江苏省南京市秦淮区2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷（学生版）

这是一份江苏省南京市秦淮区2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. “向空中抛2枚同样的一元硬币，落地后朝上一面相同”的概率是（ ）
A. 0B. C. D. 1
3. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A B. C. D.
4. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲出发几日，甲乙相逢？设甲出发x日，甲乙相逢，可列方程（ ）
A. B.
C. D.
6. 在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题2分，共20分）
7. 分式中字母的取值范围是___________________．
8. 检测“嫦娥六号”登月探测器零件的质量，适合采用________（填“普查”或“抽样调查”）．
9. 若关于的方程有增根，则________________．
10. 已知，则的值是______．
11. 若实数a、b满足，则_____．
12. 已知实数，满足，则代数式的最小值是______．
13. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器___________台．

14. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则的长是______．
15. 如图，为的弦，且，垂足为E，若的长为，则______．
16. 如图，已知扇形中，圆心角，半径，点为．上一点，将沿翻折后交于点，点分别为中点，过点作与翻折后的弧线交于点，则的最小值为______．
三、解答题（写出必要的证明过程和解答过程，满分88分）
17. 计算：
（1）．
（2）．
18. 先化简，再求值：，且为满足的整数．
19. 解下列方程：
（1）；
（2）
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值．
21. 如图，矩形中，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求的面积．
22. 某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．
（1）如果衬衫的单价降了元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元；
（2）如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？
23. 如图，是的直径，是的弦，半径，交于点F，点D在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分面积．
24. 已知：和外一点．
尺规作图：在图中，过点作两条切线、，、为切点（要求：两种方法保留作图痕迹，写出简单作法）．
25. 如图，四边形ABCD是内接四边形，，，垂足分别是E、F．
（1）直接写出OF与CD的数量关系 ，并证明你的结论．
（2）若，．求的半径．
26. 【动手操作】（1）尺规作图：在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径作圆，交轴的正半轴于点A，交的轴的正半轴于点，再分别以点A、为圆心，适当长为半径作弧，两弧在第一象限内交于点；
【自主探索】（2）在（1）的条件下，解方程：；
【拓展延伸】（3）根据一元二次方程的求根公式，可以得到，．在此基础上通过直接计算得到，．这就是一元二次方程“根与系数的关系”（我们还可以用如下的方法推导：由于方程的两个根分别是，，可把方程写为，可得，结合“多项式相等”知识，，，即，．若一元三次方程存在三个根、、．请你求出有三个根的条件下，一元三次方程根与系数的关系？
27. 定义：内接于，I为的内心，若I关于该三角形某条边的对称点恰好在上，则称为的“完美三角形”．
【初步认识】（1）下列内接三角形一定是的“完美三角形”的有 （填序号）：
①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为的直角三角形．
【探索本质】（2）如图1，是的“完美三角形”，其内心I关于的对称点D在上．
①求的度数；
②若，求的半径．
【理解应用】（3）如图2，⊙O的半径为，弦AB=24．
①仅用圆规在⊙O上作出点C，使为⊙O的“完美三角形”（作出符合条件的一种情况即可，不写作法，保留作图痕迹）；
②直接写出AC所有可能的值．