2026长沙一中高二上学期开学考试数学含解析

这是一份2026长沙一中高二上学期开学考试数学含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，．若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．设数据1，2，3，4，m的下四分位数为m，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知复数，则在复平面中对应的点的位置是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
5．已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则一定是
A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．等边三角形
6．如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ）
A． B． C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
8．在平行四边形中，，若，则=（ ）
A．B．C．D．3
9．一个盒子中有6个大小质地完全相同的小球，其中2个红球，2个黄球，2个白球，随机从盒中依次不放回地摸出2个球，则下列事件相互独立的是（ ）
A．“摸出的第一个球是红球”与“摸出的两个球颜色不同”
B．“摸出的第二个球是黄球”与“摸出的两个球颜色相同”
C．“摸出的两个球颜色相同”与“摸出的球没有黄球”
D．“摸出的两个球颜色不同”与“摸出的球有红球”
二、多选题
10．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则B．若，则
C．若且，则D．
11．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，
三、填空题
12．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，角A的平分线交边于点D.若，则的最小值为 .
13．在四面体中，P为空间中一点，且满足，若四面体的体积为4，则四面体的体积为 .
14．已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为 .
四、解答题
15．在中，角所对的边分别为，为其外心，且满足.
(1)证明：；
(2)求角的最大值.
16．省锡中高一社团组织知识竞赛活动.比赛共有两轮答题，第一轮从5个生物问题中任选两题作答，答对其中一题得20分，两题均答对可得50分； 第二轮从5个化学问题中任选两题作答，每答对一题可得30分.甲乙两位同学同时参赛，甲同学回答出每个问题的概率均为0.4，乙同学能回答出生物问题中的3道题，能回答出每道化学问题的概率为0.3.经过两轮比赛后总得分达到80分的同学可以获得一个奖品.
(1)求甲同学在第一轮得分为20分的概率.
(2)甲乙两位同学谁获得奖品的概率更大? 请说明理由.
17．已知函数.
(1)若函数为奇函数，求实数的值；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)若函数在区间上的最小值为，求实数的值.
18．在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，为正三角形，且平面平面，设为线段上一动点.

(1)当平面时，求的值；
(2)当最小时，求与所成角的余弦值；
(3)当二面角的大小为时，求的值.
19．我们知道，二维平面中的点在坐标系中有x，y两个分量，可以用数组表示该点的坐标，三维空间中的点在坐标系中有x，y，z三个分量，可以用数组表示该点的坐标，类似地，在n维空间中的点在坐标系中同样有n个分量，可以用数组表示该点的坐标.现考虑n维空间的一个点集，对于S中的两点，，定义X，Y之间的距离.
(1)当时，设，若点满足，求点B所有可能的坐标；
(2)设点，且X的每个分量均为1，若，求的最大值；
(3)设点集M为S的一个k元子集，满足M中任意两个点之间的最小距离为，求证：.
1．D
根据直接得到的取值范围.
【详解】因为，且，
所以，
即实数的取值范围是.
故选：D
2．A
根据下四分位数的定义将条件转化为由小到大排列是第二位，再求解.
【详解】因为，且五个数中下四分位数为，
所以由小到大排列，在第二位，所以.
故选：A.
3．D
利用除法运算化简后写出其共轭复数，进而作出判定．
【详解】，
则，
得在复平面中对应的点为,它位于第四象限．
故选：D
4．B
根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
5．B
【详解】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B，即可确定出三角形形状．
详解：设已知方程的两根分别为x1，x2，
根据韦达定理得：x1+x2=csAcsB，x1x2=2sin2=1﹣csC，
∵x1+x2=x1x2，
∴2csAcsB=1﹣csC，
∵A+B+C=π，
∴csC=﹣cs（A+B）=﹣csAcsB+sinAsinB，
∴csAcsB+sinAsinB=1，即cs（A﹣B）=1，
∴A﹣B=0，即A=B，
∴△ABC为等腰三角形．
故选B．
6．B
根据异面直线的定义一一判断即可.
【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点，
而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意；
因为，即共面，
易知平面，而平面，，，
故与异面，故B符合题意；
当、重合时，易知，
则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意；
当、重合时，显然，相交，故D不符合题意.
故选：B.
7．C
利用指对函数的单调性和中间值比较大小即可.
【详解】由，则，
由，，则，
由，则.
则.
故选：C
8．B
【解析】由题意分析可知，四边形为菱形且，然后求解.
【详解】，则平分，则四边形为菱形.
且，由，则,
故选：B.
9．AB
分别求出各个选项事件的概率，然后利用独立事件的概念判断即可.
【详解】对于A，记事件表示“摸出的第一个球是红球”，事件表示“摸出的两个球颜色不同”，
则，，
记事件表示“摸出的第一个球是红球且摸出的两个球颜色不同”，
则，显然，
所以事件与事件相互独立，故A正确.
对于B，记事件表示“摸出的第二个球是黄球”，事件表示“摸出的两个球颜色相同”，
则，，
记事件表示“摸出的第二个球是黄球且同摸出的两个球颜色相同”，
则，显然，
所以事件与事件相互独立，故B正确.
对于C，记事件表示“摸出的球没有黄球”，则，
由B项，记事件表示“摸出的两个球颜色相同且摸出的球没有黄球”，
则，显然，
所以事件与事件不相互独立，故C错误.
对于D，记事件表示“摸出的球有红球”，则，
由A项，记事件表示“摸出的两个球颜色不同且摸出的球有红球”，
则，显然，
所以事件与事件不相互独立，故D错误.
故选：AB.
10．BD
利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，若且，取，，则，故A不正确；
对于B选项，若，则，故B正确；
对于C选项，若且，则，则，故，故C不正确；
对于D选项，，
当且仅当时，等号成立，故，故D正确.
故选：BD.
11．BCD
以为整体，利用诱导公式、倍角公式以及两角和差公式逐项分析求解.
【详解】因为，
对于选项A：，故A错误；
对于选项B：
，故B正确；
对于选项C：，故C正确；
对于选项D：若，则，
且，则，
，
可得
，所以，故D正确.
故选：BCD．
12．
根据得出，再利用基本不等式的常数代换即可求解.
【详解】因为角的平分线为，则，
因，且，则，
所以，所以，
则，
当且仅当，即时取等号．
所以的最小值为．

故答案为：
13．2
利用向量的加法运算将转化为，从而找到在线段上且靠近的三等分点处，继而得到到平面的距离是到平面的距离的2倍，从而得到所求.
【详解】设是的中点，，又，
，，，
设是的中点，是的中点，，，
，，在线段上且靠近的三等分点处，
又线段为的中位线，，
到平面的距离是到平面的距离的2倍，.
故答案为：2
14．1
【详解】法一：分别取的中点，则，
可知，
设正三棱台的为，则，解得，
如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，
则，，
可得，
结合等腰梯形可得，
即，解得，
所以与平面ABC所成角的正切值为；
法二：将正三棱台补成正三棱锥，
则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，
因为，则，知，则，
设正三棱锥的高为，则，解得，
取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，
所以与平面ABC所成角的正切值.
故答案为：1
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图所示，取的中点，连接，
由为的外心可知，
则，
因为为的中点，，且，
所以，
同理，取的中点，连接，
由为的外心可知，
则，
因为为的中点，，且，
所以，
依题意，，因此，
即，.

（2）根据余弦定理，结合可得：，
由基本不等式，，当且仅当时取得，
因为，且在上单调递减，
所以，即的最大值为.
16．(1)0.48
(2)详解见解析
【详解】（1）因为甲同学回答出每个问题的概率均为0.4，
所以甲同学在第一轮得分为20分的概率为．
（2）乙同学获得奖品的概率更大．
甲获奖总得分达到80分分两种情况：
甲第一轮得20分且第二轮得60分的概率为：，
甲第一轮得50分且第二轮至少得30分的概率为：，
甲同学获奖的概率为．
设乙同学能答出生物问题中的3道题分别为，，，不能答出的为，，
则乙同学从5个生物问题中任选两题作答，所有情况为：
，，，，，，，，，，
其中获20分的概率为，获50分的概率为．
乙获奖总得分达到80分分两种情况：
乙第一轮得20分且第二轮得60分的概率为：，
乙第一轮得50分且第二轮至少得30分的概率为：，
乙同学获奖的概率为：，
，
乙同学获得奖品的概率更大．
17．(1)
(2)单调递减，证明见解析
(3)
【详解】（1）由已知，
则，
又，
则，
即，
又函数为奇函数，所以，
即，；
（2）由已知定义域为，
任取，，且，
则，
由可知，
则，
所以，
即函数在上单调递减；
（3）由（1）可得，
则，
设，则，
由（2）可知在上单调递减，
即，
又函数，在上单调递减，在上单调递增，
①当时，，当且仅当时取等号，即最小值为，解得，
代入区间可得区间为，不成立；
②当时，在上单调递增，
即当时，取得最小值为，
所以，解得，
代入区间可得，与假设矛盾，不成立；
③当时，在上单调递减，
即当时，取得最小值为，
所以，解得，
此时满足，成立；
综上所述，.
18．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）底面是等腰梯形，，，，，
所以，则，
又，可得，故，

以为原点， 分别为轴，作射线垂直于点为轴，
构建如图空间直角坐标系，则，
所以，，显然满足，
因为是边长为的正三角形，故的高为，
所以的高为，且在平面上的投影在的角平分线上，
设且，则， ，
若是平面的一个法向量，则，可取，
若是平面的一个法向量，则，可取，
由平面平面，则，可得，故，即在轴上，
显然平面，又，故，
即为等腰直角三角形，则到的距离为，故，所以，
设，则，则，
所以，而，，
若是平面的一个法向量，则，取，
由平面，则，可得，
此时，故；
（2）由，则，
当，最小，此时，则，而，
所以，故所求异面直线的夹角余弦值为；
（3）由（1）知，平面的法向量为，，，
设平面的法向量，则，取，
二面角的大小为，则，
整理得，即，故，
所以（负值舍），故.
19．(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1），设，，
，
，
，
的值中有2个值为0，有2个值为1，
中有2个值为0，有2个值为1，
点的所有可能坐标为，，，，，.
（2）的每个分量均为1, 且，，
的分量中0的个数为，1的个数为；
，
的分量中0的个数为，1的个数为，
由，
则，
要使最大，则和中0和1的对应分布应尽可能不同，
第一种情况：当时，即，，此时最大为.
第二种情况：当时，即，，此时最大为.
（3）设，对于，，对于任意
中任意两个点之间的最短距离为，
，
考虑中所有点的前个坐标构成的向量集合，
若中有两个不同的点的前个坐标相同，
则它们只能在最后的个坐标上有所不同，
，这与矛盾.
因此，中任意两个点的前个坐标构成的向量都不同，前个坐标构成的不同向量总数为，
中点的个数.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
B
B
B
C
B
AB
BD
题号
11









答案
BCD