2024-2025学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是
A．B．C．D．
2．（2分）下列解方程的步骤中，依据是“平方根的意义”的是
A．第一步：两边都除以2，得
B．第二步：配方，得，即
C．第三步：开平方，得
D．第四步：移项，得，即，
3．（2分）已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是，方差是，另一组数据2，3，4，5，6的平均数是，方差是，则下列说法正确的是
A．，B．，
C．，D．，
4．（2分）已知方程有两个不相等的实数根，，则下列方程中，两个根分别是，的是
A．B．C．D．
5．（2分）如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是
A．1.5B．3C．4D．6
6．（2分）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卷
7．（2分）方程的根是 ．
8．（2分）数据3，0，，，4的极差是 ．
9．（2分）的半径是，同一平面内，若点到点的距离是，则点在 （填“内”“外”或“上”
10．（2分）超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如表：
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 分．
11．（2分）如图，，，是上的三个点，若为，，则的度数为 ．
12．（2分）如图，，分别与相切，切点分别为，，点在上，过点的切线分别交，于点，．若，则△的周长为 ．
13．（2分）如图，△是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ．
14．（2分）如图，以正方形的顶点为圆心，长为半径画弧，再以边为直径画弧，则弧的长 弧的长．（填“”“ ”或“”
15．（2分）如图，矩形绕点顺时针旋转得到矩形，是线段上一点，若△为直角三角形，则满足条件的点的个数是 ．
16．（2分）已知代数式，是常数）中，与该代数式的部分对应值如下表：
根据表中数据，可知关于的方程的一个根约为 ，另一个根约为 ．（都精确到
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答
17．（6分）解方程：．
18．（6分）解方程．
19．（8分）已知，，求当为何值时，与互为相反数．
20．（8分）如图是南京市2023年2024年8月上旬日最高气温的折线统计图．阅读统计图并回答以下问题．
（1）根据统计图中的信息，填写下表：
南京市2023年、2024年8月上甸日最高气温的统计表
（2）结合统计图、统计表中的信息，从两个不同的角度比较南京市2023年、2024年8月上旬的日最高气温．
21．（8分）如图，在△中，，过点作，垂足为．已知，．设长为．
（1）根据勾股定理，得 ， （都用含的代数式表示）
（2）求的值．
22．（8分）如图，△内接于，过点作射线，使．求证：与相切．
23．（8分）如图，，是一个圆的两条弦，它们的延长线相交于点，且．
（1）用直尺和圆规作出该圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证．
24．（8分）某商店销售一批数学实验用具，零售价每件240元．如果一次购买超过10件，那么每多购1件，购买的所有实验用具的单价均降低6元，但单价不能低于150元．小明和几位同学购买这种实验用具支付了3600元，他们共买了多少件？
25．（8分）某同学在证明命题“在同一个圆中，两条平行的弦所夹的弧相等”时，画出了图，并写出了如下证明过程：
（1）数学老师认为该证法有问题，请指出问题；
（2）完善该命题的证明．
26．（8分）一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数根．基于上述认识，我们继续探索“ “型的方程，都是只含的整式）的根的情况．
（1）当，时，该类型方程的根的情况是 ．
．有三个实数根，它们各不相等
．有三个实数根，有且只有两个根相等
．有三个实数根，它们都相等
．没有实数，
（2）下列“ “型的方程：
①；②；
③；④；
⑤．
至少有两个相等的实数根的方程是 （填序号）．
（3）当，是常数）时，请写出该类型方程的根的情况及对应的的取值范围．
27．（12分）图（1）是一把“形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，．
算一算
将该尺摆放在．一些圆上，测量并计算圆的半径．
（1）如图（3），点，，，恰好都在圆上，则 ．
（2）如图（4），该尺的边与圆相切于点，且点在该尺上的读数为，点在圆上，则 ．
（3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点，，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点在该尺上的读数为，求的值．
想一想
（4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），一定可以通过测量并计算出该圆的半径吗？如果可以，说明理由；如果不一定可以，请直接写出可计算出的的最小值和最大值．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个
1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是
A．B．C．D．
解：．方程是一元二次方程，选项符合题意；
．方程未知数的最高次数为1，
方程不是一元二次方程，选项不符合题意；
．方程不是整式方程，
方程不是一元二次方程，选项不符合题意；
．方程含有2个未知数，
方程不是一元二次方程，选项不符合题意．
故选：．
2．（2分）下列解方程的步骤中，依据是“平方根的意义”的是
A．第一步：两边都除以2，得
B．第二步：配方，得，即
C．第三步：开平方，得
D．第四步：移项，得，即，
解：根据“平方根的意义”的步骤是选项．
故选：．
3．（2分）已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是，方差是，另一组数据2，3，4，5，6的平均数是，方差是，则下列说法正确的是
A．，B．，
C．，D．，
解：，
，
，
，
，．
故选：．
4．（2分）已知方程有两个不相等的实数根，，则下列方程中，两个根分别是，的是
A．B．C．D．
解：方程有两个不相等的实数根，，
，，
，，
方程两个根分别是，．
故选：．
5．（2分）如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是
A．1.5B．3C．4D．6
解：是四边形的内切圆，设切点分别为：，，，，
连接，，，，，，，，的半径为，
，
四边形的面积
，
解得：．
故的半径为3．
故选：．
6．（2分）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
解：作正八边形的外接圆，
，且，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点与点关于点对称，
为正八边形的中心，即正八边形的外接圆的圆心，
、都是的直径，
，
，
，，
，
故①正确；
在上截取，连接，则，，
，
，
，
，
，
，
，
故②错误；
，
，
故③正确；
连接，作于点，则，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
同理，
四边形是矩形，
，
，
，
故④正确，
故选：．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卷
7．（2分）方程的根是 ．
解：
8．（2分）数据3，0，，，4的极差是 6 ．
解：数据3，0，，，4的最大数据是4，最小数据是，
则极差为：，
故答案为：6．
9．（2分）的半径是，同一平面内，若点到点的距离是，则点在 外 （填“内”“外”或“上”
【解答】解的半径为，
，
点在外．
故答案为：外．
10．（2分）超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如表：
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 75 分．
解：该应聘者的总成绩是：（分．
故答案为：75．
11．（2分）如图，，，是上的三个点，若为，，则的度数为 40 ．
解：如图，连接．
设，则，
，
，
，
，
，
为，
，
，
，
．
故答案为：40．
12．（2分）如图，，分别与相切，切点分别为，，点在上，过点的切线分别交，于点，．若，则△的周长为 20 ．
解：、是的切线，切点分别为、，
，
过点的切线分别交、于点、，
，，
△的周长．
故答案为：20．
13．（2分）如图，△是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 216 ．
解：由题意得：圆锥的底面直径为6，
则圆锥的底面周长为，
根据底面周长等于扇形的弧长可得：，
解得：，
故答案为：216．
14．（2分）如图，以正方形的顶点为圆心，长为半径画弧，再以边为直径画弧，则弧的长 弧的长．（填“”“ ”或“”
解：四边形是正方形，
，，
设，
，
为直径，
，
弧的长弧的长，
故答案为：．
15．（2分）如图，矩形绕点顺时针旋转得到矩形，是线段上一点，若△为直角三角形，则满足条件的点的个数是 2 ．
解：①当时，
设两个矩形的长是，宽是．连接，如图在△中，
根据勾股定理可得：
，
过的中点作于点．则是梯形的中位线，
则；
以为直径的圆，半径是，
，
而只有是等号才成立，
因而，
即圆与直线相交，则直角顶点的位置有两个．
故答案为：2．
16．（2分）已知代数式，是常数）中，与该代数式的部分对应值如下表：
根据表中数据，可知关于的方程的一个根约为 ，另一个根约为 ．（都精确到
解：设方程的两个根、，
，
由表格可知的值在之间，代数式的值由负到正，
关于的方程的一个根约为，另一个根约为0.7．
故答案为：，0.7．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答
17．（6分）解方程：．
解：，
配方得：，
，
开方得：，
解得：，．
18．（6分）解方程．
解：．
，
，
或，
，．
19．（8分）已知，，求当为何值时，与互为相反数．
解：与互为相反数，，，
，
整理得，，
解得，，
即当为2或时，与互为相反数．
20．（8分）如图是南京市2023年2024年8月上旬日最高气温的折线统计图．阅读统计图并回答以下问题．
（1）根据统计图中的信息，填写下表：
南京市2023年、2024年8月上甸日最高气温的统计表
（2）结合统计图、统计表中的信息，从两个不同的角度比较南京市2023年、2024年8月上旬的日最高气温．
解：（1）2023年8月上旬日最高气温出现次数最多的是32，34，35，故众数为32或34或35；
2024年8月上旬日最高气温从小到大排列，排在中间的两个数分别是39和39，故中位数为；
故答案为：32或34或35，39；
（2）从平均数来看，2024年8月上旬日最高气温的平均值更高，
从方差来看，2024年8月上旬日最高气温方差小，温度变化较稳定．（答案不唯一）．
21．（8分）如图，在△中，，过点作，垂足为．已知，．设长为．
（1）根据勾股定理，得 ， （都用含的代数式表示）
（2）求的值．
解：（1）根据勾股定理，得 ，，
故答案为：，；
（2），
，
，
解得（负值舍去）．
22．（8分）如图，△内接于，过点作射线，使．求证：与相切．
【解答】证明：如图，作直径，连接，
，
，
，
，
，，，
，
，
即，
，
是的半径，
与相切．
23．（8分）如图，，是一个圆的两条弦，它们的延长线相交于点，且．
（1）用直尺和圆规作出该圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证．
【解答】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，
则点即为所求．
（2）证明：由图可得，，
．
，，
△△，
．
24．（8分）某商店销售一批数学实验用具，零售价每件240元．如果一次购买超过10件，那么每多购1件，购买的所有实验用具的单价均降低6元，但单价不能低于150元．小明和几位同学购买这种实验用具支付了3600元，他们共买了多少件？
解：设小明和几位同学共买了件，
（元，，
，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：他们共买了20件．
25．（8分）某同学在证明命题“在同一个圆中，两条平行的弦所夹的弧相等”时，画出了图，并写出了如下证明过程：
（1）数学老师认为该证法有问题，请指出问题；
（2）完善该命题的证明．
解：（1）这道题应分两种情况证明；
（2）分两种情况：①如图1，当、在圆心的同一侧时，
过点作于点，交于点，交于点，
，
，
，
，
，
，
；
②如图2，当、在圆心的两侧时，
过点作于点，交于点，交于点、，则是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，．
26．（8分）一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数根．基于上述认识，我们继续探索“ “型的方程，都是只含的整式）的根的情况．
（1）当，时，该类型方程的根的情况是 ．
．有三个实数根，它们各不相等
．有三个实数根，有且只有两个根相等
．有三个实数根，它们都相等
．没有实数，
（2）下列“ “型的方程：
①；②；
③；④；
⑤．
至少有两个相等的实数根的方程是 （填序号）．
（3）当，是常数）时，请写出该类型方程的根的情况及对应的的取值范围．
解：（1），，
根据得：，
，
，，
该类型方程的根的情况是：有三个实数根，有且只有两个根相等，
故答案为：；
（2）①，
，
；
②，
，
，；
③，
，
，，；
④，
，
，，，；
⑤，
，
，，
至少有两个相等的实数根的方程是①②③⑤；
故答案为：①②③⑤；
（3），，是常数），
，
或，
△，
当△，，即时，该类型方程有4个实数根，它们各不相等；
当△，，即时，该类型方程有4个实数根，有两对相等的实根；
当△，，即时，该类型方程没有实数根．
27．（12分）图（1）是一把“形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，．
算一算
将该尺摆放在．一些圆上，测量并计算圆的半径．
（1）如图（3），点，，，恰好都在圆上，则 ．
（2）如图（4），该尺的边与圆相切于点，且点在该尺上的读数为，点在圆上，则 ．
（3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点，，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点在该尺上的读数为，求的值．
想一想
（4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），一定可以通过测量并计算出该圆的半径吗？如果可以，说明理由；如果不一定可以，请直接写出可计算出的的最小值和最大值．
解：（1）连接，由题意可知，，，，
则，
为直径，
由勾股定理可知：，
半径，
故答案为：；
（2）连接圆心与切点，交于，连接，则，
由题意可知，，
，，
四边形为矩形，
，，
则，，
在△中，，即，
解得：，
故答案为：；
（3）如图，过点作于，延长交于，连接，，
，，
，，，
四边形为矩形，则，，，
由题意可知，，，，
，则，
，则，
设 ，则，
在△中，，
在△中，，
则，解得：，
；
（4）如图，当圆的直径小于的长度时，此时没有任何读数，则无法测量并计算出圆的半径，
如图，当圆与和其中一边相交时，也相当于只测得一条弦的长度，也无法得到圆的半径，
若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），不一定可以通过测量并计算出该圆的半径，
要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点，
如图，当与、均相切时，直径等于的长度，
即：的半径的最小值为，
假设圆心在右侧，要的能测出圆的半径，至少要与相切，与有交点，
令与相切于点，与交于边界点，如图，
由题意可知，，类比（2）可知，，则，
由勾股定理可得：，
，整理得，
，则的半径的最大值为，
综上，半径的最小值为，最大值为．
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩分
72
70
90
0.0142
0.0832
年份
平均数
中位数
众数
方差
2023
33.6
34

1.44
2024
39.1

39
1.09
已知：如图，，是的两条弦，．求证．
证明：如图，连接，，，，过点作，交于点，．
，
．
，．
，
．
同理，．
，
．
同理，．
．
．
（该同学画的图）
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩分
72
70
90
0.0142
0.0832
年份
平均数
中位数
众数
方差
2023
33.6
34
32或34或35
1.44
2024
39.1

39
1.09
已知：如图，，是的两条弦，．求证．
证明：如图，连接，，，，过点作，交于点，．
，
．
，．
，
．
同理，．
，
．
同理，．
．
．
（该同学画的图）