2026长沙一中高三上学期月考（二）数学含解析

这是一份2026长沙一中高三上学期月考（二）数学含解析，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分得分
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若复数z满足，则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】A
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：A.
2. 已知向量的夹角为，，，则（ ）
A. B. 21C. 3D. 9
【答案】C
【详解】
.
故选：C
3. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ）
A. 5B. 9C. D.
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，显然，
由，即，
则，解得，
所以.
故选：A
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为，解得，
所以
.
故选：C
5. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】，，
，
，，
又，都大于，．，
故选：．
6. 是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意得，圆的圆心为，半径．
因为到直线的距离，
当且仅当时等号成立，所以直线与该圆相离，
所以的最小值为．
故选：C．
7. 已知与分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】连接，设，则，，，
由，则，故，
所以，可得，则，
所以，，又，
所以，可得，即（负值舍）.
故选：C
8. 如图是棱长为2的正方体，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】连接它们的交线后如下图所示，
即两个三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体，
作的中点M，N，设内切球的半径为r，
所以，，
所以，，，又，
所以，即表面积为．
故选：C．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则事件相互独立
B. 已知随机变量，则
C. 数据2，7，4，5，16，1，21，11的第75百分位数为11
D. 已知随机变量，若，则
【答案】ABD
【详解】对于A，，则，所以事件相互独立，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，将数据按从小到大排序为：.共有8个数据，所以第75百分位数为第6，7个数据的平均数，为，故C错误；
对于D，随机变量，且，则，所以，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 为奇函数
C. D. 在内有唯一的极小值点
【答案】BD
【详解】辅助角公式化简原函数为，其中，.
因为图象关于直线对称，根据正弦型函数的性质有
，即.
又，，，
则.
A选项：的最小正周期为；
B选项：，为奇函数；
C选项：
，不恒为.
D选项：当，则，
当时，取得极小值，
因此只有，即为唯一的极小值点.
故选：BD.
11. 已知是抛物线上一点.按如下方式依次构造点（）；过点作斜率为（）的直线与交于另一点，点为关于轴的对称点.令.（ ）
A. 若，则B. 数列是等差数列
C. 数列是等比数列D. 设是的面积，则
【答案】BD
【详解】对于A选项，设，点为关于轴的对称点，则，
又点，点在抛物线上，所以，，
两式相减，得，化简得，
又过点的直线斜率，且，
所以，解得.故A错误；
对于B、C选项，因为关于轴的对称点为，直线的斜率为，
所以，且，化简整理，得，
又，都在上，两式相减，得，
即，所以，
所以是首项为2，公差为的等差数列，故B正确，C不正确；
对于D选项，若，即，而与有一条公共边，所以需考虑，到边的距离，
而，同理，，
由于是等差数列，所以，从而有，则，所以.故D正确.
故选：BD
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 若，则__________.
【答案】
【详解】展开式第项，
时，时，
.
故答案为：.
13. 已知，且满足，则的最小值为________．
【答案】
【详解】因为，，所以，
因，所以，
所以
，
当且仅当 即时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
14. 已知是公差不为0的无穷等差数列，且各项均为整数.若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质P.若，则具有性质P的数列的个数为__________.
【答案】6.
【详解】设数列的公差为，假设为负整数，则为递减数列，所以中各项的最大值为，由题意，中存在某项，且，所以，
而数列中存在，则，与题意相矛盾，所以不是负整数，故为正整数.
因为，，又，由题意，，使得，所以，
所以，d只能是12的正约数，所以.
当时，，数列为，经验证符合题意；
当时，，数列为，经验证符合题意；
当时，，数列为，证符合题意；
；
依次验证这六个值均符合题意.故具有性质P的数列有6个.
故答案为：6.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若，过点B作，D为垂足，求BD的最大值．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由及正弦定理，得，
所以，
又，
则，
化简可得，又，，
所以，所以，又，所以.
【小问2详解】
设，由三角形的面积公式可得，解得，
又，
又，所以，当且仅当时，等号成立，
故，即的最大值为.
16. 如图，是的直径.与所在的平面垂直，，C是上的一动点（不同于A，B），M为线段的中点，点N在线段上，且.
（1）求证：；
（2）当时，求直线与直线所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
因为平面，平面，所以，
因为是的直径，所以，
又，且，平面，所以平面.
又因为平面，所以.
因为，且，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
故.
【小问2详解】
解法一：因为，所以在等腰直角三角形中，，得.
又直角三角形中，，得.
因为为等腰直角三角形，M为的中点，且，得，所以，
取的中点为S，连接，则，且，
所以为异面直线与所成的角或其补角，
在中，，，所以，
在中，，，，所以，
故直线与直线所成角的余弦值为.
解法二：当时，，分别是和的中点，所以.
又与所在的平面垂直，所以平面，平面，所以.
此时，，两两垂直.
分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图：
得，，，，
故，.
则，
故直线PC与直线AM所成角的余弦值为.
17. 根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号．
（1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由；
（2）该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
参考：，，
【答案】（1）可以，万元
（2）选择方案二
【小问1详解】
由题意可得，，
，
，
，
所以，，
因为接近于，所以可以用线性回归模型拟合与的关系，
，则，
所以，关于的经验回归方程为，
将代入经验回归方程为，
故估计年月该网点利润估计知为万元.
【小问2详解】
设方案一的中奖次数为，由题意可知，实际付款金额为万元，
则的可能取值有、、、，
则，，
，，
故，
设方案二实际付款金额为万元，由题意可知，的可能取值有、、，
，，，
故
因为，所以，从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择方案二更优惠.
18. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”．
（1）若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围．
（2）若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”．
①求b的取值范围；
②证明：．
【答案】（1）；
（2）①；②证明见解析.
【小问1详解】
由与为“契合函数”，得，使
，令，依题意，方程有唯一解，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，，时，，，
又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或，
所以实数a的取值范围是.
【小问2详解】
①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”，
得存在，使，
即关于的方程有两个相异正根，令函数，
求导得，
由，得，得当时，；当时，，
则函数在上递增，在上递减，则，
当从大于0的方向趋近于0时，；当时，，
因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点，
所以b的取值范围是.
②由（1）知，当时，，令，
求导得，
令，求导得，
当时，，函数在上单调递减，，，
函数上单调递减，，因此当时，，
而，则，又，于是，
又，函数在上递减，则，
所以.
19. 已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii），
【小问1详解】
解：由于双曲线的右焦点为，所以.
双曲线的渐近线方程为，即为，
由于点到的一条渐近线的距离为，则.
解得所以的方程为.
【小问2详解】
（ⅰ）证明：显然圆的切线的斜率存在，
设切线的方程为，
由于切线不平行的渐近线，则.
由圆心到切线的距离，得.
由消去得，
由题意知.设，
则，
而
.
则，
则.
所以，即.
（ⅱ）解法1：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，则，
.
由（ⅰ）得，
又，
则.
当时，.
此时，直线平行轴，则纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
解法2：由（ⅰ）同理可得，
所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，
则.
在中，，
在中，，
则，
当时，，即的面积的最小值为3.
此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
解法3：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，
则.
在中，，
在中，，
由于，则，
根据基本不等式得，
得，则，即的面积的最小值为3.
当且仅当等号成立，
根双曲线的对称性知，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
月份
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2025年1月
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2025年3月
2025年4月
月份代号
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利润／万元
8
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5.1
3.2
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