陕西省安康市2024-2025学年八年级下学期5月期中考试数学试卷(含解析)

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一、单选题
1．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，，若，则的理由是（ ）
A．B．C．D．
4．如果分式中的、都扩大为原来的2倍，那么分式的值( )
A．不变B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的4倍
5．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（ ）
A．19B．22C．24D．30
8．已知，则的值为（ ）
A．36B．25C．5D．无法确定
二、填空题
9．下列各式：、、、中，分式共有 个．
10．把提公因式后一个因式是，则另一个因式是 ．
11．计算的结果为 ．
12．不等式的解集如图所示，则实数的是 ．
13．如图，在中，平分交于点于点，下列结论：①；②；③；④点在线段的垂直平分线上；⑤，其中正确的有 ．(填序号)
三、解答题
14．分解因式：．
15．先化简，再求值：，其中．
16．如图三个顶点的坐标分别为．
(1)请画出绕点逆时针旋转得到的；
(2)请画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标．
17．下面是小夏同学进行分式化简的过程：
(1)小夏同学的化简过程从第___________步开始出现错误；
(2)请写出正确的化简过程．
18．已知、、为的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
19．甲、乙两个工程队合修一条公路．已知甲工程队每天修，乙工程队每天修（其中），则甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的多少倍？
20．如图，在中、、于点、是的垂直平分线，求证：平分．
21．甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数，然后乙根据的值计算代数式的值．
(1)填空：
①___________；
②___________．
(2)求证：总能被4整除．
22．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成16块，其中有三块是边长都为的大正方形，三块是边长都为的小正方形，十块是长为，宽为的全等小矩形，且．（以上长度单位：）
(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为___________；
(2)若每块小矩形的面积为，六个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和．
23．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，某中学组织学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队26名学生，则还剩2名学生没有老师带；若每位老师带队27名学生，就有一位老师少带7名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示：
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过2690元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
24．定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题：
(1)计算：；
(2)计算：．
25．如图，在中，，过点作于点，平分交于点，过作于点．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的长．
26．阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“”看成整体，令，则原式，
再将“”还原，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数．
参考答案
1．D
解：∵分式有意义，
∴，解得，
故选：D．
2．C
解：．不符合几个最简整式的乘积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误；
．不符合几个最简整式的乘积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误；
．符合因式分解定义，符合题意，选项正确；
．不符合几个最简整式的乘积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误．
故选：．
3．C
解：∵，
∴，
∵在和中
，
∴．
故选：C．
4．B
解：由题意知，和都扩大为原来的 2倍，
则，
∴分式的值扩大为原来的 2 倍．
故选：B．
5．D
解：A、不能运用平方差公式进行因式分解，故本选项不符合题意；
B、不能运用平方差公式进行因式分解，故本选项不符合题意；
C、不能运用平方差公式进行因式分解，故本选项不符合题意；
D、，即能用平方差公式分解因式，故本选项符合题意．
故选：D．
6．A
解：由图象得
当时，，
不等式的解集为；
故选：A．
7．C
解：由平移得：
，
，
，
，
是等边三角形，
的周长为：
，
故选：C．
8．B
解：∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
9．2
解：在、、、中，、中的分母含有字母，是分式，共2个，
故答案为：2．
10．
解：，
故答案为：．
11．
解：，
故答案为：．
12．3
解：解不等式得：，
由图中x的解集是得，
解得：，
故答案为：3．
13．①③④⑤
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，④正确；
，①正确；
∵，，
∴，，
∴，③正确；
∵于点，
∴，，
∴，即，②错误，
，⑤正确．
故答案为：①③④⑤．
14．
解：原式
15．；
解：
，
当时，则原式．
16．(1)图见解析
(2)图见解析，
（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
由图可知：．
17．(1)二
(2)见解析
（1）解：第二步通分进行分式加减法运算时，去括号错误；
故答案为：二；
（2）解：
．
18．是等腰三角形，理由见解析
解：是等腰三角形．
理由如下：
，
，
，
，
，
即，
是等腰三角形．
19．甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的倍．
解：甲工程队修所用时间为，乙工程队修所用时间为，
故甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的倍．
20．详见解析
证明：，
．
又是的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
平分．
21．(1)①36，②144
(2)详见解析
（1）解：①
；
②
；
（2）证明：
，
∵n为正整数，
∴当时，（k为正整数），则，
∵一定能被4整除，
∴能被4整除；
当时，则（k为正整数），则，
∵一定能被4整除，
∴能被4整除；
综上所述，能被4整除．
22．(1)
(2)
（1）解：由图可知：表示大长方形的面积，
大长方形的边长分别为：，
∴；
故答案为：；
（2）解：依题意得，，
，
，
，
，
，
图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为：
．
23．(1)参加此次劳动实践活动的老师有9人，学生有236人
(2)一共有3种租车方案：租甲型客车4辆，乙型客车5辆或租甲型客车5辆，乙型客车4辆或租甲型客车6辆，乙型客车3辆
（1）解：设参加此次劳动实践活动的老师有人，
根据题意，得，
解得，
，
故参加此次劳动实践活动的老师有9人，学生有236人；
（2）解：师生总数为（人），
每位老师负责一辆车的组织工作，
一共租9辆车．
设租甲型客车辆，则租乙型客车辆，
根据题意，得
，
解得，
为整数，
的值可取4，5，6，
一共有3种租车方案：租甲型客车4辆，乙型客车5辆或租甲型客车5辆，乙型客车4辆或租甲型客车6辆，乙型客车3辆．
24．(1)
(2)
（1）解：由题意得，
（2）解：由题意得，
．
25．(1)详见解析
(2)
（1）（1）证明：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2），
．
，
，
．又，
，
，
．
26．(1)
(2)
(3)详见解析
（1）解：令，
原式，
将“”还原，得原式；
（2）解：令，
原式
，
将“”还原，得：
原式
；
（3）证明：令，
原式
，
将还原，
原式，
无论为何值，
，
即式子的值一定是一个不小于2的数．化简：．
解：原式第一步
第二步
第三步
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
30
25
租金（元/辆）
310
270