重难点17 等比数列及其前n项和—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

重难点17  等比数列及其前n项和

1.在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.

2.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列．

3.等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外．

4.判定一个数列为等比数列的常见方法

等比数列的基本运算、基本性质，等比数列的证明是考查的热点．高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与数列的计算、证明、等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中低档.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

【解析】∵为等比数列的前n项和，

∴，，成等比数列

∴，

∴，

∴.

故选：A.

2．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则

A．16 B．8 C．4 D．2

【答案】C

【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，

解得，，故选C．

3．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（    ）

A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1

【答案】B

【解析】设等比数列的公比为，

由可得：，

所以，

因此.

故选：B.

4．已知等差数列的公差是，若，，成等比数列，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：因为等差数列的公差为2，且，，成等比数列，

所以，即，

解得 ，

故选：A

5．数列中，，对任意 ，若，则 （ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】在等式中，令，可得，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

，

，则，解得.

故选：C.

6．设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=

A．31 B．32 C．63 D．64

【答案】C

【解析】试题分析：由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．

解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，

所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，

即3，12，S6﹣15成等比数列，

可得122=3（S6﹣15），

解得S6=63

故选C

7．已知等比数列的前3项和为168，，则（    ）

A．14 B．12 C．6 D．3

【答案】D

【解析】解：设等比数列的公比为，

若，则，与题意矛盾，

所以，

则，解得，

所以.

故选：D.

8．已知是等比数列，如果，且，那么的值等于（    ）

A．8 B．16 C．32 D．48

【答案】B

【解析】设等比数列公比为q，则，

代入，得，

所以，.

故选：B.

9．已知为等比数列,,,则（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】或.

由等比数列性质可知

或

故选D.

10．已知等比数列满足，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=，选B.

11．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

A．440 B．330

C．220 D．110

【答案】A

【解析】由题意得，数列如下：

则该数列的前项和为

，

要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，

所以，则，此时，

所以对应满足条件的最小整数，故选A.

12．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：由已知，所以，因为数列的各项均为正，所以，．故选C．

考点：等差数列与等比数列的性质．

二、填空题

13．记为数列的前项和，若，则_____________．

【答案】

【解析】根据，可得，

两式相减得，即，

当时，，解得，

所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列，

所以，故答案是.

14．等比数列的各项均为正数，且，则_____.

【答案】.

【解析】试题分析：由题意知，且数列的各项均为正数，所以，

，

．

15．数列中为的前n项和，若，则_______.

【答案】6

【解析】试题分析：由题意得，因为，即，所以数列构成首项，公比为的等比数列，则，解得．

16．已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：

①的第2项小于3；   ②为等比数列；

③为递减数列；       ④中存在小于的项．

其中所有正确结论的序号是__________．

【答案】①③④

【解析】由题意可知，，，

当时，，可得；

当时，由可得，两式作差可得，

所以，，则，整理可得，

因为，解得，①对；

假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，

所以，，可得，解得，不合乎题意，

故数列不是等比数列，②错；

当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；

假设对任意的，，则，

所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.

故答案为：①③④.

三、解答题

17．等比数列中，．

（1）求的通项公式；

（2）记为的前项和．若，求．

【答案】（1）或 .

（2）.

【解析】（1）设的公比为，由题设得．

由已知得，解得（舍去），或．

故或．

（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．

若，则．由得，解得．

综上，．

18．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.

（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；

（2）求{an}和{bn}的通项公式.

【答案】（1）见解析；（2），．

【解析】(1)由题意可知，，，，

所以，即，

所以数列是首项为、公比为的等比数列，，

因为，

所以，数列是首项、公差为的等差数列，．

(2)由(1)可知，，，

所以，．