江苏省南京市秦淮区2023-2024学年上学期期末检测九年级数学试卷

这是一份江苏省南京市秦淮区2023-2024学年上学期期末检测九年级数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（ ）
A．y＝1﹣3x3B．y＝x2﹣5x
C．y＝x4+2x2﹣1D．
2．（2分）若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定
3．（2分）某班5名学生的体重（单位：kg）分别为：51，53，47，51，60，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A．60kg，51kgB．51kg，47kgC．60kg，47kgD．51kg，51kg
4．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．平行四边形
C．正五边形D．正八边形
5．（2分）一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定有没有实数根
6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），二次函数 y＝x2﹣2ax+b （a，b是常数）的图象的顶点在线段AB上，则b的最小值为（ ）
A．0B．C．D．2
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请
7．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的根是 ．
8．（2分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+5＝0的两根，则x1+x2的值是 ．
9．（2分）若△ABC内接于⊙O，∠AOB＝120°，则圆周角∠ACB的度数 ．
10．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE＝ °．
11．（2分）某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程 ．
12．（2分）圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为 cm2．
13．（2分）杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是x1，x2，x3，x1+1，x2+2，x3+3．若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为 环．
14．（2分）如图，点B，C在⊙O上，D为的中点，直径AD交BC于点E，AD＝6，，则DE的长为 ．
15．（2分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B，将函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移，平移后的图象与x轴交于点C，D．若AB＝2CD，则平移后的图象对应的函数表达式为 ．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣4＝0；
（2）x（x﹣3）＝3﹣x．
18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点A（﹣1，y1），B（4，y2）在这个函数的图象上，则y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
19．（8分）如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45m2，墙的最大可用长度为10m，求边AB的长．
20．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，CD，BC平分∠ABD．
（1）求证∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，则AC的长为 ．
21．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球和a个红球，这些球除颜色外都相同．已知从袋中任意摸出1个球是白球的概率是．
（1）a的值是 ；
（2）先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球颜色不同的概率．
22．（8分）已知P是⊙O上一点，在⊙O上作两点A，B，使得∠APB分别满足以下条件：
（1）在图①中，∠APB＝90°；
（2）在图②中，∠APB＝30°．
（说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．）
23．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m的值．
24．（7分）2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下：
上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级．
（1）计算这7天最低气温的平均数和方差．
（2）阅读冷空气等级标准表：
本次来临的冷空气的等级是 ．（填序号）
（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论．
25．（8分）2023年12月18日晚，甘肃省积石山县发生6.2级地震．“一方有难，八方支援”，某商家决定将后续一个月销售某商品获得的利润全部捐赠给灾区．已知购进该商品的成本为10元/件，当售价为12元时，平均每天可以卖出1200件．调查发现，该商品每涨价1元，平均每天少售出100件．当每件商品的售价是多少元时，该商家捐赠的金额最大？最大捐赠金额是多少？（一个月按30天计算）
26．（9分）阅读下列内容：
如果点P（a，b）在一次函数y＝x+1的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径．
所以点（2a，2b）一定在函数y＝x+2的图象上．
根据阅读内容解决下列问题：
（1）如果点P（a，b）在反比例函数的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格．
（2）如果点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，判断点（a+b，ab）一定在哪个函数的图象上？说明理由．
27．（10分）如图，已知A，B是⊙O的2个三等分点，C是优弧AB上的一个动点（点C不与A，B两点重合），连接AB，BC，AC．D，E分别是， 的中点，连接DE，分别交AC，BC于点F，G．
（1）当点C运动到优弧AB的中点时，直接写出DE与AB的关系．
（2）求证FG+AB＝AF+BG．
（说明：第（2）题共5分，如果你觉得困难，可以在（1）的条件下证明，证明正确得2分．）
（3）若I是AE，BD的交点，点O与点I的距离记为d．当AB＝6时，d取值范围是 ．
2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．（2分）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（ ）
A．y＝1﹣3x3B．y＝x2﹣5x
C．y＝x4+2x2﹣1D．
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【解答】解：A、y＝1﹣3x3，x的最高次数是3，不是二次函数，不符合题意；
B、y＝x2﹣5x，是二次函数，符合题意；
C、y＝x4+2x2﹣1，x的最高次数是4，不是二次函数，不符合题意；
D、y＝，不是二次函数，不符合题意．
故选：B．
2．（2分）若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定
【分析】根据点P到圆心的距离与圆的半径比较大小即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，1＜2，
∴点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O内，
故选：C．
3．（2分）某班5名学生的体重（单位：kg）分别为：51，53，47，51，60，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A．60kg，51kgB．51kg，47kgC．60kg，47kgD．51kg，51kg
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中51出现了1次，次数最多，故众数是51kg；
将这组数据从小到大的顺序排列为：47，51，51，53，60，处于中间位置的那个数是51，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是51kg．
故选：D．
4．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．平行四边形
C．正五边形D．正八边形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
5．（2分）一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定有没有实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【解答】解：一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0可化为﹣8x2﹣8x+a2﹣2＝0，
∵a＝﹣8，b＝﹣8，c＝a2﹣2，a≠0，
∴Δ＝（﹣8）2﹣4×（﹣8）×（a2﹣2）＝64+32a2﹣64＝32a2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），二次函数 y＝x2﹣2ax+b （a，b是常数）的图象的顶点在线段AB上，则b的最小值为（ ）
A．0B．C．D．2
【分析】先用a，b表示出二次函数图象的顶点坐标，再结合该顶点在线段AB上即可解决问题．
【解答】解：∵二次函数解析式为 y＝x2﹣2ax+b （a，b是常数），
∴顶点坐标为（a，﹣a2+b）．
又∵A（2，0），B（0，2），
∴直线AB的函数解析式为y＝﹣x+2．
∵二次函数图象的顶点在线段AB上，
∴﹣a2+b＝﹣a+2，且0≤a≤2，
则b＝a2﹣a+2＝（）2+，
∴当a＝时，b有最小值为．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请
7．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的根是 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1．
8．（2分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+5＝0的两根，则x1+x2的值是 ．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣＝．
故答案为：．
9．（2分）若△ABC内接于⊙O，∠AOB＝120°，则圆周角∠ACB的度数 60°或120° ．
【分析】分点C在优弧和劣弧上两种情况，当点C在优弧上时，可直接利用圆周角定理得到∠ACB是∠AOB的一半，当点C在劣弧上时，可以优弧上找点D，则可求得∠ADB是∠AOB的一半，再利用圆内接四边形的性质可求得∠ACB
【解答】解：如图1，当点C在优弧上时，
则∠ACB＝∠AOB＝60°；
如图2，
当点C在劣弧上时，
在优弧上找点D，
连接DA、DB，
则可得∠ADB＝∠AOB＝60°，
又∵四边形ACBD为圆的内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ACB的度数是60°或120°；
故答案为：60°或120°．
10．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE＝ 80 °．
【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠DCB＝180°，
又∵∠DCE+∠DCB＝180°
∴∠DCE＝∠A＝80°
故答案为：80．
11．（2分）某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程 36（1﹣x）2＝25 ．
【分析】根据某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
36（1﹣x）2＝25，
故答案为：36（1﹣x）2＝25．
12．（2分）圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为 15π cm2．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，
侧面面积＝×6π×5＝15π（cm2）．
故答案为：15π．
13．（2分）杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是x1，x2，x3，x1+1，x2+2，x3+3．若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为 8 环．
【分析】根据前3箭的平均成绩为7环，可以得到前三箭的总环数，从而可以得到这六箭的总环数，从而可以得到平均成绩．
【解答】解：由题意可得，
x1+x2+x3＝3×7＝21，
∴（x1+x2+x3+x1+1+x2+2+x3+3）÷6
＝48÷6
＝8（环），
即这6箭的平均成绩为8环，
故答案为：8．
14．（2分）如图，点B，C在⊙O上，D为的中点，直径AD交BC于点E，AD＝6，，则DE的长为 3﹣ ．
【分析】连接OB，根据圆心角、弦、弧的关系推出AD⊥BC，根据垂径定理求出BE＝BC＝，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，连接OB，
∵D为的中点，直径AD交BC于点E，
∴AD⊥BC，
∴BE＝BC＝，
∵AD＝6，
∴OB＝OD＝3，
在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，
∴32＝OE2+，
∴OE＝或OE＝﹣（舍去），
∴DE＝OD﹣OE＝3﹣，
故答案为：3﹣．
15．（2分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B，将函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移，平移后的图象与x轴交于点C，D．若AB＝2CD，则平移后的图象对应的函数表达式为 y＝x2﹣2x ．
【分析】先解方程x2﹣2x﹣3＝0得到A（﹣1，0），B（3，0），则AB＝4，所以CD＝2，由于函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移时对称轴不变，对称轴为直线x＝1，而C、D关于直线x＝1对称，所以C（0，0），D（2，0），然后利用交点式写出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，
∵AB＝2CD，
∴CD＝2，
∵函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移时对称轴不变，仍然为直线x＝1，
∴C（0，0），D（2，0），
∴平移后抛物线的解析式为y＝x（x﹣2），
即y＝x2﹣2x．
故答案为：y＝x2﹣2x．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为 13 ．
【分析】过点分别作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AC于点H，根据切线长定理得到AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，ME＝HE，MD＝GD，由△CDE的周长是4求出CG＝CH＝2，设BG＝BF＝x，AF＝AH＝y，则AB＝x+y，BC＝x+2，AC＝y+2，根据勾股定理得到xy＝2（x+y）+4①，根据三角形的面积公式得到xy＝60﹣2（x+y）②，①②求得x+y即可．
【解答】解：过点分别作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AC于点H，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，
∵DE与⊙O相切，设切点为M，
∴ME＝HE，MD＝GD，
∵△CDE的周长是4，CG+CH＝4，
∴CG＝CH＝2，
设BG＝BF＝x，AF＝AH＝y，则AB＝x+y，BC＝x+2，AC＝y+2，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴（x+y）2＝（x+2）2+（y+2）2，
化简得xy＝2（x+y）+4①，
∵△ABC的面积是30，
∴BC•AC＝30，
∴（x+2）（y+2）＝60，
∴xy＝60﹣2（x+y）②，
由①②得x+y＝13，
∴AB＝13．
故答案为：13．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣4＝0；
（2）x（x﹣3）＝3﹣x．
【分析】（1）利用配方法得到（x+1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0，
x2+2x＝4，
x2+2x+1＝5，
（x+1）2＝5，
x+1＝±，
所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）x（x﹣3）＝3﹣x，
x（x﹣3）+x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1．
18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点A（﹣1，y1），B（4，y2）在这个函数的图象上，则y1 ＞ y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】（1）用待定系数法即可解决问题．
（2）分别求出y1和y2即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
将点（0，5），（1，2），（2，1）分别代入函数表达式得，
，
解得，
所以该二次函数表达式为y＝x2﹣4x+5．
（2）当x＝﹣1时，
；
当x＝4时，
；
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
19．（8分）如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45m2，墙的最大可用长度为10m，求边AB的长．
【分析】设边AB边的长为x m，根据花圃的面积为45m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设边AB边的长为x m，
由题意得：x（24﹣3x）＝45，
整理得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝3（不符合题意，舍去），x2＝5，
答：边AB的长为5m．
20．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，CD，BC平分∠ABD．
（1）求证∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，则AC的长为 3 ．
【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；
（2）由圆周角定理可得，由弧长公式可求解．
【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠ABC；
（2）解：∵∠CAD＝∠ABC，
∴＝，
∴AC＝CD，
∵AD是⊙O的直径，AD＝6，
∴∠ACD＝90°，
在Rt△ACD中，2AC2＝AD2＝62，
解得：AC＝3．
故答案为：3．
21．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球和a个红球，这些球除颜色外都相同．已知从袋中任意摸出1个球是白球的概率是．
（1）a的值是 2 ；
（2）先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球颜色不同的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及2次摸到的球颜色不同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：∵从袋中任意摸出1个球是白球的概率是，
∴，
解得a＝2，
经检验，a＝2是原方程的解且符合题意．
故答案为：2．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不同的结果有4种，
∴2次摸到的球颜色不同的概率为．
22．（8分）已知P是⊙O上一点，在⊙O上作两点A，B，使得∠APB分别满足以下条件：
（1）在图①中，∠APB＝90°；
（2）在图②中，∠APB＝30°．
（说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．）
【分析】（1）过O点画直线交⊙O于点A、B，则根据圆周角定理得到∠APB满足条件；
（2）任取点A，以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点B，则△AOB为等边三角形，所以∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理得到∠APB满足条件．
【解答】解：（1）如图①，∠APB为所作；
（2）如图②，∠APB为所作；
23．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m的值．
【分析】（1）先求出Δ的值，再判断出其符号即可；
（2）把x＝1代入方程，求出m的值即可．
【解答】（1）证明：方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0中，
∵a＝1，b＝﹣（2m+2），c＝m2+2m，
∴Δ＝[﹣（2m+2）]2﹣4×1×（m2+2m）＝4＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有一个根为1，
∴12﹣（2m+2）×1+m2+2m＝0，即m2﹣1＝0，
∴m＝±1．
24．（7分）2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下：
上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级．
（1）计算这7天最低气温的平均数和方差．
（2）阅读冷空气等级标准表：
本次来临的冷空气的等级是 ⑤ ．（填序号）
（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论．
【分析】（1）根据平均数和方差的定义列式计算即可；
（2）对照表格可得答案；
（3）参照天气情况图可得答案．
【解答】解：（1）这7天最低气温的平均数＝4（℃），
方差为×[（17﹣4）2+（5﹣4）2+（0﹣4）2+（0﹣4）2+（2﹣4）2+（6﹣4）2+（﹣2﹣4）2]＝；
（2）由题意知，本次来临的冷空气的等级是⑤，
故答案为：⑤；
（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来雨雪．
25．（8分）2023年12月18日晚，甘肃省积石山县发生6.2级地震．“一方有难，八方支援”，某商家决定将后续一个月销售某商品获得的利润全部捐赠给灾区．已知购进该商品的成本为10元/件，当售价为12元时，平均每天可以卖出1200件．调查发现，该商品每涨价1元，平均每天少售出100件．当每件商品的售价是多少元时，该商家捐赠的金额最大？最大捐赠金额是多少？（一个月按30天计算）
【分析】依据题意，设每件商品的售价是x元，先求出每天的利润为w＝（x﹣10）[1200﹣100（x﹣12）]＝（x﹣10）（2400﹣100x）＝﹣100（x﹣17）2+4900，再由二次函数的性质进行判断可以得解．
【解答】解：由题意，设每件商品的售价是x元，
∴每天的利润为w＝（x﹣10）[1200﹣100（x﹣12）]
＝（x﹣10）（2400﹣100x）
＝﹣100x2+3400x﹣24000
＝﹣100（x﹣17）2+4900．
∴当每件商品的售价是17元时，利润最大为4900元．
∴每月最大利润为147000元．
答：当每件商品的售价是17元时，该商家捐赠的金额最大，最大捐赠金额是147000元．
26．（9分）阅读下列内容：
如果点P（a，b）在一次函数y＝x+1的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径．
所以点（2a，2b）一定在函数y＝x+2的图象上．
根据阅读内容解决下列问题：
（1）如果点P（a，b）在反比例函数的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格．
（2）如果点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，判断点（a+b，ab）一定在哪个函数的图象上？说明理由．
【分析】（1）根据点P（a，b）在反比例函数的图象上，得ab＝2，对于点（2a，2b），则x＝2a，y＝2b，则xy＝4ab＝8，由此可得出答案；
（2）根据点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，得b＝2a，对于（a+b，ab），则x＝a+b＝3a，y＝ab＝2a2，进而得得，由此可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P（a，b）在反比例函数的图象上，
∴ab＝2，
对于点（2a，2b），则x＝2a，y＝2b，
∴xy＝4ab，
将ab＝2代入xy＝4ab，得xy＝8，
即，
∴点（2a，2b）一定在这个函数的图象上；
如下图所示：
（2）点（a+b，ab）一定在这个函数的图象上，理由如下：
∵点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，
∴b＝2a，
对于（a+b，ab），则x＝a+b＝3a，y＝ab＝2a2，
∵x＝3a，
∴，
∴．
∴点（a+b，ab）一定在这个函数的图象上．
27．（10分）如图，已知A，B是⊙O的2个三等分点，C是优弧AB上的一个动点（点C不与A，B两点重合），连接AB，BC，AC．D，E分别是， 的中点，连接DE，分别交AC，BC于点F，G．
（1）当点C运动到优弧AB的中点时，直接写出DE与AB的关系．
（2）求证FG+AB＝AF+BG．
（说明：第（2）题共5分，如果你觉得困难，可以在（1）的条件下证明，证明正确得2分．）
（3）若I是AE，BD的交点，点O与点I的距离记为d．当AB＝6时，d取值范围是 0≤d＜2 ．
【分析】（1）当点C运动到优弧AB的中点时，连接AD，AE，BE，利用同圆中等弧所对的圆周角相等可以推导出DE∥AB，再证明四边形ABED是矩形可以得出DE＝AB；
（2）在条件（1）下，连接CE，根据圆周角相等和等腰三角形可以推导出BG＝2FG，最后推导出FG+AB＝AF+BG；
（3）根据点C的运动轨迹就可以推导出d的取值范围．
【解答】解：（1）当点C运动到优弧AB的中点时，DE∥AB且DE＝AB，
连接AD，BE，AE，CE，
∵A，B是⊙O的2个三等分点，
∴＝＝，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
又∵D，E分别是， 的中点，
∴＝＝＝，
∴∠DEA＝∠EAB＝∠DEC＝∠CBE＝∠DAC＝∠CED＝∠ECB＝30°，
∴DE∥AB，
∴∠DAB＝∠EBA＝90°，
∴DA⊥AB，EB⊥AB，
∴四边形ABED是矩形，
∴AB＝DE；
证明：（2）在（1）的条件下，
∵∠ACB＝60°，FG∥AB，
∴∠CFG＝∠CGF＝60°，
∴△CFG为等边三角形，
∴CF＝FG＝CG，
又∵∠CED＝∠ECB＝30°，
∴CG＝GE，
∵在△GEB中，∠GBE＝30°，∠GEB＝90°，
∴BG＝2GE＝2FG，
∵AB＝AF+CF，
∴AB+FG＝AF+CF+FG＝AF+BG；
解：（3）连接OB，作OM⊥AB，
∵当点C运动到优弧AB的中点时，此时AE，BD的交点I与圆心O重回，
∴点O与点I的距离d为0，
∵A，B是⊙O的2个三等分点，
∴劣弧对的圆心角为120°，
∴∠OBM＝30°，
又∵AB＝6，
∴OB＝2，
∵OI≤OB+IB，
∴当点C运动到点A或点B时，OI＝OB＝2，
∵点C不与A，B两点重合，
∴OI＜2，
∴0≤d＜2，
故答案为：0≤d＜2．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
…
序号
等级
冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况
①
弱冷空气
降温幅度小于6℃
②
中等强度冷空气
降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃
③
较强冷空气
降温幅度大于或等于8℃且日最低气温超过8℃
④
强冷空气
降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃
⑤
寒潮
降温幅度大于或等于10℃且日最低气温不超过4℃
x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
…
白
红
红
白
（白，白）
（白，红）
（白，红）
红
（红，白）
（红，红）
（红，红）
红
（红，白）
（红，红）
（红，红）
序号
等级
冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况
①
弱冷空气
降温幅度小于6℃
②
中等强度冷空气
降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃
③
较强冷空气
降温幅度大于或等于8℃且日最低气温超过8℃
④
强冷空气
降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃
⑤
寒潮
降温幅度大于或等于10℃且日最低气温不超过4℃