2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[河北专用 人教版九上21~22章：一元二次方程 二次函数]

这是一份2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[河北专用 人教版九上21~22章：一元二次方程 二次函数]，共43页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考卷
（考试时间：60 分钟 试卷满分：100 分）
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置 上．
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，
将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4 ．测试范围：人教版九年级数学上册第 21-22 章（一元二次方程+二次函数）．
一、单选题
1 ．把方程x2 + 2x = 5x - 2化成一般式，则a ，b ，c 的值分别是( )
A ．1 ，-3 ，-2 B ．1 ，7 ，-2
C ．1 ，-5 ，2 D ．1 ，-3 ，2
2 ．观察下列表格，一元二次方程x2 - 3x = 4.6 的一个近似解为()
A ．-1.123 B ．-1.117 C ．-1.089 D ．-1.073
3 ．将抛物线y = 2 (x -1)2 + 3 先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的 新抛物线的表达式为( )
A ．y = 2(x + 1)2 + 2 B ．y = 2(x - 3)2 + 4
C ．y = 2(x + 1)2 + 4 D ．y = 2(x - 3)2 + 2
4 ．已知关于x 的一元二次方程-x2 + 4ax + 4 = 0 ，以下不正确的是( )
A ．此方程必有实数根 B ．若方程有一个根为2 ，则另一个根为-2
C ．两根之积为-4 D ．两根之和为-4
5．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有 36 人患了流感，设每轮传染中平均一个人传 染了 x 个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是( )
x
-1.13
-1.12
-1.11
-1.10
-1.09
-1.08
-1.07
x2 - 3x
4.67
4.61
4.56
4.51
4.46
4.41
4.36
甲：第 1 轮后有(x +1) 个人患了流感；乙：第 2 轮又增加x (x +1) 个人患流感；丙：依题意 可列方程1+ x + x2 = 36
A ．甲错，丙对 B ．甲对，乙错 C ．甲对，丙错 D ．乙和丙都对
6 ．已知 x1 ，x2 是关于x 的一元二次方程x2 - mx + 3m - 2 = 0 的两个实数解，若x + x = 11 ，
则m 的值为( )
A ．-1 B ．7 C ．-1或 7 D ．-3 或 7
7 ．如图 1 所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马 A 离入口的距离y
（单位：dm ）与旋转时间 x（单位：s）之间的关系如图 2 所示．下列说法错误的是( )
..
A ．旋转木马转一圈需要60s
B ．当x =30s 时，小明与入口的距离为42dm
C ．小明与入口的距离为38dm 时，旋转木马恰好转了80s
D ．当x < 30s 时，y 随 x 的增大而增大
8 ．二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 图象的一部分如图所示，给出下列命题：① abc < 0 ；② 2a + b = 0 ；③3a + c = 0 ；④ m(am + b) ≥ a - b （ m 为任意实数）；⑤4ac - b2 < 0 ．其中正确 的命题有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
9 ．如图，在平面直角坐标系中，点A(2, 4) 在抛物线y = ax2 上，过点A 作y 轴的垂线，交抛 物线另一侧于点B ，点 C ，D 在线段AB 上，且关于y 轴对称，分别过点C ，D 作x 轴的垂 线交抛物线于E ，F 两点，则四边形CDFE 周长的最大值为( )
A ．8 B ．10 C ． D ．
10 ．如图，在 △ABC 中，上C = 90° , AC = 4cm ，BC = 3cm ，一动点P 从点C 出发沿着CB 方向以1cm / s 的速度运动，另一动点Q 从点A 出发沿着AC 边以1cm / s 的速度运动，P ，Q
两点同时出发，运动时间为 ．当 时，t = ( )
A ． B ．
C ． s 或 s D ． 或 s
11 ．某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时，到达最大高度4m ，篮圈距地
面3m ，设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立的平面直角坐标系 ．有下列结论：①抛 物线的解析时为 ②此球不能投中；③若对方队员乙在甲前面1m 处跳起
盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，则他能成功拦截．其中正确的个数是( )
A ．3 B ．2 C ． 1 D ．0
12 ．小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式2x2 - 4x + 6 的值的情况他们做了如下分 工：小聪负责找值为 0 时 x 的值，小明负责找值为 4 时 x 的值，小伶负责找最小值，小明负 责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是( )
（1）小聪认为找不到实数 x，使 2x2 - 4x + 6 得值为0；
（2）小明认为只有当 x =1 时，2x2 - 4x + 6 的值为 4；
（3）小伶发现 2x2 - 4x + 6 没有最小值；
（4）小刚发现 2x2 - 4x + 6 没有最大值．
A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（3）（4）
第二部分（非选择题 共 76 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分）
13 ．已知 m 是方程2x2 - x -1 = 0 的根，则代数式2022 - 6m2 + 3m 的值为 ．
14 ．2022 版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已 纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地， 长36m， 宽24m ，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如 果种植区的总面积为805m2 ，则所修道路的宽为 m ．
15 ．在平面直角坐标系中，二次函数y = ax2 的图像如图所示，小明在该直角坐标系中又画 了二次函数y1 = bx2 ，y2 = cx2 ，y3 = dx2 的图像，则 a ，b ，c ，d 的大小关系 ．
16．直线y = 3kx + 2 (k -1) 与抛物线y = x2 + 2kx - 2 在-1 ≤ x ≤ 3 范围内有唯一公共点，则k 的 取值范围为 ．
三、解答题（本大题共 8 小题，满分 64 分．解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤）
17 ．解方程
(1) (2x - 1)2 - 9x2 = 0
(2) x2 - 2x - 6 = 0 （用配方法）
18 ．抛物线y = (x - 1) (x - a ) 的对称轴为直线x = 2 ．
(1)求 a 的值；
(2)向下平移该抛物线，使得到的抛物线经过原点，求平移后得到的抛物线的表达式．
19 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 + 2x + 2m - 3 = 0有两个不相等实数根．
(1)求 m 的取值范围；
(2)若x = -2 是该方程的一个根，求 m 的值及该方程的另一个根．
20 ．如图，点A(-2,1) 、B (4, m) 在y = ax2 的图象上．直线AB 与y 轴交于点C ，连接 OA 、 OB ．
(1) a = _______ ；m = _______；
(2)求直线AB 的函数表达式；
(3)求△AOB 的面积；
(4)观察图象，直接写出当-2 ≤ x ≤ 4 时，y 的取值范围．
21 ．二次函数y = ax2 + bx + c 图象上部分点的横纵坐标 x，y 的对应值如表：
(1)这个二次函数的表达式为______，对称轴是______；
(2)表中的m = ______ ；n = ______；
(3)若P(x1, y1 ) ，Q (x2, y2 ) 是这个函数图象上的两点，且x1 < x2 < -1，则 y1 ______ y2 （填 “ > ”或“= ”或“ < ”）．
22．2025 年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型 参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如
意”，在市场上一度走红．
(1)某商店销售 A，B 两款“巳升升”吉祥物，已知A 款吉祥物的单价比B 款吉祥物的单价高 20 元，若顾客花 800 元购买A 款吉祥物的数量与花 600 元购买B 款吉祥物的数量相同，则 A， B 两款吉祥物的单价分别是多少元？
(2)若A 款吉祥物的进价为每件 60 元，经市场调查发现，当售价定为每件 100 元，则每天能 销售A 款吉祥物 20 件，而售价每降价 1 元，每天可多售出A 款吉祥物 2 件，为了推广宣传， 商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利 1200 元，则A 款吉祥物售价 应降低多少元？
23 ．如图，抛物线y = -x2 + bx + c 与x 轴交于A(1,0) ，B 两点，与y 轴交于点C(0,5) ．P 是 抛物线上的任意一点（不与点C 重合），点P 的横坐标为m ，抛物线上点C 与点P 之间的部 分（包含端点）记为图象G ．
x
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
m
…
y
…
-19
-12
-7
-4
-3
-4
-7
n
-19
…
(1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标；
(2)当m 符合什么条件时，图象G 的最大值与最小值的差为 4？
(3)将线段AB 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，得到线段A¢B¢ . 若抛物 线y = -x2 + bx + c 平移后与线段A¢B¢ 有两个交点，且这两个交点恰好将线段A¢B¢ 三等分，求
抛物线平移的最短路程；
(4)当m < 0 时，若图象G 与平行于x 轴的直线y= -2m + 3 有且只有一个公共点，直接写出m 的取值范围．
24．大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．琪琪家计划在自家菜地修建一个蔬菜大 棚，图 1 是其横截面的示意图，其中AB, CD 为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水 平距离为 8 米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，建立如图 1 所示的平面直角坐标 系，已知骨架的一端固定在离地面 4 米的墙体 A 处，另一端固定在墙体 D 处，骨架最高点 P 到墙体AB 的水平距离为 2 米，且点 P 离地面的高度为4.25 米．
(1)求该抛物线的解析式，并写出点 D 坐标；
(2)写出直线AD 的解析式；
(3)为了大棚顶部更加稳固，琪琪爸爸计划在棚顶安装铝合金支架，如图 2 所示，支架可以 看成是由线段AD, EF, GH 三部分组成，其中点 E，G 在顶棚抛物线形骨架上，
EF ∥ AB, GH ∥ AB ，分别交 AD 于点 F、H，且 EF = GH （EF 在左侧）．当 F、H 间的水 平距离为 3 米时，求EF 的长；
(4)为了节约成本，支架调整为线段AD, EF 两部分组成，如图 3 所示，直．接．写．出．求做这一个 支架所需铝合金材料的最大长度．
1 ．D
【分析】根据一元二次方程的一般形式为ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ，其中+bx 叫做一次项，+b 叫作一次项系数，解答即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 及其相关概念，熟练掌握定义是 解题的关键．
【详解】解：由 x2 + 2x = 5x - 2 ， 得x2 - 3x + 2 = 0 ，
∴ a ，b ，c 的值分别是1 ，-3 ，2 ， 故选：D．
2 ．B
【分析】先明确方程x2 - 3x = 4.6 ，通过表格找x2 - 3x 的值接近4.6 时对应的x ，利用函数的 增减性确定近似解．本题主要考查利用表格数据估算一元二次方程的近似解，熟练掌握函数 值与自变量的对应关系及通过数据趋势判断近似解是解题关键．
【详解】解：观察表格：
当x = -1.13 时，y = 4.67 ；当 x = -1.12 时，y = 4.61 ；当 x = -1.11 时，y = 4.56 ， Q4.61更接近4.6 ，
:x = -1.12 时x2 - 3x 的值更接近4.6 ，且x 在-1.13 到-1.11 逐渐增大时，x2 - 3x 逐渐减小 （由表格数据可知）， 4.6 介于4.61 （x = -1.12 ）和 4.67 （ x = -1.13 ）之间，更靠近 4.61， ∴近似解在-1.12 附近，
对比选项，-1.117 最接近-1.12 ， 故选：B ．
3 ．A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题， 先把原抛物线解析式化为顶点式，再根 据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：将抛物线y = 2 (x -1)2 + 3 先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度， 得到的新抛物线的函数表达式为y = 2 (x -1+ 2)2 + 3 -1 ，即 y = 2(x +1)2 + 2 ，
故选：A．
4 ．D
【分析】本题考查了根与系数的关系。根的判别式和一元二次方程的解，解题的关键是熟练 掌握一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系．
先把二次项系数化为正系数，计算根的判别式的值，结合根与系数的关系，对各选项进行分 析判断即可．
【详解】解：方程化为 x2 - 4ax - 4 = 0 ， ∵ Δ = (-4a )2 - 4× (-4) = 16a2 +16＞0 ， :方程有两个不相等的实数解，
∴选项A 的说法正确，不符合题意； ∵方程的两根之积为-4 ，
:若方程有一个根为2 ，则另一个根为-2 ， :选项B 、选项C 的说法正确，不符合题意； ∵方程的两根之和为4a ，
:选项D 的说法不正确，符合题意， 故选：D ．
5 ．C
【分析】本题考查了列代数式及一元二次方程的应用，掌握等量关系是解答本题的关键，根 据题意逐个计算出每轮感染人数，共感染人数即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，
甲：第 1 轮后，1 个人传染了 x 人，共有(x +1) 个人患了流感，故正确；
乙：第 2 轮后，(x +1) 个人中每人传染了 x 人，增加x (x +1) 个人患流感，故正确； 丙：2 轮后，共有(x +1) + x (x +1) = (x +1)2 人患流感，由题意得方程(x +1)2 = 36 ，即 x2 + 2x +1 = 36 ，故错误．
故选：C．
6 ．A
【分析】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式， 掌握两根之和、两根之积与方程系数 的关系是解题的关键．
由根与系数的关系可用m 表示出两根之和与两根之积，代入已知条件可得到关于m 的方程， 即可求得m 的值．由方程根的情况，根据判别式可求得符合要求的m ；
【详解】解：∵方程的两个实数根分别为x1 和x2 ，
:x1 + x2 = m, x1x2 = 3m - 2 ，
:x + x = (x1 + x2 )2 - 2x1x2 = m2 - 2(3m - 2) = m2 - 6m + 4 ，
:m2 - 6m + 4 = 11，
:m = 7 或m = -1，
∵关于x 的一元二次方程x2 - mx + 3m - 2 = 0 有两个实数根， :Δ = m2 - 4× (3m - 2) = m2 -12m + 8 ≥ 0 ，
当m = 7 时， Δ = m2 -12m + 8 = -27 < 0 ，不符合要求， :m = -1 ，
故选：A．
7 ．C
【分析】本题考查了二次函数的图象性质， 函数图象，认真分析图象，理解纵横坐标的意义 是解题的关键，因为如图 1 所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马 A 离入口的距离y（单位：dm ）与旋转时间 x（单位：s）之间的关系如图 2 所示，所以得出 图象的每一次循环需要的时间是60s ，当x =30s 时，小明与入口的距离为42dm ，当x < 30s 时，y 随 x 的增大而增大，即可作答．
【详解】解：A、观察图 2，图象的每一次循环需要的时间是60s ，则旋转木马转一圈需要 60s ，故该选项不符合题意；
B、观察图 2 的图象，当x =30s 时，小明与入口的距离为42dm，故该选项不符合题意；
C、观察图 2 的图象，当小明与入口的距离为38dm 时，旋转木马不一定转了80s （如下图所 示），故该选项符合题意；
D、观察图 2 的图象，当x < 30s 时，y 随 x 的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C
8 ．D
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系， 根据抛物线的开口方向、对称轴、与 x 轴的 交点情况以及二次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上， : a > 0 ，
∵抛物线的对称轴是直线 : b = 2a > 0 ，
∵抛物线交于y 轴的负半轴， : c < 0 ，
: abc < 0 ，①说法正确； ∵ b = 2a ，
: 2a - b = 0 ，②说法错误； ∵抛物线与 x 轴交于(1, 0) ， : a + b + c = 0 ，
: 3a + c = 0 ，③说法正确；
∵抛物线的对称轴是直线x = -1 ，且开口向上，
:函数最小值为a - b + c ，
: am2 + bm + c ≥ a - b + c ，
: m (am + b) ≥ a - b ，④说法正确；
∵抛物线与 x 轴有两个交点， : b2 - 4ac > 0 ，
: 4ac - b2 < 0 ，⑤说法正确；
综上所述，正确的有①③④⑤ .
故选：D．
9 ．B
【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算， 熟练掌握二 次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点C 坐标，进而 表示出其他点坐标，得出四边形CDFE 周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值．
【详解】解：点 A(2, 4) 在抛物线y = ax2 上，
把A(2, 4) 代入y = ax2 ，得 4 = a × 22 ， 解得a = 1，
:抛物线表达式为y = x2 ． 设C(t, 4) （ 0 < t ≤ 2 ）， Q 点C ，D 关于y 轴对称， :D(-t, 4)．
过点C 作x 轴垂线交抛物线于E ，则E(t, t2 ) ；过点 D 作x 轴垂线交抛物线于F ，则 F (-t, t2 )．
: CD = 2t ，CE = 4 - t2 ，
: DF = CE = 4 - t2 ，EF = CD = 2t ．
四边形CDFE 周长L = 2 (CD + CE ) = 2 (2t + 4 - t2 )，
= -2t2 + 4t + 8 ．
∵上述函数中二次项系数-2 < 0 ，开口向下，对称轴为直线 ．
:当t = 1时， Lmax = -2× 12 + 4× 1+ 8 = 10 ．
故选：B ．
10 ．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意得，AQ = CP = tcm ，则
CQ = AC - AQ = (4 - t)cm ，由勾股定理得到 AB = 5cm ，则 则由勾股定 理可得32 = t2 + (4 - t)2 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，AQ = CP = tcm ， : CQ = AC - AQ = (4 - t)cm ，
在 △ABC 中，上C = 90° , AC = 4cm ，BC = 3cm ，则
在Rt△CPQ 中，由勾股定理得PQ2 = CQ2 + PC2 ， : 32 = t2 + (4 - t)2 ，
解得 或 故选：C．
11 ．B
【分析】先根据待定系数法求二次函数的解析式， 然后进行计算比较即可解答．本题考查了 二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：∵当球出手后水平距离为4m 时，到达最大高度4m ，
:抛物线的顶点坐标为(4, 4)，
:设抛物线的解析式为：y = a (x - 4)2 + 4 ， ∵球出手时离地面高 ，
解得：
故①正确；
当x = 7 时 :此球能投中，
故②不正确；
当x = 1m 时 故③正确；
综上所述：上列结论，正确的个数是 2 个，
故选：B．
12 ．C
【分析】本题考查配方法的应用，解一元二次方程，利用配方法确定2x2 - 4x + 6 的范围判 断（1）（3）（4），解一元二次方程判断（2）即可．
【详解】解：: 2x2 - 4x + 6 = 2 (x -1)2 + 4 ， 又: (x -1)2 ≥ 0 ，
: 2x2 - 4x + 6 = 2 (x -1)2 + 4 ≥ 4 ，
故不存在实数 x，使 2x2 - 4x + 6 得值为 0，
当x =1 时，2x2 - 4x + 6 有最小值为 4，不存在最大值， 当2x2 - 4x + 6 = 4 时，解得：x1 = =x2 1；
故（1）（2）（4）正确，（3）错误；
故选 C．
13 ．2019
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相 等的未知数的值，据此得到2m2 - m -1 = 0 ，即 2m2 - m = 1，再根据
2022 - 6m2 + 3m = 2022 - 3 (2m2 - m) 计算求解即可． 【详解】解：:m 是方程2x2 - x -1 = 0 的根，
: 2m2 - m -1 = 0 ，
: 2m2 - m = 1，
: 2022 - 6m2 + 3m
= 2022 - 3 (2m2 - m)
= 2022 - 3 × 1
= 2019 ，
故答案为：2019 ．
14 ．1
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据矩形的 性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可．
【详解】解：设所修道路的宽为 xm ，根据题意得：
(36 - x) (24 - x) = 805 ， 整理得：x2 - 60x + 59 = 0 ，
解得：x1 = 1, x2 = 59 （舍去）， 答：所修道路的宽为1m ．
故答案为：1
15 ．d < c < b < a
【分析】本题考查二次函数的性质，在 y = ax2 (a ≠ 0) 中， a 的值越大，函数图像越靠近y 轴，开口越小，a > 0 时，开口向上，a < 0 时，开口向下，据此判断即可得答案．
【详解】解：∵ y = ax2 ，y1 = bx2 ，y2 = cx2 的图像开口向上，y3 = dx2 的图像开口向下， : a > 0 ， b > 0 ， c > 0 ， d < 0 ，
∵ y = ax2 ，y1 = bx2 ，y2 = cx2 的图像开口依次增大，
: a > b > c ，
: d < c < b < a ．
故答案为：d < c < b < a
16 ． 或k = 0
【分析】主要考查了二次函数综合应用， 通过对直线、抛物线解析式的求解， 及直线与抛物 线的位置关系，可以提高学生解决压轴题的水平．联立方程组 得到 x2 = kx + 2k ，看成是两个函数联立而成的，画出函数图象，运用数形结合法求解即可．
联立 得：3kx + 2 (k -1) = x2 + 2kx - 2 ， 即，x2 = kx + 2k ，
可以看成是两个函数 联立而成的，
Q y = kx + 2k = k (x + 2)，
: 当x + 2 = 0 时，此函数必过定点(-2, 0) ，
即过(-2, 0) ，(-1,1) 的直线l1 与过(-2, 0) ，(3, 9) 的直线l2 间的范围就是满足条件的直线运动 的位置，如图，
将(-1,1) 代入y = kx + 2k 得1 = -k + 2k ， 解得，k = 1，
将(3, 9) 代入y = kx + 2k 得，9 = 3k + 2k ， 解得， ，
当k = 1 时，直线与抛物线在-1 ≤ x ≤ 3 内有两个交点， :k ≠ 1 ，
当k = 0 时，直线为y= -2 ，抛物线为 y = x2 - 2 ，此时，在 -1 ≤ x ≤ 3 范围内有唯一公共点，
故答案为 或k = 0 ．
17 ．(1) x1 = -1，x2 =
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）把方程左边利用平方差公式分解因式，再解方程即可；
（2）先把常数项移到方程右边，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方， 最后解方程即可．
【详解】（1）解：∵ (2x - 1)2 - 9x2 = 0 ，
: (2x -1+ 3x)(2x -1- 3x) = 0 ， : 5x -1 = 0 或-x - 1 = 0 ，
解得
（2）解：∵ x2 - 2x - 6 = 0 ， : x2 - 2x = 6 ，
: x2 - 2x +1 = 7 ， : (x -1)2 = 7 ，
: x -1= ± ,
解得x1 = 1 - ，x2 = 1 + ．
18 ．(1) a = 3
(2) y = x2 - 4x
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的平 移，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据抛物线的对称轴公式即可求解；
（2）由（1）知抛物线的表达式是y = x2 - 4x + 3 = (x - 2)2 -1 ，设该抛物线向下平移 m 个单
位长度后经过原点，根据二次函数平移的规律求出m 的值，即可解答． 【详解】（1）解：y = (x -1)(x - a ) = x2 - (a +1)x + a ，
∵抛物线的对称轴为直线x = 2 ，
解得：a = 3 ；
（2）解：由（1）知抛物线的表达式是 y = x2 - 4x + 3 = (x - 2)2 -1，
设该抛物线向下平移 m 个单位长度后经过原点， 则抛物线y = (x - 2)2 -1- m经过原点，
: 4 -1 - m = 0 ， 解得：m = 3 ，
:平移后得到的抛物线的表达式是y = (x - 2)2 - 4 = x2 - 4x ．
19 ．(1) m < 2
【分析】本题考查根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本 题的关键．
（1）根据方程x2 + 2x + 2m - 3 = 0有两个不相等实数根，可知 Δ > 0 ，然后即可求得 m 的取 值范围；
（2）将 x = -2 代入题目中的方程，可以求得m 的值，然后即可求出方程的根，从而可以得 到方程的另一个根．
【详解】（1）解： Q 方程x2 + 2x + 2m - 3 = 0有两个不相等实数根，
: Δ = 22 - 4× 1 × (2m - 3) > 0 ， 解得m < 2 ；
（2）解：Qx = -2 是方程x2 + 2x + 2m - 3 = 0的一个根，
: 4 - 4 + 2m - 3 = 0 ， 解得
:方程为x2 + 2x = 0 ， 解得x1 = -2 ，x2 = 0 ，
:方程的另一个根是x = 0 ．
(3)6
(4)0 ≤ y ≤ 4 ．
【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式， 二次函数的图象及性质，熟练求解
直线的解析式是解题的关键．
（1）将点 A(-2，1) 代入y = ax2 求出a 的值，再将点B(4, m) 代入求解即可；
（1）运用待定系数法求出直线 AB 的解析式即可；
（2）求出 OC 的长，根据“S△AOB = S△AOC + S△BOC ”求解即可；
（2）观察图象，利用数形结合法求解即可；
【详解】（1）解：∵点A(-2,1) 在y = ax2 的图象上，
: 1 = 4a ，
解得
当x = 4 时
故答案为： ；4 ；
（2）解：∵ A(-2,1) ，B (4, 4) ，
设直线AB 的解析式为y = kx + b ，
把A ，B 点坐标代入得 解得，
:直线AB 的解析式为
（3）解：对于直线 当 x = 0 时， y = 2 ，
: OC = 2 ，
1 2
（4）解：对于抛物线 y = 4 x ，
:当x =0 时，y 有最小值为 0，
∵ A(-2,1) ，B (4, 4) ，
:当-2 ≤ x ≤ 4 时，y 的取值范围为0 ≤ y ≤ 4 ．
21 ．(1) y = -x2 - 2x - 4 ，直线 x = -1
(2) 3 ，-12 (3) 0 时， 利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意得出平移后的点的坐标为A¢ (0,5) ，B ¢ (-6,5) ，线段A¢B¢ 的两个三等分点坐标 为(-4,5) ，(-2,5)，设平移后的抛物线解析式为 y = -(x - h)2 + k ，然后求解即可；
（4）根据题意得出分三种情况分析：当-2m + 3 = 5 时，当-2m + 3 = -m2 - 4m + 5 时，当-2m + 3 = 9 时，依次结合图象求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y = -x2 + bx + c 与x 轴交于A(1,0) ，B 两点，与y 轴交于点 C (0,5)
, 解得
:抛物线的解析式为y = -x2 - 4x + 5 ； Q y = -x2 - 4x + 5 = - (x + 2)2 + 9 ，
:抛物线的顶点坐标为(-2,9)；
（2）抛物线的顶点坐标为(-2,9)，点C(0,5)．
当m < 0 时，令-x2 - 4x + 5 = 5，解得 x1 = 0 ，x2 = -4 ．
观察图象可得当-4 ≤ m ≤ -2 时，图象G 的最大值为 9，最小值为 5， : 图象G 的最大值与最小值的差为 4；
当m > 0 时，图象G 的最大值为 5，最小值为 -m2 - 4m + 5 ，
令5 - (-m2 - 4m + 5) = 4 ，
解得m1 = 2 - 2 ，m2 = -2 - 2 （舍去）．
综上所述，当-4 ≤ m ≤ -2 或m = 2 - 2时，图象G 的最大值与最小值的差为 4；
（3）QA(1, 0) ，B (-5, 0) ，
: A¢ (0, 5) ，B ¢ (-6, 5)
:线段A¢B¢ 的两个三等分点坐标为(-4, 5) ，(-2, 5)． 设平移后的抛物线解析式为y= - (x - h)2 + k ，
将(-4, 5) ，(-2, 5) 代入，得
解得h = -3 ，k = 6 ，
:平移后的抛物线解析式为y = - (x + 3)2 + 6 ，其顶点为(-3, 6)， Q 抛物线y = -x2 - 4x + 5 = - (x + 2)2 + 9 的顶点为(-2, 9)，
:平移前、后抛物线的顶点之间的距离为 ， :抛物线平移的最短路程为、 ；
（4）解：当-2m + 3 = 5 时， m = -1 ，此时图象 G 与直线y= -2m + 3 有且只有一个公共点 C ， 如图，
当-2m + 3 = -m2 - 4m + 5 时，m = - 3 - 1，此时图象G 与直线y = -2m + 3 有且只有两个公共点， 如图，
当-2m + 3 = 9 时，m = -3 ，此时图象G 与直线y= -2m + 3 有且只有一个公共点，
综上所述：当m = -3 或- 3 -1 < m ≤ -1时，图象G 与直线y= -2m + 3 有且只有一个公共点．
24 ．
1
【分析】本题主要考查了二次函数的应用， 求一次函数关系式及勾股定理，解题时要熟练掌 握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）利用抛物线顶点P(2,4.25) 设解析式，再将A(0,4) 代入求出a ，得到抛物线解析式；把 x = 8 代入解析式求D 点纵坐标，确定D 坐标．
（2）先由A 、D 坐标用待定系数法求直线AD 解析式；设E 横坐标为m ，根据E 在抛物线、 F 在直线AD 上，分别表示出E 、F 纵坐标，作差得EF 表达式；同理，由F 、H 水平距离 为 3，设G 横坐标为m + 3，求出GH 表达式；根据EF = GH 列方程求解m ，代入 EF 表达 式得长度．
（3）用两点间距离公式求 AD 长度；由（2）得 EF 关于 E 横坐标t 的二次函数表达式，根 据二次函数性质（开口向下，顶点处取最大值）求出EF 最大值；支架长度为AD + EF，相 加得最大长度．
【详解】（1）解：由题意可得P(2,4.25)，
:设y 与x 之间的函数关系式y = a (x - 2)2 + 4.25 ，将点 A(0,4) 代入，
得a (0 - 2)2 + 4.25 = 4 ，解得 ．
:抛物线的解析式为
当x = 8 时
:D(8, 2) ；
（2）已知 A(0,4) , D (8,2) ，设直线 AD 的解析式为y = kx + b ，
解得
:直线AD 的解析式为
（3）设点 E 的横坐标为m ，
: EF Ⅱ AB, E 在抛物线上，F 在直线AD 上，
: E 点纵坐标为 点纵坐标为
: F, H 间的水平距离为 3 米，且EF = GH, EF 在左侧， :点G 的横坐标为m + 3，
同理，G 点纵坐标为 H 点纵坐标为
Q EF = GH,
已知 设点E 的横坐标为t ，
由 得
在 中 ， :函数图象开口向下，存在最大值，
其对称轴为
:支架长度为AD + EF ，
:支架所需铝合金材料的最大长度为：