2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[湖北专用 人教版九年级上册第二十一章~第二十二章]

这是一份2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[湖北专用 人教版九年级上册第二十一章~第二十二章]，共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，
将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4 ．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十二章．
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每个小题给出的 四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 ．下列函数中是二次函数的是( )
A ．y = x3 + 2x - 1 B ．y = 4x - 7
C ．y = x2 + 4 D ．y = (x +1)2 - x2
2 ．解一元二次方程x2 - 6x - 3 = 0 ，配方后正确的是( )
A ．(x - 3)2 = 12 B ．(x - 3)2 = 5 C ．(x - 3)2 = 4 D ．(x + 3)2 = 12
3 ．关于 x 的一元二次方程 x2 - 3x + 2 = 0 的根的情况是 ( )
A ．没有实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根 D ．有两个不相等的实数根
4 ．对于二次函数y = -x2 + 6x - 5 的图象，下列说法不正确的是( )
A ．开口向下 B ．当x < 3 时，y 随 x 的增大而增大
C ．对称轴是直线x = -3 D ．与y 轴的交点是(0, -5)
5 ．如果关于x 的一元二次方程ax2 + bx +1 = 0 的一个解是x =1 ，则代数式 2023 - 2b - 2a 的值 为( )
A ．2022 B ．2023 C ．2024 D ．2025
6 ．对于二次函数y = x2 + 2mx +1 ，当 x < 4 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围为
( )
A ．m < -4 B ．m ≤ -4 C ．m > -4 D ．m ≥ -4
7．如图，抛物线y = ax2 + c 与 x 轴交于点A，B，与y 轴交于点 C，AC 丄 BC ，则ac 的值为 ( )
A ．-1 B ．-2 C ．1 D ．2
8 ．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为 40 米，宽为 19 米，停车场内车道的 宽度都相等．停车位的占地面积为 352 平方米．设停车场内车道的宽度为 x 米，根据题意， 下列方程正确的是( )
A ．(40 - x)(19 - x) = 352 B ．(40 + x)(19 + x) = 352
C ．(40 - 2x)(19 - 2x) = 352 D ．(40 + 2x)(19 + 2x) = 352
9 ．同一坐标系中，一次函数y = ax +1 与二次函数y = x2 - a 的图象可能是( )
A ． B ． C ． D．
10 ．已知二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(-1, 0) ， 对称轴为直线x = 2 ．对于下列结论：① abc < 0 ；② a + c > -b ；③多项式ax2 + bx + c 可因 式分解为(x +1)(x - 5) ；④当m > -9a 时，关于x 的方程ax2 + bx + c = m 无实数根．其中正确 的个数有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
11 ．二次函数y = 2x2 - 5x -1 的对称轴为直线 ．
12 ．已知 x1 ，x2 是一元二次方程x2 + 4x -1 = 0的两个根，则x1 + x2 - x1x2 = ．
13．关于x 的一元二次方程nx2 - (2n -1)x + n =0 有两个实数根，则n 的取值范围是 ．
14 ．已知二次函数y = x2 - 2x + 3 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2 个单位长度得
到抛物线C ，M (-3, y1 ) ，N(2, y2 ) 在抛物线C 上，则y1 y2 （填“ > ”“ < ”或“= ”）．
15 ．已知抛物线y = ax2 - (a + 2)x - 3 与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点 B ，若 AB = 2 ，则 a = ．
三、解答题（本大题共 9 个小题，第 16-18 题每小题 6 分，第 19-21 题每小题 8 分，第 22 题 10 分，第 23 题 11 分，第 24 题 12 分，共 75 分．解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤）
16 ．解方程
(1) 2x2 - 5x -1 = 0 ．
(2)2x (x - 3) = 5 (x - 3)
17 ．已知二次函数图象的顶点坐标为(1, 4) ，且经过点(4, -5) ．
(1)求该二次函数表达式；
(2)直接写出y 随 x 的增大而减小时 x 的取值范围．
18 ．已知关于x 的一元二次方程mx2 + (2m +1)x + m -1 = 0 有两个不相等的实数根．
(1)求m 的取值范围．
(2)设 x1 ，x2 是方程的两个根且x12 + x22 = 9 ，求 m 的值
19．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上 都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小 时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A 和点B 是 一个柱形喷泉装置OB 上的两个喷头，A 喷头喷出的水流的落地点为C ．以O 为原点，以OC 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不 计）
已知：OA = 1m ，OB = 2m ，OC = 3m ，从 A 喷头和B 喷头各喷出的水流的高度y(m) 与水 平距离x(m) 之间的关系式分别是和
(1)求A 喷头喷出的水流的最大高度；
(2)一名游人站在点D 处，OD = 4m ．当围观游人喊声较大时，B 喷头喷出的水流是否会落 在该游人所站的点D 处？
20 ．综合与实践
主题：将一张长为80cm ，宽为 40cm 的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒．
方案设计：如图①,把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图@所示的有 盖长方体收纳盒，EF 和HG 两边恰好重合且无重叠部分．
任务一：若收纳盒的高为xcm，用 x 的代数式表示收纳盒的底面ABCD 的边BC，AB 的长；
任务二：若收纳盒的底面积为600cm2 ，求该收纳盒的高．
21 ．一名批发商经销某产品，该产品的成本为 20 元/千克，物价部门规定：该产品每千克售 价不得超过 90 元．销售过程中发现该产品的销售量y（千克）与售价 x（元/千克）满足一 次函数关系，对应关系如表：
售价 x（元/千克）
…
50
60
70
80
…
(1)求y 与 x 的函数表达式；
(2)该批发商若要获得 4000 元的利润，应将售价定为多少？
(3)该产品每千克售价为多少元时，该批发商获得的利润 w（元）最大？求最大利润．
22 ．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = ax2 - 3ax - 3a +1(a < 0) 与y 轴交于点 A，过点 A 作AB∥x 轴，与抛物线交于点 B．
(1)若抛物线经过点(-1,0) ；
①求点 B 的坐标；
②当t ≤ x ≤ 6 时，抛物线取得最大值为 ，求 t 的值；
(2)已知点G(1,3) ，H (3,3) ，若抛物线与线段GH 有且只有一个交点（不含端点 G、H），求 a 的取值范围．
23．定义：如果关于x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 有两个实数根，且其中一个根比 另一个根大 1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程是“邻根方程”的是 （填序号）．
(2)若方程x2 + 2x - k +1 = 0是“邻根方程” ，x1, x2 是方程的两根，求：
①请求出 k 的值．
②若点A(x1, x2 ) 是一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 图象上的一点，求一次函数的解析式．
(3)若a(x + m)2 + b = 0(a ，m，b 均为常数，a ≠ 0) 是关于 x 的“邻根方程”，则方程a(x + m +4)2 = -b
是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由．
24 ．如图，已知抛物线y = ax2 + bx + c 的顶点为D(-1, 4) ，抛物线与 x 轴交于 A ，B 两点， 与y 轴交于点 C．
销售量y（千克）
…
100
90
80
70
…
(1)若AB = 4 ，
① 求抛物线表达式；
② E 为抛物线上位于 A 点左侧的一点，F 为 E 关于直线x = -1 的对称点．若S△△EAC ， 求点 E 的坐标；
(2)过点 O 作CD 的平行线与抛物线交于 M，N 两点，直线DM , DN 分别与y 轴交于 P ，Q 两 点，若OP . OQ = 8，求 a 的值．
1 ．C
【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)，这样的函数叫做二次 函数进行判断即可．
【详解】解：A、最高次数为 3，不是二次函数，不符合题意；
B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
C、是二次函数，符合题意；
D、原函数化简为：y = 2x +1是一次函数，不是二次函数，不符合题意； 故选 C．
2 ．A
【分析】本题考查配方法解方程， 先将x2 - 6x - 3 = 0 配方，再进行判断即可．解题的关键是 掌握用配方法解一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一般步骤：①将常数项移至方程的右 边，然后化二次项系数为1（ 当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数）；② 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为a (x ± m)2 = n (a ≠ 0) 的 形式，再用直接开平方的方法解方程．
【详解】解：x2 - 6x - 3 = 0 ， 移项，得：x2 - 6x = 3 ，
配方，得 即x2 - 6x + 32 = 3 + 32 ， : (x - 3)2 = 12 ．
故选：A．
3 ．D
【分析】先确定方程中 a 、b 、c 的值，再计算根的判别式 Δ = b2 - 4ac ，根据 Δ 与0 的大小 关系来判断即可．本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式
Δ = b2 - 4ac 及根据其值判断根的情况是解题的关键．
【详解】解：方程x2 - 3x + 2 = 0 中，a = 1 ，b = -3 ，c = 2 Δ = (-3)2 - 4× 1 × 2
= 9 - 8
= 1，
Q Δ = 1 > 0
:方程有两个不相等的实数根 故选：D ．
4 ．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．
根据二次函数的一般式，通过配方化为顶点式，确定开口方向、对称轴、顶点坐标及与y 轴 的交点，进而判断各选项的正确性．
【详解】解：A、二次项系数为 -1，故开口向下，选项 A 正确．
B 、y = -x2 + 6x - 5
= - (x2 - 6x )- 5
= - (x2 - 6x + 9 - 9)- 5
= -(x - 3)2 + 4
:开口向下，对称轴为直线x = 3 ，
: 当x < 3 时，y 随x 的增大而增大，选项 B 正确．
C、由 B 知，对称轴为直线x =3 ，故选项 C 错误．
D、令 x =0 ，得 y = - 5 ，故与y 轴交点为(0, -5)，选项 D 正确． 故选：C．
5 ．D
【分析】根据题意，x = 1 是方程ax2 + bx +1 = 0 的解，得a + b +1 = 0 ，化简代入计算即可． 本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键．
【详解】解：: x =1 是方程ax2 + bx +1 = 0 的解，
: a + b +1 = 0 ， : a + b = -1，
:2023 - 2b - 2a = 2023 - 2 (a + b) = 2025 ， 故选：D．
6 ．B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质 ．先确定抛物线的对称轴为直线x = -m ，根据二 次函数的性质得当x < -m时，y 随x 的增大而减小，所以对称轴不能在直线x = 4 的左边，即
可求解．
【详解】解：∵二次函数y = x2 + 2mx +1 ，
:对称轴为直线 抛物线开口向上， :当x < -m时， y 随x 的增大而减小，
∵ x < 4 时，y 随x 的增大而减小，
:-m ≥ 4 ，解得：m ≤ -4 ， 故：B．
7 ．A
【分析】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数的性质，先解方程ax2 + c = 0得
B (èç, 0 ，再计算自变量为 0 对应的函数值得到C(0, c)，接着证明 △ABC 为等腰直角三角形，所以OC = OB ，即 ，然后把等式两边平方可得 ac = -1．
【详解】解：由图可得，抛物线的开口向上，与 y 轴的负半轴相交， : a > 0 ， c < 0 ，
当y = 0 时，ax2 + c = 0 ，
解得
当x = 0 时，y = ax2 + c = c ，
: C (0, c)，
∵ AC 丄 BC ，
: ÐACB = 90。，
: △ABC 为等腰直角三角形，
: OC = OB ， 即 ， 整理，得
2
ac = -c ,
∵ c ≠ 0
: ac = -1．
故选：A．
8 ．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得停车位可合成长为(40 - x)米，宽为 (19 - x ) 米的长方形，即可列出关于x 的一元二次方程，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：∵停车场的长为 40 米，宽为 19 米，且停车场内车道的宽度为 x 米， :停车位可合成长为(40 - x)米，宽为(19 - x ) 米的长方形，
:由题意可得：(40 - x)(19 - x) = 352 ， 故选：A．
9 ．A
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，根据一次函数和二次函数的解析式 可得一次函数与y 轴的交点为(0,1) ，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象，掌 握相关知识是解题的关键．
【详解】解：当 a < 0 时，二次函数顶点在y 轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限， 当a > 0 时，二次函数顶点在y 轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限，
:符合题意的是A 选项， 故选：A ．
10 ．C
【分析】根据抛物线的对称性， 抛物线与 x 轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增 减性等解答即可．
本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物 线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数y = ax2 + bx + c 开口向下， : a0 ；
∵对称轴为直线x = 2 ，
,
: b = -4a>0 : abc < 0 ,
故①正确；
根据抛物线的图象得，直线x =1 与抛物线的交点在第一象限，
: a + b + c>0 ，
: a + c > -b , 故②正确；
设抛物线与 x 轴的另一个交点为(x0 , 0)， ∵抛物线的对称轴为直线x = 2 ，
解得x0 = 5 ，
故ax2 + bx + c = 0的两个根分别是-1，5 ，
故多项式ax2 + bx + c 可因式分解为a (x +1)(x - 5) ， 故③不正确；
根据题意，得b = -4a ，a - b + c = 0 即c = b - a = -5a ，
根据题意，当x =2 时，抛物线有最大值，且为y = 4a - 8a - 5a = -9a ， 故当m > -9a 时，在抛物线顶点的上方，
故关于x 的方程ax2 + bx + c = m 无实数根．
故④正确；
故选：C．
11 ．
【分析】本题主要考查二次函数的对称轴，根据对称轴的定义即可求得． 【详解】解：由二次函数 y = 2x2 - 5x -1 得，a = 2 ，b = -5 ，
则对称轴为直线
故答案为： ．
12 ．-3
【分析】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得x1 + x2 = -4 ，
x1 . x2 = -1，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵ x1 ，x2 是一元二次方程x2 + 4x -1 = 0的两个根， : x1 + x2 = -4 ，x1 . x2 = -1，
: x1 + x2 - x1x2 = -4 - (-1) = -4 +1= -3 ．
故答案为：-3 ．
13 ． 且n ≠ 0 ．
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据题意可得 Δ = - (2n -1)2 - 4n2 ≥ 0 ， 且n ≠ 0 ，求解即可．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程nx2 - (2n -1)x + n =0 有两个实数根， : Δ = - (2n -1)2 - 4n2 ≥ 0 ，且 n ≠ 0 ，
: n ≤ 且n ≠ 0 ．
故答案为 且n ≠ 0 ．
14 ．>
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质， 由平移的规律可得出抛 物线C 的解析式为y= x2 ，再利用二次函数图象的性质可得出答案．
【详解】解：y = x2 - 2x + 3 = (x -1)2 + 2 ，
∵二次函数y = x2 - 2x + 3 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2 个单位长度得到抛物 线C ，
:抛物线C 的解析式为y= x2 ，
:抛物线开口向上，对称轴为y 轴，
:当x > 0 时，y 随 x 的增大而增大，
: M (-3, y1 ) 关于y 轴对称的点为(3, y1 )
: 2 < 3 ， : y1 > y2 ，
故答案为：> ．
15 ．2 或-
【分析】本题主要考查二次函数与y 轴得交点，二次函数对称轴和两点之间的距离，熟练掌 握二次函数基本性质是解决本题的关键．
根据表达式求出 A 点坐标再根据AB 平行于 x 轴， AB = 2 可得 B 点坐标为(2, -3) 或(-2, -3) ，
再根据对称轴 即可求出答案．
【详解】解：: y = ax2 - (a + 2)x - 3 ， :当x = 0 时，y= - 3 ，
:A 点坐标(0, -3)，
又: AB = 2 ，直线 AB 平行 x 轴 :B 点坐标为(2, -3) 或(-2, -3) ，
:抛物线y = ax2 - (a + 2)x - 3 的对称轴为直线x = - ，
解得，a = 2 或 故答案为
【分析】本题考查了解一元二次方程：
（1）运用配方法进行解一元二次方程，即可作答．
（2）先移项，再提公因式，得(2x - 5)(x - 3) = 0 ，令每个因式为 0，即可作答． 【详解】（1）解：∵ 2x2 - 5x -1 = 0
x2 - x + (çè ö,÷2 = + çè( ö,÷2 即(çè x - 2 =
解得
（2）解：2x (x - 3) = 5 (x - 3)
2x (x - 3) - 5(x - 3) = 0 (2x - 5)(x - 3) = 0
则2x - 5 = 0 或x - 3 = 0
解得
17 ．(1) y = - (x -1)2 + 4 ；
(2) x > 1
【分析】主要考查的是二次函数的性质，求二次函数解析式．
（1）把(4, -5) 代入y = a (x -1)2 + 4 中求出 a 即可得到抛物线解析式；
（2）根据抛物线的对称轴 x =1 即可得到结论；
【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标为(1, 4) ， :设二次函数表达式为y = a (x -1)2 + 4 ，
把(4, -5) 代入y = a (x -1)2 + 4 ，
得a (4 -1)2 + 4 = -5 ， 解得a = -1 ，
所以二次函数表达式为y = - (x -1)2 + 4 ；
（2）∵ a = -1< 0 ，抛物线的开口向下， 抛物线的对称轴为x = 1 ，
:当y 随 x 的增大而减小时 x 的取值范围x > 1 ．
(2)1
【分析】（1）根据题意得 求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得x1 + x2 = - ，x1 . x2 = ，再将x12 + x22 = 9 化为(x1 + x2 )2 - 2x1 . x2 = 9 ，继而得到关于m 的分式方程，求解后并结合（1）的结论即可得 到符合题意的m 的值．
【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程mx2 + (2m +1)x + m -1 = 0 有两个不相等的实数根，
解得： 且m ≠ 0 ，
: m 的取值范围为 且m ≠ 0 ；
（2）∵ x1 ，x2 是一元二次方程mx2 + (2m +1)x + m -1 = 0 的两个根，
∵ x12 + x22 = 9 ，
: (x1 + x2 )2 - 2x1 . x2 = 9 ，
整理，得：7m2 - 6m -1 = 0 ， 解得
经检验，m1 = - ，m2 = 1 都是方程①的解，
则m = - 不符合题意，舍去， : m = 1，
即m 的值为1．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数 的关系，分式方程的应用，解题的关键是掌握：若x1，x2 是一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根，则 式子 Δ = b2 - 4ac 是一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 根的判别式， Δ > 0 Û 方程有两个不等的实数根； Δ = 0 Û 方程有两个相等的实数根；
Δ < 0 Û 方程无实数根．
19 ．
(2)不会
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键．
（1）根据 A 喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出y 的最大值即可；
（2）根据 B 喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令x = 4 ，通过计算y 的值即可 判断．
【详解】（1）解：∵ OA = 1m ，OB = 2m ，OC = 3m ，从 A 喷头和B 喷头各喷出的水流的高 度y(m) 与水平距离x(m) 之间的关系式分别是和
: A (0,1) , B (0, 2) ，C (3, 0)
令x = 0 ，易得c = 1, c¢ = 2 ，
令x = 3 ，得 可求得 ，
因此 A 喷头和B 喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离 x（m）之间的关系式分别是
函数 1 的对称轴为直线
因此 A 喷头喷出的水流的最大高度是 m ；
（2）解：依题意，函数
令x = 4 ，得
因此 B 喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点 D 处．
20 ．任务一：BC 的长为(40 - 2x ) cm ，AB 的长为(40 - x ) cm ；任务二：该收纳盒的高为 10cm
【分析】本题考查了一元二次方程的应用， 任务一：根据图①分别列出代数式即可；
任务二：设该收纳盒的高为xcm，则BC = (40 - 2x)cm ，AB = (40 - x)cm ，根据收纳盒的底 面积为600cm2 ，列出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：任务一：Q长方形硬纸板的长为80cm ，宽为 40cm ，收纳盒的高为 xcm ，
答：收纳盒的底面ABCD 的边BC 的长为(40 - 2x)cm ，AB 的长为(40 - x)cm ； 任务二：设该收纳盒的高为xcm ，则BC = (40 - 2x)cm ，AB = (40 - x)cm ，
根据题意得：(40 - x)(40 - 2x) = 600 ，
整理得：x2 - 60x + 500 = 0 ，
解得：x1 = 10 ，x2 = 50( 不符合题意，舍去)．
答：该收纳盒的高为10cm ．
21 ．(1)y = -x + 150
(2)应将售价定为70 元
(3)该产品每千克售价为85 元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为4225 元
【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，解答本题的关 键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法．
（1）根据图表中的各数可得出y 与x 成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y 与x 的关 系式．
（2）根据想获得 4000 元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润 w （元) = 售量× 每千克利润可表示出w 与x 之间的函数表达 式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．
【详解】（1）解：设y 与x 的函数关系式为y = kx + b ，把(50,100) 、(60, 90) 代入得，
解得
∴ y 与x 的函数关系式为y = -x + 150 ；
（2）解：根据题意得，(-x +150)(x - 20) = 4000 ， 解得x1 = 70 ，x2 = 100 > 90 （不合题意，舍去），
答：该批发商若想获得4000 元的利润，应将售价定为70 元；
（3）解：由题意得，w = (-x +150)(x - 20)
= -x2 + 170x - 3000
= -(x - 85)2 + 4225 ，
Q -1< 0 ，
: 当x =85 时，w 值最大，w 最大值是4225．
答：该产品每千克售价为85 元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为4225 元．
【分析】（1）①先求出y = -x2 + 3x + 4 ，当 y = 4 时，即y = -x2 + 3x + 4 = 4 ，可解得 B (3, 4) ；
②先由 的抛物线开口向下，顶点坐标为 再分两 种情况讨论求解即可；
（2）求出抛物线的对称轴为 顶点为 ，再抛物线与线段GH 有且只有一 个交点，分两种情况讨论：当抛物线y = ax2 - 3ax - 3a +1 的顶点在线段GH 上时，即：
；当抛物线顶点落在GH 上方时，当x =1 时，y = a - 3a - 3a +1= -5a +1，当x = 3 时，y = 9a - 9a - 3a +1 = -3a +1，进而得 -5a +1 > -3a +1，由抛物线 y = ax2 - 3ax - 3a +1 与 线段GH 有且只有一个交点（不含端点 G、H），得与线段GH 有且只有一个点，一定在对称
+1 > 3
+1< 3
ì-5a
l-3a
轴右侧，进而得 í
,解不等式即可得解．
【详解】（1）解：①∵抛物线y = ax2 - 3ax - 3a +1(a < 0) 过点(-1, 0) : a + 3a - 3a +1 = 0 ，
: a = -1 ，
:抛物线解析式为：y = -x2 + 3x + 4 ，
∵抛物线y = -x2 + 3x + 4 与y 轴交于点A ， :令x = 0 ，则 y = -02 + 3× 0 + 4 = 4 ，
:点 A 坐标为(0, 4) ，
∵过点A 作AB∥x 轴，与抛物线交于点B 当y = 4 时，即y = -x2 + 3x + 4 = 4 ，
即-x2 + 3x = x (3 - x) = 0
: x1 = 0 ，x2 = 3 ， : B (3, 4) ，
:抛物线开口向下，顶点坐标为 分以下两种情况讨论：
Ⅰ . 当t > 时，在对称轴右侧，y 随 x 增大而减小， : x = t 时 为最大值，
即
解得 或
Ⅱ . 当 时，则在 中 的最大值为 ，不合题意，
综上所述，t 的值为 ；
（2）解：依题意，抛物线 y = ax2 - 3ax - 3a +1
:抛物线的对称轴为 顶点为
:抛物线y = ax2 - 3ax - 3a +1 与线段GH 有且只有一个交点（不含端点 G 、H）， :分以下两种情况讨论：
Ⅰ . 当抛物线y = ax2 - 3ax - 3a +1 的顶点在线段GH 上时
即： : 4 - 21a = 12
解得
Ⅱ . 当抛物线顶点落在GH 上方时，
当x = 1 时，y = a - 3a - 3a +1 = -5a +1 ， 当x = 3 时，y = 9a - 9a - 3a +1 = -3a +1， : a < 0 ，对称轴为
:-5a +1 > -3a +1，
:抛物线y = ax2 - 3ax - 3a +1 与线段GH 有且只有一个交点（不含端点 G 、H）， :与线段GH 有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，
: í ,
ì-5a +1 > 3
l-3a +1< 3
解得：
综上，a 的取值范围是 或
【点睛】本题考查二次函数的综合应用， 涉及到待定系数法求函数解析式，抛物线与线段的 交点，解不等式组，综合性强，正确的求出函数解析式，利用分类讨论的思想，进行求解是 解题的关键．
23 ．(1)②④
【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“邻根方程”的定 义是解此题的关键；
（1）分别求得①②③④中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k 的方程求解即可；②利用
x1 - x2 = 1 ，x1 + x2 = -2 求得 x1 ，x2 ，分两种情况，代入 y = kx + b 即可求得b 的值；
（3）解方程a(x + m)2 + b = 0(a ，m ，b 均为常数，a ≠ 0) 求得两个根，由“邻根方程”的定义计 算得出2 = 1，即 = ，解 计算两个根的差即可判断方程
a(x + m +4)2 = -b 是“邻根方程” ，进一步代入 即可求得方程的根．
【详解】（1）解：①解方程x2 + x = 6 得x1 = 2 ，x2 = -3 ，
Qx1 - x2 = 2 - (-3) = 5 ，
:方程x2 + x = 6 不是“邻根方程”；
②解方程x2 + 3x + 2 = 0 得x1 = -1 ，x2 = -2 ，
Q x1 - x2 = -1 - (-2) = 1，
:方程x2 + 3x + 2 = 0 是“邻根方程”；

:方程 不是“邻根方程”；
④解方程x2 - 5x = -6 得x1 = 3 ，x2 = 2 ，
Qx1 - x2 = 3 - 2 = 1，
:方程x2 - 5x = -6 是“邻根方程”． 故答案为：②④.
（2）解：① Q方程x2 + 2x - k +1 = 0是“邻根方程” ， x1 、x2 是方程的两根，
:x1 + x2 = -2 ，x1x2 = -k +1 ，x1 - x2 = 1，
Q (x1 - x2 )2 = (x1 + x2 )2 - 4x1x2 ，
:12 = (-2)2 - 4(-k + 1) ， 解得k = ；
② Q方程x2 + 2x - k +1 = 0是“邻根方程” ， x1 、x2 是方程的两根， :x1 - x2 = 1 ，x1 + x2 = -2 ，
解得
Q 点A(x1, x2 ) 是一次函数y = kx + b(k ≠ 0) 图象上的一点，
: 一次函数的解析式为
Q 点A(x1, x2 ) 是一次函数y = kx + b(k ≠ 0) 图象上的一点，
1 1
: 一次函数的解析式为y = x - ；
4 8
故一次函数的解析式为 或
（3）解：由题意可知，方程a(x + m)2 + b = 0(a ，m ，b 均为常数，a ≠ 0) 有两个实数根，
Qa(x + m)2 + b = 0(a ，m ，b 均为常数，a ≠ 0) 是关于x 的“邻根方程”，
Qa(x + m + 4)2 = -b ，
:方程a(x + m +4)2 = -b 是“邻根方程”
:方程a(x + m +4)2 = -b 的根为x = -m - 或x = -m - ．
24 ．(1) ① y = -x2 - 2x + 3 ； ② (-5, -12)
(2) 4 ± 2
【分析】（1）①由题意可得抛物线对称轴为直线x = -1 ，再由AB = 4 ，可得点 A、B 的坐标， 即可求解；②过点 E、F 分别作AC 的平行线分别交y 轴于点M 、N，求出直线 AC 的表达 式，设点E(m, -m2 - 2m + 3)，则点F(-2 - m, -m2 - 2m + 3)，过点 E 作EM ∥ AC 交y 轴于 点 M，作 FN Ⅱ AC 交y 轴于点 N，求出直线 EM 的表达式，可得点M(0, -m2 - 3m + 3)，同 理点N(0, -m2 - m + 5) ，然后根据S△△EAC ，可得5CN = 9CM，可得到关于 m 的方程， 即可求解；
（2）设点M(m, am2 + 2am + a + 4) ，点N(n, an2 + 2an + a + 4) ，则m + n = -1, mn = ，再 求出直线DM 的表达式，可得点P(0, am + a + 4) ，同理可得点Q(0, an + a + 4) ，然后根据 OP . OQ = 8，可得 a2mn + a (m + n)(a + 4) + (a + 4)2 = 8 ，即可求解．
【详解】（1）解：①:抛物线y = ax2 + bx + c 的顶点为D(-1, 4) ， : y = a (x +1)2 + 4 = ax2 + 2ax + a + 4 ，抛物线对称轴为直线 x = -1 ， : AB = 4 ，
:点A 、B 的坐标分别为(-3, 0)、(1, 0) ，
∴抛物线的解析式为y = a (x + 3)(x -1) ，
将点 D 的坐标代入上式得4= a (-1+ 3)(-1-1) ， 解得：a = -1 ，
则抛物线的表达式为y = -x2 - 2x + 3 ；
②过点 E、F 分别作AC 的平行线分别交y 轴于点MN ， 当 x = 0 时， y = 3 ，
∴点C(0, 3)，
设直线AC 的解析式为y = kx + b1 ， 把点C(0, 3) ，A (-3, 0) 代入得：
解得： ， ∴直线AC 的表达式为y = x + 3 ，
设点E(m, -m2 - 2m + 3)，则点F(-2 - m, -m2 - 2m + 3)，
过点 E 作EM ∥ AC 交y 轴于点 M，作 FN Ⅱ AC 交y 轴于点 N，
∴可设直线EM 的表达式为y = x + b2 ， 把点E(m, -m2 - 2m + 3) 代入得：
- m2 - 2m+ 3 = m+ b2 ，解得： b2 = - m2 - 3m+ 3， ∴直线EM 的表达式为：y = x - m2 - 3m + 3 ，
当x = 0 时，y = - m2 - 3m+ 3， :点M (0, -m2 - 3m + 3)，
同理点N(0, -m2 - m + 5) ，
: 5CN = 9CM，
即5(3 + m2 + m - 5) = 9 (3 + m2 + 3m - 3)， 解得： 或-5 ，
即点E(-5, -12) ；
（2）解：由题意得：y = a (x +1)2 + 4 = ax2 + 2ax + a + 4 ， 令 x = 0 ，则 y = a + 4
: C (0，a + 4) , : D (-1，4)
:直线CD 解析式为y = ax + a + 4 ,
:直线MN 经过点O，且与直线CD 平行， :直线MN 解析式为y = ax ，
设点M (m, am2 + 2am + a + 4)，点N(n, an2 + 2an + a + 4)， :m 、n 是方程ax2 + 2ax + a + 4 = ax
同理（1）直线 DM 的表达式为：y = (am + a )(x +1) + 4 ， :点P(0, am + a + 4) ，
同理可得，点Q(0, an + a + 4) ，
∵ OP . OQ = 8，
: (am + a + 4)× (an + a + 4) = 8 ，
即a2mn + a (m + n)(a + 4) + (a + 4)2 = 8 ，
即(a + 4) = 8 ，
解得：
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要 会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度， 从而求出线段之间的关系