九年级数学上学期第一次月考（河北专用，人教版九上21~22章：一元二次方程+二次函数）

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（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级数学上册第21-22章（一元二次方程+二次函数）。
一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．把方程化成一般式，则，，的值分别是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做一次项，叫作一次项系数，解答即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：由，
得，
∴，，的值分别是，，，
故选：D．
2．观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先明确方程，通过表格找的值接近时对应的，利用函数的增减性确定近似解．本题主要考查利用表格数据估算一元二次方程的近似解，熟练掌握函数值与自变量的对应关系及通过数据趋势判断近似解是解题关键．
【详解】解：观察表格：
当时，；当时，；当时， ，
更接近，
时的值更接近，且在到 逐渐增大时，逐渐减小（由表格数据可知），介于（）和（）之间，更靠近，
∴近似解在附近，
对比选项，最接近 ，
故选：．
3．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为，即，
故选：A．
4．已知关于的一元二次方程，以下不正确的是（ ）
A．此方程必有实数根B．若方程有一个根为，则另一个根为
C．两根之积为D．两根之和为
【答案】D
【分析】本题考查了根与系数的关系。根的判别式和一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系．
先把二次项系数化为正系数，计算根的判别式的值，结合根与系数的关系，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：方程化为，
∵，
∴方程有两个不相等的实数解，
∴选项的说法正确，不符合题意；
∵方程的两根之积为，
∴若方程有一个根为，则另一个根为，
∴选项、选项的说法正确，不符合题意；
∵方程的两根之和为，
∴选项的说法不正确，符合题意，
故选：．
5．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：第1轮后有个人患了流感；乙：第2轮又增加个人患流感；丙：依题意可列方程
A．甲错，丙对B．甲对，乙错C．甲对，丙错D．乙和丙都对
【答案】C
【分析】本题考查了列代数式及一元二次方程的应用，掌握等量关系是解答本题的关键，根据题意逐个计算出每轮感染人数，共感染人数即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
甲：第1轮后，1个人传染了x人，共有个人患了流感，故正确；
乙：第2轮后，个人中每人传染了x人，增加个人患流感，故正确；
丙：2轮后，共有人患流感，由题意得方程，即，故错误．
故选：C．
6．已知，是关于的一元二次方程的两个实数解，若，则的值为（ ）
A．B．7C．或7D．或7
【答案】A
【分析】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，掌握两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键．
由根与系数的关系可用表示出两根之和与两根之积，代入已知条件可得到关于的方程，即可求得的值．由方程根的情况，根据判别式可求得符合要求的；
【详解】解：∵方程的两个实数根分别为和，
，
，
，
或，
∵关于的一元二次方程有两个实数根，
，
当时，，不符合要求，
，
故选：A．
7．如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（ ）
A．旋转木马转一圈需要
B．当时，小明与入口的距离为
C．小明与入口的距离为时，旋转木马恰好转了
D．当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，函数图象，认真分析图象，理解纵横坐标的意义是解题的关键，因为如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示，所以得出图象的每一次循环需要的时间是，当时，小明与入口的距离为，当时，y随x的增大而增大，即可作答．
【详解】解：A、观察图2，图象的每一次循环需要的时间是，则旋转木马转一圈需要，故该选项不符合题意；
B、观察图2的图象，当时，小明与入口的距离为，故该选项不符合题意；
C、观察图2的图象，当小明与入口的距离为时，旋转木马不一定转了（如下图所示），故该选项符合题意；
D、观察图2的图象，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
故选：C
8．二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点情况以及二次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∵抛物线交于y轴的负半轴，
∴，
∴，①说法正确；
∵，
∴，②说法错误；
∵抛物线与x轴交于，
∴，
∴，③说法正确；
∵抛物线的对称轴是直线，且开口向上，
∴函数最小值为，
∴，
∴，④说法正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，⑤说法正确；
综上所述，正确的有①③④⑤．
故选：D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为（ ）
A．8B．10C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值．
【详解】解：点在抛物线上，
把代入，得，
解得，
抛物线表达式为．
设（ ），
点，关于轴对称，
．
过点作轴垂线交抛物线于，则；过点作轴垂线交抛物线于，则．
∴，，
∴，．
四边形周长，
．
∵上述函数中二次项系数，开口向下，对称轴为直线．
∴当时，．
故选： ．
10．如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意得，，则，由勾股定理得到，则，则由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
在中，，，，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或，
故选：C．
11．某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时，到达最大高度，篮圈距地面，设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立的平面直角坐标系．有下列结论：①抛物线的解析时为；②此球不能投中；③若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，则他能成功拦截．其中正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】先根据待定系数法求二次函数的解析式，然后进行计算比较即可解答．本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：∵当球出手后水平距离为时，到达最大高度，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
∵球出手时离地面高，
∴把代入中得：，
解得：，
∴，
故①正确；
当时，，
∴此球能投中，
故②不正确；
当时，，
故③正确；
综上所述：上列结论，正确的个数是2个，
故选：B．
12．小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（ ）
（1）小聪认为找不到实数x，使得值为0；
（2）小明认为只有当时，的值为4；
（3）小伶发现没有最小值；
（4）小刚发现没有最大值．
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（2）（4）D．（2）（3）（4）
【答案】C
【分析】本题考查配方法的应用，解一元二次方程，利用配方法确定的范围判断（1）（3）（4），解一元二次方程判断（2）即可．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
故不存在实数x，使得值为0，
当时，有最小值为4，不存在最大值，
当时，解得：；
故（1）（2）（4）正确，（3）错误；
故选C．
第二部分（非选择题 共76分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）
13．已知m是方程的根，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此得到，即，再根据计算求解即可．
【详解】解：∵m是方程的根，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
14．2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可．
【详解】解：设所修道路的宽为，根据题意得：
，
整理得：，
解得：（舍去），
答：所修道路的宽为．
故答案为：1
15．在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，小明在该直角坐标系中又画了二次函数，，的图像，则a，b，c，d的大小关系 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，在中，的值越大，函数图像越靠近轴，开口越小，时，开口向上，时，开口向下，据此判断即可得答案．
【详解】解：∵，，的图像开口向上，的图像开口向下，
∴，，，，
∵，，的图像开口依次增大，
∴，
∴．
故答案为：
16．直线与抛物线在范围内有唯一公共点，则的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】主要考查了二次函数综合应用，通过对直线、抛物线解析式的求解，及直线与抛物线的位置关系，可以提高学生解决压轴题的水平．联立方程组得到，看成是两个函数联立而成的，画出函数图象，运用数形结合法求解即可．
【详解】联立，
得：，
即，，
可以看成是两个函数联立而成的，
，
当时，此函数必过定点，
即过，的直线与过，的直线间的范围就是满足条件的直线运动的位置，如图，

将代入得，
解得，，
将代入得，，
解得，，
当时，直线与抛物线在内有两个交点，
，
，
当时，直线为，抛物线为，此时，在范围内有唯一公共点，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程
(1)
(2)（用配方法）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）把方程左边利用平方差公式分解因式，再解方程即可；
（2）先把常数项移到方程右边，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
18．（6分）抛物线的对称轴为直线．
(1)求a的值；
(2)向下平移该抛物线，使得到的抛物线经过原点，求平移后得到的抛物线的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据抛物线的对称轴公式即可求解；
（2）由（1）知抛物线的表达式是，设该抛物线向下平移m个单位长度后经过原点，根据二次函数平移的规律求出的值，即可解答．
【详解】（1）解：，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）知抛物线的表达式是，
设该抛物线向下平移m个单位长度后经过原点，
则抛物线经过原点，
∴，
解得：，
∴平移后得到的抛物线的表达式是．
19．（7分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
（1）根据方程有两个不相等实数根，可知，然后即可求得的取值范围；
（2）将代入题目中的方程，可以求得的值，然后即可求出方程的根，从而可以得到方程的另一个根．
【详解】（1）解： 方程有两个不相等实数根，
，
解得；
（2）解：是方程的一个根，
，
解得，
方程为，
解得，，
方程的另一个根是．
20．（8分）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、．
(1) _______； _______；
(2)求直线的函数表达式；
(3)求的面积；
(4)观察图象，直接写出当时，y的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)6
(4)．
【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键．
（1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可；
（1）运用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）求出的长，根据“”求解即可；
（2）观察图象，利用数形结合法求解即可；
【详解】（1）解：∵点在的图象上，
∴，
解得，
∴，
当时，；
故答案为：；；
（2）解：∵，，
设直线的解析式为，
把，点坐标代入得，
解得，，
∴直线的解析式为：；
（3）解：对于直线：，
当时，，
∴，
∴；
（4）解：对于抛物线，
∵，
∴当时，有最小值为0，
∵，，
∴当时，y的取值范围为．
21．（8分）二次函数图象上部分点的横纵坐标x，y的对应值如表：
(1)这个二次函数的表达式为______，对称轴是______；
(2)表中的______；______；
(3)若，是这个函数图象上的两点，且，则______（填“”或“”或“”）．
【答案】(1)，直线
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将表中已知数据代入即可得到函数表达式；
（2）根据（1）求出的解析式代数求值；
（3）确定函数图象的开口方向和对称轴，然后根据增减性得出答案；
【详解】（1）解：将代入，
，解得，
，
故对称轴；
故答案为：，直线
（2）解：根据函数解析式：，
当时，，
∴，
当时，，
解得或，
.
故答案为：，
（3）解：根据，，
开口向下，
对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
故，则，
故答案为：；
22．（9分）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红．
(1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买款吉祥物的数量与花600元购买款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？
(2)若款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则款吉祥物售价应降低多少元？
【答案】(1)款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元；
(2)售价应降低20元．
【分析】本题考查了分式方程及一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键．
（1）设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解；
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据题意即可列出等量关系求解．
【详解】（1）解：设款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元；
（2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽量减少库存，
．
答：售价应降低20元．
23．（9分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象．
(1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标；
(2)当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为4？
(3)将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段．若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程；
(4)当时，若图象与平行于轴的直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或
(3)
(4)或
【分析】本题主要考查二次函数综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，函数图象的平移及二次函数的基本性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）根据题意分情况分析：当时，当时，当时，当时，利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意得出平移后的点的坐标为，，线段的两个三等分点坐标为，，设平移后的抛物线解析式为，然后求解即可；
（4）根据题意得出分三种情况分析：当时，当时，当时，依次结合图象求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点
∴
，解得，
抛物线的解析式为；
，
抛物线的顶点坐标为；
（2）抛物线的顶点坐标为，点．
当时，令，解得，．
观察图象可得当时，图象的最大值为9，最小值为5，
图象的最大值与最小值的差为4；
当时，图象的最大值为5，最小值为，
令，
解得，（舍去）．
综上所述，当或时，图象的最大值与最小值的差为4；
（3），，
，
线段的两个三等分点坐标为，．
设平移后的抛物线解析式为，
将，代入，得
解得，，
平移后的抛物线解析式为，其顶点为，
抛物线的顶点为，
平移前、后抛物线的顶点之间的距离为，
抛物线平移的最短路程为；
（4）解：当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点，如图，
当时，，此时图象与直线有且只有两个公共点，如图，
当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点，
综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点．
24．（11分）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．琪琪家计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为8米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，建立如图1所示的平面直角坐标系，已知骨架的一端固定在离地面4米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体的水平距离为2米，且点P离地面的高度为米．
(1)求该抛物线的解析式，并写出点D坐标；
(2)写出直线的解析式；
(3)为了大棚顶部更加稳固，琪琪爸爸计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段三部分组成，其中点E，G在顶棚抛物线形骨架上，，分别交于点F、H，且（在左侧）．当F、H间的水平距离为3米时，求的长；
(4)为了节约成本，支架调整为线段两部分组成，如图3所示，直接写出求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度．
【答案】(1)；
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数关系式及勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）利用抛物线顶点设解析式，再将代入求出，得到抛物线解析式；把代入解析式求点纵坐标，确定坐标．
（2）先由、坐标用待定系数法求直线解析式；设横坐标为，根据在抛物线、在直线上，分别表示出、纵坐标，作差得表达式；同理，由、水平距离为3，设横坐标为，求出表达式；根据列方程求解，代入表达式得长度．
（3）用两点间距离公式求长度；由（2）得关于E横坐标的二次函数表达式，根据二次函数性质（开口向下，顶点处取最大值）求出最大值；支架长度为，相加得最大长度．
【详解】（1）解：由题意可得，
∴设与之间的函数关系式，将点代入，
得，解得．
∴抛物线的解析式为；
当时，，
；
（2）已知，设直线的解析式为，
解得
∴直线的解析式为；
（3）设点的横坐标为，
∵在抛物线上，在直线上，
∴点纵坐标为，点纵坐标为．
∴，
∵间的水平距离为3米，且在左侧，
∴点的横坐标为，
同理，点纵坐标为
点纵坐标为，
∴，
∴，
∴
∴
∴
（4）已知，，
设点的横坐标为，
由（3）得．
在中，，
∴函数图象开口向下，存在最大值，
其对称轴为，
∴，
∵支架长度为，
∴支架所需铝合金材料的最大长度为：．
x
…
0
1
2
m
…
y
…
n
…