青岛版（2024）八年级上册（2024）5.1 勾股定理及其逆定理优秀练习题

这是一份青岛版（2024）八年级上册（2024）5.1 勾股定理及其逆定理优秀练习题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.如图，在4×5的方格中，A，B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，则满足条件的点C个数为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
3.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是( )
A. 2cmB. 2.5cmC. 3cmD. 4cm
4.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB于点E，连接OE，若OE=3，OB=4，则CE的长为( )．
A. 5 32B. 125C. 245D. 485
5.如图，在6×6的网格中，圆经过格点A、B、C.若E、F是圆上任意两点，且∠EFC=112°，则∠ACE的度数为( )
A. 65°
B. 66°
C. 67°
D. 68°
6.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm.将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则▵ABE的面积为( )
A. 3cm2B. 4cm2C. 6cm2D. 12cm2
7.如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=6.点E是边BC上一点，沿AE翻折ΔABE，点B恰好落在CD边上点F处，则CE的长是( )
A. 43B. 83C. 103D. 3
8.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是( )
A. 2.5B. 5C. 32 2D. 2
9.如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA=24千米，CB=16千米.现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点( )
A. 20千米B. 16千米C. 12千米D. 无法确定
10.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.过点A作AH⊥EF于点H，连接CH，若AD=3，DE=1，则CH的长为( )
A. 2 5
B. 10
C. 2 2
D. 5
11.如图，Rt△OAB的斜边OA在y轴上，∠AOB=30°，OB= 3，将Rt△AOB绕原点顺时针旋转60°，则A的对应点A1的坐标为( )
A. (1, 3)B. (− 3,1)C. ( 3,1)D. (−1, 3)
12.如图四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，BD=6，DH⊥AB于点H，则DH的长度是( )
A. 245B. 165C. 125D. 485
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图是“俄罗斯方块”游戏中的一个图案，由四个完全相同的小正方形拼成，则∠ABC的度数为_____．

14.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P都在格点(网格线的交点)上，且点P在▵ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA的度数是 ．
15.如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE= ．
16.如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A，B，C，D，E均为格点，连接AB，CD，则∠ABE+∠BCD= ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在笔直的公路上有相距2.5km的A，B两点，C，D为两个村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为点A，B。已知DA=1.5km，CB=1km。现要在公路的AB段上建一个便民服务站E，使得C，D两村到便民服务站E的距离相等。便民服务站E应建在离A点多远的地方？
18.(本小题8分)
图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB=CD=6 dm，BC=3 dm，AD=9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD=90°)，通过计算说明该车是否符合安全标准．
19.(本小题8分)
如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF(E,F均为格点)，各画出一条即可．
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．
21.(本小题8分)
如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1．
(1)请以 2，2 2， 10作为三角形的三边长，在图中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上．
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
22.(本小题8分)
如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。
23.(本小题8分)
在▵ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求▵ABC的面积．
24.(本小题8分)
已知，如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=15，BC=20，CD=7，AD=24．
(1)求∠ADC的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
25.(本小题8分)
在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图1，小明据此画出该岛的一个数学模型(如图2的四边形ABCD)，AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B=90°，AB=BC=5千米，CD=1千米，AD=7千米．
(1)小溪流AC的长为______千米．
(2)求四边形ABCD的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
如图，连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，先求出每边的平方，得出AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．
【解答】
解：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，
设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，AD2=12+32=10，BC2=52=25，CD2=12+32=10，BD2=12+22=5，
∴AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，
∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，
故选：C．
2.【答案】D
【解析】解：如图，根据勾股定理知AB2=12+32=10．
∵12+32=10，( 2)2+(2 2)2=10，( 5)2+( 5)2=10，
∴符合条件的点C有6个．
故选：D．
如图，点C在以AB为对角线的矩形的顶点上．利用勾股定理可以找到点C．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．注意，勾股定理应有的前提是在直角三角形中．
3.【答案】B
【解析】解：过点O作OM⊥AD于点M，延长MO交BC于点N，连接OF，如图所示：
则MF=EM=12EF=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN−ON=4−x，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，
即(4−x)2+22=x2，
解得x=2.5，
故选B．
过点O作OM⊥AD于点M，延长MO交BC于点N，连接OF，设OF=x，则OM=4−x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，涉及矩形的判定与性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，数练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
由菱形的性质得OA=OC，BD=2OB=8，AC⊥BD，进而由直角三角形斜边上的中线性质得AC=2OE=6，则OA=3，再由勾股定理得AB=5，然后由菱形面积求出CE的长即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，OB=4
∴OA=OC，BD=2OB=8，AC⊥BD
∵CE⊥AB
∴∠CEA=90∘
∴AC=2OE=2×3=6
∴OA=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= OA2+OB2= 32+42=5，
∵S菱形ABCD=AB⋅CE=12AC⋅BD=12×6×8=24
∴5CE=24
∴CE=245，
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：如图，连接AB、BC．
∵AB= 22+22=2 2，AC= 22+22=2 2，
∴AB2+AC2=(2 2)2+(2 2)2=16，
∵BC2=42=16，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠AEC=∠ABC=45°，
∵四边形AEFC内接于圆，
∴∠EAC=180°−∠EFC=180°−112°=68°，
∴∠ACE=180°−∠AEC−∠EAC=180°−45°−68°=67°．
故选：C．
连接AB、BC，根据勾股定理的逆定理证明∠BAC=90°，由AB=AC求出∠ABC的度数，由圆周角定理求出∠AEC的度数，根据圆的内接四边形的性质求出∠EAC的度数，再由三角形内角和定理求出∠ACE的度数即可．
本题考查圆周角定理、勾股定理，掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】设AE=xcm，由折叠的性质得，BE=DE=AD−AE=9−xcm．∵四边形ABCD是长方形，∴∠A=90∘.在Rt▵BAE中，由勾股定理得AB2+AE2=BE2，即32+x2=9−x2，解得x=4，∴AE=4cm，∴S▵ABE=12AB⋅AE=12×3×4=6cm2．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是由折叠性质得出CF，再利用勾股定理求解.根据折叠性质可得AF，再根据勾股定理可得DF，由矩形性质可得CF，设CE为x，由折叠性质可得EF=BE=6−x，再根据勾股定理求解即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD为矩形，AB=10，BC=6，
∴CD=AB=10，AD=BC=6，∠D=90∘，
∵沿AE翻折△ABE，
∴AF=AB=10，EF=BE，
在Rt△ADF中，由勾股定理可得：
DF= AF2−AD2= 102−62=8，
∴CF=CD−DF=10−8=2，
设CE=x，则
EF=BE=6−x，
在Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2，
即22+x2=(6−x)2，
解得：x=83，
∴CE的长为83，
故选B．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理求出AF，
再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】
解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC= 2，CF=3 2，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF= AC2+CF2= 22+(3 2)2=2 5，
∵H是AF的中点，
∴CH=12AF=12×2 5= 5．
故选B．
9.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意DE=EC，进而利用勾股定理得出是解题关键．
设AE=xkm，则BE=(40−x)km，根据题意利用勾股定理得出AD2+AE2=BE2+BC2，进而求出即可．
【解答】
解：设AE=xkm，则BE=(40−x)km，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，
∴AD2+AE2=BE2+BC2，
故242+x2=(40−x)2+162，
解得：x=16，
则煤栈E应距A点16km．
故选：B．
10.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，CD=BC=AD=3，
∴CE=CD−DE=2，
∵△ABF由△ADE旋转得到，
∴AF=AE，BF=DE=1，
∵AH⊥EF，
∴点H是EF的中点，
∵BC=3，BF=1，
∴CF=BC+BF=4，
∴EF= EC2+CF2= 22+42=2 5，
∵点H是EF的中点，
∴CH=12EF= 5．
故选：D．
由正方形的性质得到∠BCD=90°，CD=BC=AD=3，CE=CD−DE=2，由旋转得到AF=AE，BF=DE=1，进而根据“三线合一”得到点H是EF的中点，运用勾股定理在Rt△CEF中，求得EF=2 5，进而根据直角三角形斜边上中线的性质即可解答．
本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，综合运用相关知识是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了坐标与图形的性质−旋转、特殊角的三角函数值以及勾股定理，根据旋转变换的性质求出OA1的长度，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．先求出OA的长度，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小求出OA1的长，过点A1作A1C⊥x轴于C，求出∠A1OC的度数为30°，然后解直角三角形求出OC、A1C，写出点A1的坐标即可．
【解答】
解：如图，过点A1作A1C⊥x轴于C，
∵∠B=90°，∠AOB=30°，OB= 3，
∴OA= 3÷ 32=2，
∵将Rt△AOB绕原点顺时针旋转60°，OA1是OA旋转得到，
∴OA1=OA=2，∠AOA1=60°，
∴∠A1OC=30°，
∴A1C=12OA1=1，
∴OC= OA12−A1C2= 3，
∴A1( 3,1)．
故选C．
12.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直；菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半．
根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，又由菱形的对角线互相平分且垂直，可根据勾股定理得AB的长，根据菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，即可得菱形的高．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=12AC=4，OB=OD=12DB=3，
∴AB= 42+32=5，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=AB⋅DH，
∴DH=AC⋅BD2AB=245．
故选A．
13.【答案】45°
【解析】【分析】
此题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，求出AC、BC、AB的长，判断出△ABC是等腰直角三角形是解答本题的关键，难度一般．设小正方形的边长为1，连接AC，利用勾股定理求出AC、BC、AB的长，由勾股定理的逆定理判断出△ABC是等腰直角三角形，继而得出∠ABC的度数．
【解答】
解：如图，设小正方形的边长为1，连接AC．
则AB= 32+12= 10，AC= 12+22= 5，BC= 12+22= 5，
∴AC=BC，且AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
故答案为45°．
14.【答案】45 ∘
【解析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用；先计算CP2=BC2=12+22=5，BP2=12+32=10，可得CP=CB，CP2+CB2=BP2，再进一步求解即可．
【详解】解：∵点A，B，C，P都在格点(网格线的交点)上，且点P在▵ABC的边AC上，
∴CP2=BC2=12+22=5，BP2=12+32=10，
∴CP=CB，CP2+CB2=BP2，
∴∠PCB=90 ∘，∠CPB=45 ∘，
∴∠PAB+∠PBA=∠CPB=45 ∘；
故答案为：45 ∘
15.【答案】45°
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键．
连接AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠ADC=90°，∠ACD=45°，最后根据平角的定义可得结论．
【解答】
解：连接AD，
由勾股定理得：AD2=12+32=10，CD2=12+32=10，AC2=22+42=20，
∴AD=CD，AD2+CD2=AC2，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
观察图形可知，△BFC和△CGE都是等腰直角三角形，
∴∠BCF=45°，∠ECG=45°，
∴∠BCA+∠DCE=180°−45°−45°−45°=45°，
故答案为：45°．
16.【答案】45°
【解析】解：如图，连接AF、BF，则BF/​/CD，
∴∠EBF=∠BCD，
设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AF2=12+22=5，BF2=12+22=5，AB2=12+32=10，
∴AF=BF，AF2+BF2=AB2，
∴△ABF是等腰直角三角形，且∠AFB=90°，
∴∠ABF=45°，
即∠ABE+∠EBF=45°，
∴∠ABE+∠BCD=45°，
故答案为：45°．
连接AF、BF，则BF/​/CD，得∠EBF=∠BCD，设小正方形的边长为1，再由勾股定理得：AF2=12+22=5，BF2=12+22=5，AB2=12+32=10，则AF=BF，AF2+BF2=AB2，然后证明△ABF是等腰直角三角形，且∠AFB=90°，得∠ABF=45°，即可解决问题．
本题考查了勾股定理、平行线的性质、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
17.【答案】解：因为C，D两村到便民服务站E的距离相等，所以DE=CE。因为DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，所以∠DAE=∠CBE=90°，所以AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，所以AE2+AD2=BE2+BC2。
设AE=xkm，则BE=AB−AE=(2.5−x)km。因为DA=1.5km，CB=1km，所以x2+1.52=(2.5−x)2+12，解得x=1，所以AE=1km，所以便民服务站E应建在离A点1km处。

【解析】见答案
18.【答案】解：在Rt△ABD中，BD2=AD2−AB2=92−62=45. 在△BCD中，BC2+CD2=32+62=45.∴BC2+CD2=BD2.∴∠BCD=90°.∴BC⊥CD.∴该车符合安全标准．
【解析】略
19.【答案】解：如图：
从图1中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F，则EF平分BC；
图2，EC= 5，EF= 5，FC= 10，借助勾股定理确定F点，则EF⊥AC；
图3，AB为左下右上斜穿过横1竖3的格子的对角线，则与之垂直的EF即为左上右下的斜穿横3竖1的格子的对角线，图为选择的左上右下的斜穿过横6竖2的格子的对角线，注意EF要穿过AB的中点．
【解析】本题考查格点作图；在格点中利用勾股定理的逆定理，三角形的性质作平行、垂直、中点是解题的关键．
图1，从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F；图2，EC= 5，EF= 5，FC= 10，借助勾股定理确定F点；图3，利用斜穿格子对角线寻找垂直．
20.【答案】解：连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
又AB=4，BC=3，
∴根据勾股定理得：AC= AB2+CB2=5，
又AD=13，CD=12，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×3×4+12×12×5=36．
【解析】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
21.【答案】如图，△ABC即为所求；

结论：△ABC是直角三角形．
理由：∵AC= 2，BC=2 2，AB= 10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形
【解析】(1)如图，△ABC即为所求；
(2)结论：△ABC是直角三角形．
理由：∵AC= 2，BC=2 2，AB= 10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形．
(1)利用勾股定理，勾股定理的逆定理作出三角形即可；
(2)利用勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查作图−应用与设计作图，三角形三边关系，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
22.【答案】解：如图，连接AC，
∵CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，
∴AC= 62+82=10(m)，
∵AB=26m，BC=24m，102+242=262，即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．
∴四边形ABCD的面积=S△ABC−S△ACD=12×10×24−12×6×8=96(m2).
答：这块地的面积为96m2．

【解析】 本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积.先根据勾股定理可求出AC的长，根据勾股定理的逆定理可求出∠ACB=90°，可求出△ACB的面积，减去△ACD的面积，可求出四边形ABCD的面积．
23.【答案】解：在▵ABD中，∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴▵ABD是直角三角形，∠ADB=90∘，∴AD⊥BC，在Rt▵ACD中，∵CD2=AC2−AD2=172−82=225，∴CD=15，∴BC=BD+CD=6+15=21，∴S▵ABC=12BC⋅AD=12×21×8=84
【解析】略
24.【答案】解：(1)连接AC，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=15，BC=20，由勾股定理得：AC= AB2+BC2=25，
∵CD=7，AD=24，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ADC为直角三角形，
∴∠ADC=90°；
(2)四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△ADC
=12×AB×BC+12×AD×DC
=12×15×20+12×24×7
=234．
【解析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积，能熟记勾股定理的逆定理和勾股定理的内容是解此题的关键．
(1)连接AC，根据勾股定理求出线段AC长度，根据勾股定理的逆定理求出∠D=90°即可；
(2)分别求出Rt△ADC和Rt△ABC的面积即可．
25.【答案】5 2；
16平方千米．
【解析】(1)∠B=90°，AB=BC=5千米，CD=1千米，AD=7千米．如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：
AC= AB2+BC2= 52+52=5 2(千米)，
故答案为：5 2；
(2)∵AC=5 2(千米)，CD=1千米，AD=7千米．
∴AC2=(5 2)2=50，AD2=72=49，CD2=12=1，
∴AC2=CD2+AD2，
∴△ADC是直角三角形，则∠D=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×5×5+12×1×7=16(平方千米)．
(1)根据勾股定理勾股定理求解即可；
(2)将四边形分成两个三角形，求证∠D为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可．
本题考查勾股定理的应用，勾股定理，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键．