湖南省长沙市第一中学2026届高三上学期月考（五）（12月）数学试卷含解析（word版）

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时量：120分钟 满分：150分
一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A. 11B. 31C. 32D. 121
4. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记所得点数分别为x，y，则能被3整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. 在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 曲线与公切线的条数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
8. 如图，现有棱长为8的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，且，，分别为棱，，上离最远的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的半径的最大值为（ ）
A. 4B. 3C. D.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9. 设为坐标原点，已知对任意实数，直线与圆都有两个交点，，则（ ）
A. 直线过定点
B.
C. 当时，最小值为
D. 当时，
10. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（ ）
A.
B. 记为数列的前项和，则为
C. 记为数列的前项和，则
D. 数列的前项和为
11. （多选题）已知是由具有公共直角边的两块直角三角板（和）组成的三角形，如下图所示，其中，.现将沿斜边进行翻折成（不在平面上）.若分别为和的中点，则在翻折过程中，下列命题中正确的是（ ）
A. 在线段上存在一定点，使得平面
B. 存在某个位置，使得直线平面
C. 存在某个位置，使得直线与所成角为
D. 对于任意位置，二面角始终不小于直线与平面所成角
三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，，则__________.
13. 从0~9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字的三位偶数__________个.（用数字作答）
14. 如图，已知，为双曲线上关于原点对称两点，点与点关于轴对称，，直线交双曲线右支于点.若，则双曲线的离心率__________.
四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 如图，平面四边形中，，，.的三个内角，，的对边分别是，，，且.
（1）求角；
（2）若，求的面积.
16. 如图1，在平面五边形中，为等腰直角三角形，，，，，点E，F分别为，的中点，将沿折到如图2的位置.
（1）证明：平面；
（2）若二面角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
17. 作为湖南省内最高规格的业余足球赛事，湘超联赛自2025年9月开赛以来，凭借14个地级市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解某场湘超联赛的观众与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场湘超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场湘超联赛.
（1）在样本中，随机抽取5人，记5人中观看了这场湘超联赛的人数为X，求X的期望值；
（2）用频率估计概率，样本估计总体，按样本中性别比例用分层抽样的方法在全市居民中随机抽取5人，求恰有2人观看了这场湘超联赛的概率；
（3）现定义：，其中A，B是随机事件，从这500人中任选1人，M表示“居民观看了这场湘超联赛”，N表示“居民是女性”，设观看这场湘超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出k的值.
18. 已知椭圆的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左､右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点.
（i）求证：点在定直线上；
（ii）设和的面积分别为，，求的取值范围.
19. 已知函数定义域为，其导函数为，且.
（1）求单调区间与最大值；
（2）已知关于的方程恰有两个实数根，若，求的取值范围；
（3）证明：.