1) ，其半径r  3，…2 分
 M (a,0)(a  1) ， d (M , N )  max{| a  4 |,1}  4 ，| a  4 | 4 ，4 分
 a  0 或 a  8 （舍去），圆 M 的圆心为 M (0,0) ，半径为r2  2 ，6 分
17
 r2  r1  1 | MN | r1  r2  5 ，圆 M 与圆 N 相交.8 分
（2）由（1）得圆 M : x2  y2  4 ， E(2,0), F (2,0) ，
y  y  
2m ,
22
x  my1, 12
由得(1 m ) y  2my  3  0 ,
1 m2
…………11 分
x
3
 2  y2  4

 y y  ,
 1 21 m2
直线 AE 的方程为 x  2  x1  2 y ，直线 BF 的方程为 x  2  x2  2 y ，13 分
 x  2 
x  2
y2 (x1  2) 
y1 (x2  2)
y1
y2 (my1  3)
y1 (my2 1)
y2
 my1 y2  3 y2 ，
my1 y2  y1
y  y  
2m ,
 12
1 m2
my y
 3 (y  y )， x  2  my1 y2  3y2  3 ， x  4,


 y y  3,
 1 21 m2
1 2212
x  2
my1 y2 1 y
直线 AE 与 BF 的交点在定直线 x  4 上.………17 分
注：以上各题其它解法请酌情赋分.