湖南省益阳市第一中学2025-2026学年高二上学期入学测试数学试题（Word版附解析）

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（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
命题：益阳市第一中学 高一数学备课组
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，答题卡交回.
4.考试范围：人教 A 版 2019 必修一+必修二+选必一空间向量.
第一部分（选择题共 58 分）
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知复数 （其中 为虚数单位），则复数 的模为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
2. 关于向量 下列说法中，正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试，先将 50 个零件进行编号，编号分别为 01，02，
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，50，从中抽取 6 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第 1 行第 6 列开始向右依次读取数据，则得到的第 6 个样本编号是（ ）
A. 57 B. 50 C. 40 D. 10
5. 已知点 ，则点 A 到直线 的距离是（ ）
A. B. C. D.
6. 在正四面体 中， 分别是棱 中点，则直线 与 所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在 中， 是 的中点， 是 的中点，过点 作直线分别交 于点 ， ，
且 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D.
8. 小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办
公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上
班和下班时下雨 概率均为 ，不下雨的概率均为 ，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那
么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
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9. 函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在 上单调递减
C. 直线 为 一条对称轴
D. 若 偶函数，则
10. 有一组互不相等的数组成的样本数据 、 、 、 ，其平均数为 （ ， 、 、 、 ），
若插入一个数 ，得到一组新的数据，则（ ）
A. 两组样本数据的平均数相同
B. 两组样本数据的中位数相同
C. 两组样本数据的方差相同
D. 两组样本数据的极差相同
11. 在棱长为 1 的正方体 中， 为棱 上一点，且 ， 为正方形 内
一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）
A. 若 平面 ，则动点 的轨迹是一条长为 的线段
B. 不存在点 ，便得 平面
C. 三棱锥 的最大体积为
D. 若 且 与平面 所成的角最大时，三棱锥 的体积为
第二部分（非选择题共 92 分）
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
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12. 已知单位向量 , 的夹角为 45°， 与 垂直，则 k=__________.
13. 已知正四棱台的高为 ，上、下底面边长分别为 2 和 4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
_________.
14. 直线 经过函数 图象的对称中心，则
的最小值为__________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知关于 x 的方程 的两个虚数根为 ， .
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求实数 a 的值.
16. 中，内角 所对的边分别是 ，若 ，
（1）求 的大小；
（2）若 AC 边的中线为 ，求 BC 边上的高的大小；
17. 某校高一年级半期考试测试后，为了解本次测试 情况，在整个年级中随机抽取了 200 名学生的数学成
绩，将成绩分为 ，共 6 组，得到如图所示的频率
分布直方图.
（1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在［90，150］内的学生中抽取 13 名，则成绩在［130，
150］的同学有几个？
（2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众
数；
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（3）若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过 ，根据样本数据，试估计获得表
彰的同学的最低分数.
18. 如图，四边形 与四边形 均为等腰梯形， ， ， ， ，
， ， ⊥平面 ， 为 上一点，且 ⊥ ，连接
.
（1）证明: ⊥平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
19. 在平面直角坐标系 xOy 中，定义向量 为函数 的有序相伴向量.
（1）设 （ ），写出函数 的有序相伴向量 ；
（2）若 的有序相伴向量为 ，若函数 ， ，与直线 有
且仅有二个不同的交点，求实数 k 的取值范围；
（3）若 有序相伴向量为 ，当函数 在区间 上时值域为 ，则称区间
为函数的“和谐区间”.当 时， 是否存在“和谐区间”？若存在，求出 的所有“和谐区
间”，若不存在，请说明理由.
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