2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题8.3圆的方程(七类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题8.3圆的方程(七类重难点题型精练)(学生版+解析)，共47页。

重难点题型1 求圆的方程
1．（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·北京海淀·二模）圆心为且与轴相切的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·河北保定·一模）已知O为坐标原点，圆，则（ ）
A．2B．3C．D．5
5．（2025·四川凉山·三模）（多选题）已知，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最小值是D．的最大值是
6．（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 .
7．（2025·河南·模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 .
8．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 .
重难点题型2 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
1．（2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·贵州黔南·三模）“关于，的方程：表示圆”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（24-25高二上·重庆·开学考试）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（多选题）已知圆C：，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若圆关于直线对称，则
B．存在直线与所有的圆都相切
C．当时，为圆上任意一点，则的最大值为
D．当时，直线为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，则最小值为4
6．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 .
7．（2024·广东珠海·一模）若方程表示圆，则的取值范围为 .
8．已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ．
重难点题型3 点与圆的位置关系
1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知点在圆外，则的取值范围（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2025·北京海淀·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．与有关，不能确定
3．（2025·山西临汾·一模）已知，，，，若从，，，这四个点中任意选择两个点，则这两个点都落在圆外的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·广西河池·二模）（多选题）已知圆方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．若已知在圆内，则
C．若，则直线与圆相离
D．若，圆关于直线对称的圆方程为
5．（24-25高二下·山西·月考）（多选题）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点在圆的外部
C．圆与圆外切
D．当直线平分圆的周长时，
6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为 .
7．已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则 ．
重难点题型4 与圆有关的轨迹问题
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·江西·模拟预测）已知点A，B是圆C：上的两个动点，O为原点，点A，B，O共线，点D为AB的中点，则点D的轨迹长度为（ ）
A．B．2πC．D．
3．（2025·内蒙古赤峰·一模）在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 .
5．（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为 ．
重难点题型5 与圆有关的对称问题
1．（2024·宁夏银川·三模）如图，设，是圆上的两个动点，且M、P点都不在坐标轴上，点M关于原点的对称点为，点M关于x轴的对称点为，若直线，与y轴分别相交于和则（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（2023·河南信阳·三模）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”；下列有关说法中：
①对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
②函数是圆的一个太极函数；
③存在圆，使得是圆的太极函数；
④直线所对应的函数一定是圆的太极函数．
所有正确说法的序号是（ ）

A．①②③B．①②④C．②④D．②③
3．（2024·陕西西安·一模）已知圆，直线，若圆上任意一点关于直线的对称点仍在圆上，则点必在（ ）
A．一个离心率为的椭圆上B．一个离心率为2的双曲线上
C．一个离心率为的椭圆上D．一个离心率为的双曲线上
4．（2024·天津·二模）已知直线与圆交于两点，直线垂直平分弦，则的值为 ．
5．已知a，b为正实数，直线将圆平分，则的最小值是 .
6．设曲线关于直线对称，则 ．
重难点题型6 圆过定点
1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知直线，圆，当直线被圆截得的弦最短时，的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024高三上·全国·月考）设直线与圆交于，两点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
4．直线与圆相交，所得弦长为整数，这样的直线有（ ）条
A．10B．9
C．8D．7
5．（2025·辽宁沈阳·一模）已知直线被圆截得的最短弦长为，则 ．
6．（2024·广东惠州·模拟预测）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 ．
7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 .
8．已知圆，若直线与圆C交于两点，当弦的长度最小时，则正实数m= .
重难点题型7 圆的方程的实际应用
1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩（Lemine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边相交于点，则三点在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩（Lemine）线.在平面直角坐标系中若三角形三个顶点的坐标为，，则该三角形的莱莫恩（Lemine）线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·四川宜宾·三模）如图，在等边中，，以为直径分别作半圆，是两段半圆弧上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·江西·二模）（多选题）如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．圆的圆心都在直线上
B．圆的方程为
C．若，则圆与轴有交点
D．设直线与圆在第二象限的交点为，则
4．（2025·上海杨浦·三模）已知三角形的，则三角形的面积的取值范围是 ．
5．（2025·四川资阳·模拟预测）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的周长是为 ；若是曲线C上任意一点，的最小值为 .
6．（2025·陕西·二模）在我们所作的三角形外接圆中，有常见的以下几种如图：
(1)如图一，三角形不经过圆的直径，叫做“阿圆▲”，设该三角形为，其外接圆半径为，角所对的边分别为.定义函数，，且的最大值为，若，设D为三角形外接圆劣弧上的一点，且不与重合，求的取值范围.
(2)如图二，三角形经过圆的直径，叫做“泰圆▲”，若该三角形为ABC，为定点，C为动点，试用向量方法证明数学常见结论：“”.
(3)如图三，三角形包跨过圆的直径，叫做“秘圆▲”，假设该圆的直径为，其中一条边的位置固定，长度为3，求满足条件的动点的运动轨迹方程.
7．（2024·上海静安·二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．
(1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；
(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）
(3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．
序号
题型
重难点题型1
求圆的方程
重难点题型2
用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
重难点题型3
点与圆的位置关系
重难点题型4
与圆有关的轨迹问题
重难点题型5
与圆有关的对称问题
重难点题型6
圆过定问题
重难点题型7
圆的方程的实际应用
专题8.3 圆的方程
目录●重难点题型分布
重难点题型1 求圆的方程
1．（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】根据题意，设所求圆的方程为，利用点到直线距离公式列式求出得解.
【详解】设所求圆的方程为，
则，解得，
所以圆的方程为.
故选：D.
2．（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】由一般方程得到标准方程即可求解.
【详解】由，
得，
可知圆C的圆心坐标为．
故选：C
3．（2025·北京海淀·二模）圆心为且与轴相切的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】首先得到半径，即可得到圆的方程.
【详解】因为圆心为且与轴相切，所以半径，
则圆的方程为.
故选：D
4．（2025·河北保定·一模）已知O为坐标原点，圆，则（ ）
A．2B．3C．D．5
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求平面两点间的距离、由标准方程确定圆心和半径
【分析】求出圆心坐标，再利用两点间距离公式计算得解.
【详解】圆的圆心，所以.
故选：C
5．（2025·四川凉山·三模）（多选题）已知，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最小值是D．的最大值是
【答案】ACD
【难度】0.4
【知识点】求点到直线的距离、将军饮马问题求最值、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】A选项表示圆上一点到点的距离，即最小值为；圆上一点到直线的距离为，，即为到直线的距离减半径，求出，即可得判断B；表示圆上一点到点距离之和，由此求解可判断C；化简D选项可知D表示圆上一点到点距离之差的2倍，由此求解可判断D.
【详解】方程的圆心为，
对于A，表示圆上一点到点的距离，
，
所以的最小值是，故A正确；
对于B，圆上一点到直线的距离为，
，所以求的最小值，即求，
所以即为到直线的距离减半径，
所以到直线的距离为，
所以，所以的最小值为，故B错误；
对于C，因为，所以
表示圆上一点到点距离之和，
所以，当三点在一条直线上时取等，
故的最小值是，故C正确；
对于D，因为，所以
，
表示圆上一点到点距离之差的2倍，
所以，当三点在一条直线上时取等，
的最大值是，故D正确.
故选：ACD.
6．（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 .
【答案】4
【难度】0.94
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】首先确定圆的圆心坐标和圆的半径，然后确定直线与圆的位置关系，进而可求出圆上的点到直线的距离的最大值.
【详解】因为，
所以圆心坐标为，半径.
所以圆上的点到的距离最大值为圆心到直线的距离加圆的半径，即的长度.
所以.
故答案为：4.
7．（2025·河南·模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】先根据中点坐标公式和斜率公式求出两点的中点和斜率，进而得到垂直平分线的斜率和方程，再联立相关直线方程求出圆心坐标，最后根据圆心和圆上一点求出半径，从而确定圆的方程.
【详解】点和点的中点为，
点和点的斜率为，
则点和点的垂直平分线的斜率为，
可得点和点的垂直平分线的方程为
设圆心为，由题意联立方程：
解得，，半径，圆方程为.
故答案为：.
8．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】根据圆心在直线上设出圆心坐标，再根据圆过坐标原点及圆心与圆上任一点距离即为半径列等式即可，再进行配方即可得到半径最小时的圆心坐标，最后写圆的方程即可.
【详解】由题意圆心在直线上运动，设圆心坐标为.
又圆经过坐标原点，即，整理得.
当半径最小时，，则圆心为.
故圆的方程为.
故答案为：.
重难点题型2 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
1．（2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】根据圆的一般方程可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】若方程表示圆，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
2．（2025·贵州黔南·三模）“关于，的方程：表示圆”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断命题的必要不充分条件、二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若关于，的方程：表示圆，则，解得或，
因为真包含于，
所以“关于，的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3．（24-25高二上·重庆·开学考试）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据必要不充分条件求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】由题意先根据圆的一般方程求出“”表示圆时m的取值范围，再根据必要不充分条件得出两个范围的包含关系，从而得出t的取值范围.
【详解】因为表示圆，
所以根据圆的一般方程，，
又因为是表示圆的必要不充分条件，
所以能推出，而推不出，
即是的真子集，
所以，
故选: B.
4．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断命题的必要不充分条件、点与圆的位置关系求参数
【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论.
【详解】定点在圆的外部，
，化简得，
k的取值范围：或，
所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件.
故选：B.
5．（多选题）已知圆C：，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若圆关于直线对称，则
B．存在直线与所有的圆都相切
C．当时，为圆上任意一点，则的最大值为
D．当时，直线为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，则最小值为4
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】切线长、判断直线与圆的位置关系、圆的对称性的应用
【分析】根据圆关于直线对称，得得值，检验半径是否大于零，即可判断A；根据直线与圆相切的充要条件判断B；根据直线与圆的位置关系确定的最值即可判断C；根据直线与圆相切的切线长与切点弦关系可判断D.
【详解】解：圆C：，整理得：，
所以圆心，半径，则
对于A，若圆关于直线对称，则直线过圆心，所以，得，又时，，方程不能表示圆，故A是假命题；
对于B，对于圆，圆心为，半径，则，
当直线为时，圆心到直线的距离，
故存在直线，使得与所有的圆相切，故B是真命题；
对于C，当时，圆的方程为，圆心为，半径
由于为圆上任意一点，设，则式子可表示直线，此时表示直线的纵截距，
故当直线与圆相切时，可确定的取值范围,
于是圆心到直线的距离，解得或，
则，所以的最大值为，故C为真命题；
对于D，圆的方程为，圆心为，半径，
如图，连接，
因为直线与圆相切，所以，且可得，又，
所以，且平分，所以，
则，则最小值即的最小值，
即圆心到直线的距离，
所以的最小值为，故D为真命题.
故选：BCD.
6．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围.
【详解】因为，变形得，
所以，解得.
故答案为：.
7．（2024·广东珠海·一模）若方程表示圆，则的取值范围为 .
【答案】或
【难度】0.85
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】由圆的一般方程写出标准方程，从而求得参数取值范围.
【详解】由圆的一般方程写出标准方程，
，
即
由，可得或.
故答案为：或
8．已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】先利用方程得到，求出或，然后分别求解即可．
【详解】方程表示圆，
所以，解得或，
当时，方程，配方可得，所得圆的圆心坐标为；
当时，方程，即，此时，方程不表示圆．
综上所述，圆心坐标是．
故答案为：．
重难点题型3 点与圆的位置关系
1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知点在圆外，则的取值范围（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】点与圆的位置关系求参数
【分析】根据圆的一般方程以及点在圆外，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为点在圆外，则，
解得，所以实数的取值范围为.
故选：B.
2．（2025·北京海淀·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．与有关，不能确定
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题、判断点与圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系
【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数.
【详解】由直线恒过定点，而，
所以点在圆内，故直线恒与圆相交，故有两个交点，
故选：C
3．（2025·山西临汾·一模）已知，，，，若从，，，这四个点中任意选择两个点，则这两个点都落在圆外的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断点与圆的位置关系、计算古典概型问题的概率
【分析】先判断出在圆外，在圆上，再利用列举法进行求解概率.
【详解】因为，故点在圆外，
，点在圆外，
，点在圆上，
，点在圆外，
从4个点中任意选择两个点，共有6种情况，
分别为，，
其中两个点都落在圆外的有，
故这两个点都落在圆外的概率为.
故选：A
4．（2025·广西河池·二模）（多选题）已知圆方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．若已知在圆内，则
C．若，则直线与圆相离
D．若，圆关于直线对称的圆方程为
【答案】BD
【难度】0.85
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系、由圆与圆的位置关系确定圆的方程
【分析】对于A，给圆的方程配方即可求解；对于B，根据点在圆内即可列方程；对于C，比较圆心到直线的距离与半径的大小即可；对于D，只需求出圆心关于直线的对称点即可.
【详解】对于A，圆的方程为，所以，得，故A错误；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，当，时圆C方程为，
此时圆心C到直线的距离，所以与圆相切，故C错误；
对于D，当时，可得圆C的方程为，则圆心，半径为2，
设圆D的方程为，由，
对称圆D方程为即，故D正确.
故选：BD.
5．（24-25高二下·山西·月考）（多选题）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点在圆的外部
C．圆与圆外切
D．当直线平分圆的周长时，
【答案】ABC
【难度】0.85
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、判断点与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、判断圆与圆的位置关系
【分析】由已知圆半径确定参数，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数判断D.
【详解】根据题意得，解得，A正确．
由选项A可知，圆，圆心为，半径为2．因为，所以点在圆的外部，B正确．
圆的圆心为，半径为8，因为，
所以圆与圆外切，C正确．
若直线平分圆的周长，则直线过圆心，则，解得，D错误．
故选：ABC．
6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数
【分析】根据圆心到点的距离大于半径即可列不等式求解.
【详解】圆的标准方程为，
由于点在圆外，
所以，解得，
故答案为：
7．已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、点与圆的位置关系求参数
【分析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于r的方程，求解即可.
【详解】由点在圆C：内，且
所以，又，解得
过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为
又，
所以，解得
故答案为：
重难点题型4 与圆有关的轨迹问题
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆
【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案.
【详解】设，，由为的中点，则，即，
由点在圆上，则，即，
化简可得.
故选：D.
2．（2025·江西·模拟预测）已知点A，B是圆C：上的两个动点，O为原点，点A，B，O共线，点D为AB的中点，则点D的轨迹长度为（ ）
A．B．2πC．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】轨迹问题——圆
【分析】根据D点的性质，求出轨迹方程，确定轨迹是一个新的圆，找到轨迹对应的圆心角度数，即可求出轨迹长度.
【详解】
由题意知，变形得，可知圆是以为圆心，以2为半径的圆，画出示意图，根据垂径定理可知，，则点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆的一部分.
如图，过原点作圆的切线切点分别为，连接.
易知，则，所以，同理可知可得，
当圆周角为时，圆心角为，则弧长轨迹.
故选：C.
3．（2025·内蒙古赤峰·一模）在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆
【分析】建立平面直角坐标系，设点，根据求出点的轨迹方程，结合圆的周长公式可求得结果.
【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则点、，
设点，由可得，
整理可得，化为标准方程得，如下图所示：
所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，
因此，点轨迹的长度为.
故选：A.
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】向量垂直的坐标表示、轨迹问题——圆、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】设点，当不重合时，根据圆的几何性质，利用垂直建立方程求解即可得解，当重合时，代入检验即可.
【详解】由直线过点，圆可知，圆心为，
设点，
由题意可知，当点与点不重合时，，则，整理得，即，
此时点的轨迹为圆但不包括点.
当点与点重合时，其坐标满足方程.
综上，点的轨迹方程为.
故答案为：
5．（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆、直线过定点问题、垂直关系的向量表示
【分析】设，先求出直线和恒过的定点，，由可得，即可得出答案.
【详解】因为，所以直线过点，
直线过点，
因为，所以，设，
所以，所以，
所以，化简可得：.
故答案为：.
重难点题型5 与圆有关的对称问题
1．（2024·宁夏银川·三模）如图，设，是圆上的两个动点，且M、P点都不在坐标轴上，点M关于原点的对称点为，点M关于x轴的对称点为，若直线，与y轴分别相交于和则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】圆的对称性的应用、点与圆的位置关系求参数、直线两点式方程及辨析
【分析】求出的方程得出，求出的方程得出，再利用、点在圆上可得.
【详解】依题意，，，显然，，
的方程为，令，得，
的方程为，令，得，
所以．
故选：D
2．（2023·河南信阳·三模）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”；下列有关说法中：
①对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
②函数是圆的一个太极函数；
③存在圆，使得是圆的太极函数；
④直线所对应的函数一定是圆的太极函数．
所有正确说法的序号是（ ）

A．①②③B．①②④C．②④D．②③
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数新定义、圆的对称性的应用、直线过定点问题、函数奇偶性的应用
【分析】举出反例判断①；说明的图象关于点成中心对称，结合太极函数定义判断②；说明图象关于对称，不在函数图象上，结合太极函数定义判断③；求出直线过的定点，恰为圆心，即可判断④.
【详解】对于①，存在偶函数，其图象如图示：

当x轴上方的两个小三角形面积等于x轴下方的两个三角形面积时，
即可将圆的周长和面积同时等分成两部分，①错误；
对于②，将正弦函数的图象向上平移1个单位即得的图象，
故的图象关于点成中心对称，
又圆也关于点中心对称，故可将圆的周长和面积同时等分成两部分，②正确；
对于③，的定义域为，
且，故为奇函数，图象关于对称，

如果是圆的太极函数，则圆的圆心应该为，
但是不在的图象上，故不能将圆的周长和面积同时等分成两部分，③错误；
对于④，直线，即，
由于，故，解得，即直线过定点，
即直线经过圆的圆心，
能将圆的周长和面积同时等分成两部分，④正确，
故②④正确，
故选：C
3．（2024·陕西西安·一模）已知圆，直线，若圆上任意一点关于直线的对称点仍在圆上，则点必在（ ）
A．一个离心率为的椭圆上B．一个离心率为2的双曲线上
C．一个离心率为的椭圆上D．一个离心率为的双曲线上
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、圆的对称性的应用、由标准方程确定圆心和半径
【分析】首先求出圆的圆心坐标，依题意可得直线过圆的圆心，从而得到，即可得到点所满足的曲线方程，再求出离心率.
【详解】圆的圆心为，
依题意可知直线过圆的圆心，则，
所以点必在双曲线即上，且该双曲线的离心率．
故选：D.
4．（2024·天津·二模）已知直线与圆交于两点，直线垂直平分弦，则的值为 ．
【答案】2
【难度】0.85
【知识点】圆的对称性的应用、由标准方程确定圆心和半径、已知直线垂直求参数
【分析】利用圆的性质，两直线位置关系计算即可.
【详解】由题意可知，即圆心，
又直线垂直平分弦，所以过圆心，
所以.
故答案为：2
5．已知a，b为正实数，直线将圆平分，则的最小值是 .
【答案】8
【难度】0.85
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、圆的对称性的应用
【分析】根据圆的性质，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】因为直线过圆心，所以，
因为a、b为正实数，
所以，当且仅当时取等号，即时取等号，
故答案为：8
6．设曲线关于直线对称，则 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】圆的对称性的应用
【分析】利用圆的性质，可知圆心在直线上，即可求.
【详解】表示圆心是，半径的圆，由条件可知，圆心在直线上，即，得.
故答案为：
重难点题型6 圆过定点
1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知直线，圆，当直线被圆截得的弦最短时，的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围）、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】求出直线过的定点及圆的圆心的坐标，再结合已知求出直线的斜率即可得解.
【详解】依题意，直线，由，解得，
所以直线过定点，
由，得，
所以圆心，半径，
显然，即点在圆内，
所以直线斜率，
当时，直线被圆截得的弦最短，
所以，即，解得,
所以直线的方程为，即，
经检验，此时，满足题意.
故选：C.
2．（2024高三上·全国·月考）设直线与圆交于，两点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、由标准方程确定圆心和半径、判断点与圆的位置关系、过圆内定点的弦长最值（范围）
【分析】由条件可知直线过定点，直线时，弦最短，直线l过圆心时，弦最长，求解即可.
【详解】设直线为l，
方程变形为，所以直线恒过定点，
因为圆的方程为，所以圆心，半径，
因为，所以在圆的内部，
当直线时，弦最短，
因为，所以，
当直线l过圆心时，弦最长为，
故的取值范围为.
故选：.
3．已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】圆的弦长与中点弦、过圆内定点的弦长最值（范围）、直线过定点问题
【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果.
【详解】由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以.
故选：A
4．直线与圆相交，所得弦长为整数，这样的直线有（ ）条
A．10B．9
C．8D．7
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围）、直线过定点问题
【分析】求出过定点的直线与圆的最短弦长为，最长的弦长为直径10，则弦长为6的直线恰有1条，最长的弦长为直径10，也恰有1条，弦长为7，8，9的直线各有2条，即可求出答案.
【详解】直线过定点，圆半径为5，
最短弦长为，恰有一条，但不是整数；
弦长为6的直线恰有1条，有1条斜率不存在，要舍去；
最长的弦长为直径10，也恰有1条；
弦长为7，8，9的直线各有2条，共有8条，
故选：C．
5．（2025·辽宁沈阳·一模）已知直线被圆截得的最短弦长为，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围）、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】根据定点及两点间距离公式得出圆心到直线距离的最大值，进而结合圆的弦长公式，得到弦长，计算即可求解.
【详解】由题意，圆，可得圆心，半径，
过定点
则圆心到直线的距离为，
可得截得弦长为，
弦长取得最小值时，.
故答案为：.
6．（2024·广东惠州·模拟预测）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】圆的弦长与中点弦、过圆内定点的弦长最值（范围）
【分析】数形结合确定弦和的位置，即可求出四边形的面积.
【详解】圆的方程化为标准方程为：，
则圆心半径，由题意知最长弦为过点的直径，最短弦为过点和这条直径垂直的弦，即，且，圆心和点之间的距离为1，
故，
所以四边形ABCD的面积为．
故答案为：
7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围）、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】求出直线过定点，当直线与过定点的半径垂直时，弦长最短，由此计算可得．
【详解】由直线方程知直线过定点，，此点在内，直线与圆始终相交，，，
所以直线被圆截得的弦长最短时，，直线方程为，即．
【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，过圆内定点的直线与圆相交的弦长，当直线过圆心时弦长最长，当直线与过定点的半径垂直时弦长最短．
8．已知圆，若直线与圆C交于两点，当弦的长度最小时，则正实数m= .
【答案】.
【难度】0.65
【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围）
【解析】先确定直线过定点且在圆内，当弦的长度最小时得出定点与圆心的连线与垂直，根据斜率关系求得.
【详解】解：将直线的方程整理为，由得：.直线经过定点.，点在圆的内部，故直线与圆恒有两个交点.圆心，当弦AB的长度最小时，.由于不存在，所以,即，.
故答案为：.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.
重难点题型7 圆的方程的实际应用
1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩（Lemine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边相交于点，则三点在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩（Lemine）线.在平面直角坐标系中若三角形三个顶点的坐标为，，则该三角形的莱莫恩（Lemine）线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】直线两点式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、求过已知三点的圆的标准方程、过圆上一点的圆的切线方程
【分析】求出的外接圆方程，求出在处的切线方程，即可求出的坐标，由题意即可求得答案.
【详解】设的外接圆方程为，
则，解得，
即外接圆方程为，即，
故该外接圆在处的切线方程为；
直线的方程为，令，则，即得，
外接圆在处的切线方程为；
直线的方程为，令，则，即得，
则直线的方程为，即，
即该三角形的莱莫恩（Lemine）线方程为.
故选：A.
2．（2025·四川宜宾·三模）如图，在等边中，，以为直径分别作半圆，是两段半圆弧上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、数量积的坐标表示、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】建立两个不同的平面直角坐标系，对点位置分类讨论，结合圆的参数方程设出其坐标，利用平面向量积的坐标表示将表示为三角函数，再利用辅助角公式结合三角函数的有界性求解值域，最后两种情况再取并集即可.
【详解】首先，作的中点，我们对的位置分类讨论，
当在以为圆心的半圆弧上运动时，
如图，以中点为原点建立平面直角坐标系，
因为在等边中，，所以，，
则半圆的方程为，的参数方程为是参数，且，
得到，故，，
则，
因为，所以，得到，
即，故，
即此时，
其次，作的中点， 当在以为圆心的半圆弧上运动时，
如图，以中点为原点建立平面直角坐标系，
因为在等边中，，所以，，
则半圆的方程为，的参数方程为是参数，且，
得到，故，，
则，
因为，所以，得到，
即，故，即此时，
综上，可得，故D正确.
故选：D
3．（2025·江西·二模）（多选题）如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．圆的圆心都在直线上
B．圆的方程为
C．若，则圆与轴有交点
D．设直线与圆在第二象限的交点为，则
【答案】ABC
【难度】0.4
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】求出连心线所在直线方程判断A；求出圆的方程判断B；求出圆的圆心到y轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断C；求出点的纵坐标判断D.
【详解】圆的圆心，直线的方程为，即，
由两圆内切连心线必过切点，得圆的圆心都在直线上，即圆的圆心都在直线上，故A正确；
显然，设点，则，而，
解得，，因此圆的圆心，半径为，
圆的方程为，
则圆的方程为，故B正确；
圆的圆心为，半径，
圆心到轴的距离为，
由两边平方得，
，，而
所以当时，圆与轴有交点，C选项正确.
在中，令，得点的纵坐标为，因此，故D错误．
故选：ABC.
4．（2025·上海杨浦·三模）已知三角形的，则三角形的面积的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆
【分析】以为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，设出点坐标，根据列等式，即可得到的轨迹.再求点到的距离范围即可得到三角形的面积的取值范围.
【详解】以为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，.
因为，所以，化简得，
则点的轨迹为以为圆心，半径为的圆（除去两点）.
则点到直线的最大距离即为半径，此时三角形的面积.
又点到直线的距离可趋近于，所以三角形的面积的取值范围为.
故答案为：
5．（2025·四川资阳·模拟预测）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的周长是为 ；若是曲线C上任意一点，的最小值为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由方程研究曲线的性质
【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断即可．
【详解】曲线C：，
当，时，曲线C的方程可化为；
当，时，曲线C的方程可化为；
当，时，曲线C的方程可化为；
当，时，曲线C的方程可化为，
所以曲线C的图象如图所示，

曲线C由4个半圆以及坐标原点组成，其周长为；
到直线的距离，
当，时，曲线C的方程可化为
曲线为圆心为，半径为的圆的一部分，如图所示，
而到直线的距离为，
由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为，
故的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于分情况讨论，得到不同情况下函数的图像，从而求解.
6．（2025·陕西·二模）在我们所作的三角形外接圆中，有常见的以下几种如图：
(1)如图一，三角形不经过圆的直径，叫做“阿圆▲”，设该三角形为，其外接圆半径为，角所对的边分别为.定义函数，，且的最大值为，若，设D为三角形外接圆劣弧上的一点，且不与重合，求的取值范围.
(2)如图二，三角形经过圆的直径，叫做“泰圆▲”，若该三角形为ABC，为定点，C为动点，试用向量方法证明数学常见结论：“”.
(3)如图三，三角形包跨过圆的直径，叫做“秘圆▲”，假设该圆的直径为，其中一条边的位置固定，长度为3，求满足条件的动点的运动轨迹方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)或.
【难度】0.15
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形、数量积的运算律、轨迹问题——圆
【分析】（1）利用辅助角公式求解最值，得利用正弦定理转化为边的关系，联立，解得，进而求解，符合“阿圆▲”定义，再利用圆的性质转化，然后结合几何图形求范围可得；
（2）由“泰圆▲”定义，利用向量数量积为证明垂直关系即可；
（3）建系设点，利用几何法求圆的圆心可得轨迹方程，注意结合“秘圆▲”定义求解范围,
【详解】（1）由，得，
，
其中由，不妨取，
由，得，
当时，
取最大值，最大值为，
化简得，又，
由，
解得或，由，则，联立，
解得，则，则，
由题意，为“阿圆▲”，即为钝角三角形，有一内角为钝角，
而，满足题意，
此时，，
如图，由题意D为三角形外接圆劣弧上的一点，且不与重合，为圆心，
取中点，连接，则，，三点共线，
所以.
，
结合图形可知，，且，
因此，故.
即的取值范围为.
（2）由题意，由为“泰圆▲”，为外接圆圆心，则其中一边过圆心，即为直径，
若为动点，要使恒为“泰圆▲”，则为直径，
，
由构成三角形，三点不共线，故，即，
故，结论得证.
（3）以中点为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意，则，设，
设外接圆圆心为，已知直径为，则，
由对称性可知，圆心在的垂直平分线上，即轴上，
设圆心，则，解得，则或.
当时，点在圆上，
如图，连接，延长分别与圆交于点，
由题意，为“秘圆▲”，即为锐角三角形，结合图形可知，
的轨迹为圆上的劣弧，且不包括端点,所以，
当时，同理由对称性可得点的轨迹方程为.
综上所述，满足条件的动点的运动轨迹方程为
或.
7．（2024·上海静安·二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．
(1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；
(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）
(3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【难度】0.65
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弧长、面积、圆心角等计算、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】（1）解法1；以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，求得圆的方程，得到，联立方程组，求得，设圆的半径为，求得圆的方程为，进而得到函数的解析式；解法2：以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设圆的半径为，求得圆的方程为，得到，，进而得到函数的解析式；
（2）解法1：求得圆弧的长为，得到圆弧的长为，进而求得过桥道路的总长度；解法2：根据题意，求得，得到圆弧的长，求得圆弧的长为，进而得到过桥道路的总长度；
（3）设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，提出问题，结合面积公式，分别求得铺设过桥路需要混凝土的值.
【详解】（1）解法1、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，圆的方程为，
由，得，，
过点作圆的切线，切点为，直线的斜率为，其方程为，
所以直线的斜率为，其方程为，将其代入，
得点的坐标为，
经过点作圆与圆切于点（圆与y轴的交点），设圆的半径为，
则，即，解得，
所以，圆的方程为，
故用函数表示过桥道路为 .
解法2、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
作圆与x轴相切于点，并和圆切于点，
设圆的半径为，则，即，解得，
所以圆的方程为，
将直线的方程代入得，点的坐标为，
所以用函数表示过桥道路为.
序号
题型
重难点题型1
求圆的方程
重难点题型2
用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
重难点题型3
点与圆的位置关系
重难点题型4
与圆有关的轨迹问题
重难点题型5
与圆有关的对称问题
重难点题型6
圆过定问题
重难点题型7
圆的方程的实际应用