新高考数学一轮复习考点题型训练 8.7抛物线方程及其性质（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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【知识必备】
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
常用结论
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；
(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
【题型精讲】
【题型一 抛物线的定义及应用】
方法技巧 处理抛物线定义的技巧
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
例1 （2022·全国·高三专题练习）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）
A．4B．3C．D．
例2 （2022·福建高三期末））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例3 （2022·全国·高三专题练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
【跟踪精练】
1. （2022·全国·高三专题练习）已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（ ）
A．B．C．D．
2. (2022·深圳模拟)是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
3.（2022·全国高三模拟）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．
【题型二 抛物线的方程】
例4 （2022·青岛高三模拟）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
例5（2022·山东日照高三模拟）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，过其焦点作直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点，，，且，则该抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【跟踪精练】
1．（2022·武功县普集高级中学期末）已知直线：与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国高三模拟）双曲线：和抛物线：相交于点，，若的外接圆经过点，则抛物线的方程为（ ）．
A．B．
C．D．
【题型三 抛物线的焦点弦问题】
方法技巧 焦点弦的结论
（1）．
（2）．
（3）．
例6 （2022·全国高三专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．2B．C．D．4
例7 （2022·全国高三专题练习）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A．23B．26C．36D．62
例8 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8)
C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
【题型精练】
1．（2022·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A．B．8C．12D．
2. （2022·全国·模拟预测）若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.
3.（2022·山西太原五中高三期末）（多选）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于，两点，若，则直线l的斜率为（ ）
A．B．2C．D．-2
4.已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（ ）
A．B．C．4D．1
【题型四 直线和抛物线】
方法技巧 直线和抛物线
(1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式．
例9 （2022·湖北模拟）已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【题型精练】
1. （2022·德阳三模）如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.
（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
2. （2022·江西·高三开学考试）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合,直线过点F交抛物线于A、B两点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线交y轴于点M,且,m、n是实数,对于直线,m+n是否为定值?
若是,求出m+n的值；否则,说明理由.
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1