湖南省益阳市第一中学2025_2026学年高二上学期入学测试数学试卷[含解析]

这是一份湖南省益阳市第一中学2025_2026学年高二上学期入学测试数学试卷[含解析]，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数（其中为虚数单位），则复数的模为（ ）
A．1B．C．2D．4
2．关于向量下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
A．57B．50C．40D．10
5．已知点，则点A到直线的距离是（ ）
A．B．C．D．
6．在正四面体中，分别是棱中点，则直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ）

A．1B．2C．4D．
8．小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在上单调递减
C．直线为的一条对称轴
D．若为偶函数，则
10．有一组互不相等的数组成的样本数据、、、，其平均数为（，、、、），若插入一个数，得到一组新的数据，则（ ）
A．两组样本数据的平均数相同
B．两组样本数据的中位数相同
C．两组样本数据的方差相同
D．两组样本数据的极差相同
11．在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）
A．若平面，则动点的轨迹是一条长为的线段
B．不存在点，便得平面
C．三棱锥的最大体积为
D．若且与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为
三、填空题
12．已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k= .
13．已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
14．直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知关于x的方程的两个虚数根为，.
(1)求的取值范围；
(2)若，求实数a的值.
16．中，内角所对的边分别是，若，
(1)求的大小；
(2)若AC边的中线为，求BC边上的高的大小；
17．某校高一年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在［90，150］内的学生中抽取13名，则成绩在［130，150］的同学有几个？
(2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数；
(3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数.
18．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接.
(1)证明:⊥平面 ；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
19．在平面直角坐标系xOy中，定义向量为函数的有序相伴向量.
(1)设（），写出函数的有序相伴向量；
(2)若的有序相伴向量为，若函数，，与直线有且仅有二个不同的交点，求实数k的取值范围；
(3)若的有序相伴向量为，当函数在区间上时值域为，则称区间为函数的“和谐区间”.当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.
1．B
先化简，然后利用模的公式进行求解即可
【详解】因为，
所以
故选：B
2．D
利用向量的模、相等向量、相反向量、共线向量等相关概念进行判断.
【详解】对于选项A：若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误；
对于选项B：当时，，，此时未必共线，故B错误.
对于选项C：向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误；
对于选项D：若，则向量，互为相反向量，则，则D正确；
故选：D.
3．C
根据两角和的正弦公式及二倍角的正切公式化简即可得解.
【详解】由可得，
即，
所以.
故选：C
4．B
结合随机数表法定义，按照题意依次读出前个数即可.
【详解】从随机数表第1行的第6列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，
符合条件的编号有03，46，40，11，10，50，所以选出来的第6个个体的编号为50.
故选：B.
5．B
先求与同方向的单位向量和的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得.
【详解】由题意，,
则与同方向的单位向量为，又,
于是，点A到直线的距离是：.
故选：B.
6．A
把正四面体放置在一个正方体中，证得，得到异面直线与所成角，即为直线与所成角，设正方体的棱长为，在中，利用余弦定理，求得的值，进而得到答案.
【详解】把正四面体放置在一个正方体中，如图所示，
因为点分别是棱中点，
则在正方体中，分别为上下底面正方形的对角线的中点，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
则异面直线与所成角，即为直线与所成角，
设正方体的棱长为，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在中，可得，
因为，所以.
故选：A.

7．A
计算得，再利用三点共线结论得系数和为1，即，再利用基本不等式求出最值即可.
【详解】因为是的中点，且，
所以.
因为三点共线，所以，
即，所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：A.
8．C
“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”,对下雨的次数进行分类讨论，求出各种情况下，两天都不淋雨的概率，再结合对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有次．
（1）次均不下雨，概率为；
（2）有次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为；
（3）有次下雨但不淋雨，共种情况：
①同一天上下班均下雨；
②两天上班时下雨，下班时不下雨；
③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨，
概率为；
（4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为；
（5）次均下雨，概率为：；
两天都不淋雨的概率为，
所以至少有一天淋雨的概率为：，
故选：C．
9．ACD
根据图象得到，然后根据正弦型函数的性质进行逐一判断.
【详解】由图可知：，，则，
当时，函数取得最大值，所以，又，所以.
所以.
对A，的最小正周期为，正确；
对B，，令，则，可知在不是单调的，故错误；
对C，由，所以，所以取得最小值-3，直线为的一条对称轴，故正确；
对D，为偶函数，所以，故正确.
故选：ACD.
10．AD
利用平均数公式可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用极差的定义可判断D选项.
【详解】由已知可得.
对于A选项，新数据的平均数为，与原数据的平均数相等，A对；
对于B选项，不妨设，则原数据的中位数为，
若，则中位数为，
若，则中位数为，B错；
对于C选项，新数据的方差为
，C错；
对于D选项，不妨设，则，故新数据的极差仍为，D对.
故选：AD.
11．BCD
在取点，使得，证得平面平面，进而得到平面，可判定A不正确；以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，根据，得出矛盾，可判定B正确；利用向量的数量积的运算及三角形的面积公式，求得,在求得点到平面的最大距离，结合体积公式，可判定C正确；根据题意，求得点点的轨迹，结合线面角的公式，求得时，取得最大值，进而求得三棱锥的体积，可判定D正确.
【详解】对于A中，如图所示，分别在取点，使得，
可得，因为，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又由，且平面，平面，所以平面，
又因为，且平面，所以平面平面，
且平面平面，
若平面，则动点的轨迹为线段，且，所以A不正确；
对于B中，以为原点，以所在的直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，则，
设，可得，
设是平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
若平面，则，所以存在，使得，
则，所以不存在点，使得平面，所以B正确；
对于C中，由，可得，
则，所以，
所以,
要使得三棱锥的体积最大，只需点到平面的距离最大，
由，可得点到平面的距离，
因为，所以当时，即点与点重合时，可得，
所以三棱锥的最大体积为，所以C正确；
对于D中，在正方体中，可得平面，且平面，
所以，则，
所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，其圆心角为，
则，所以，即，
又由，设与平面所成的角，
所以，
因为，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，即时，与平面所成的角最大值，即，
可得，则点到平面的距离为，
此时三棱锥的体积为，D正确.
故选：BCD.
12．
首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
13．
根据正四棱台的结构特征和性质求出球的半径，进而可求出球的表面积.
【详解】
设正四棱台上、下底面所在截面圆的半径为，则，
若球心到上底面距离为，球体半径为，则球心到下底面距离为，
所以，可得，则，
所以球体的表面积为.
故答案为：
14．9
根据函数单调性分析可知函数的对称中心为，进而可得，结合乘“1”法求最值.
【详解】对于函数，
令，解得且，可知函数的定义域为，
因为
，
可知函数的对称中心为，
由题意可知：直线经过点，
则，即，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为9.
故答案为：9.
15．(1).
(2).
（1）根据已知条件可得a的范围，再运用即可求得结果.
（2）设出、，利用韦达定理及即可求得结果.
【详解】（1）由题意知，，解得：，
，，
所以，
又因为，所以，
所以，即：.
所以的取值范围为.
（2）由（1）知，，，，
设，，（）
则，①
，②
又因为，③
所以由①②③得：.
16．(1)
(2)
（1）利用正弦定理进行边化角，根据诱导公式、和差公式辅助角公式即可求解；
（2）在中利用余弦定理可求出，在中利用余弦定理可求出，再利用面积公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理知：，
可得：，
又，则，
代入上式，可得，
所以，由于，
可得，即，
由，所以，所以.
（2）在中，，
所以，解得（舍负），
又即，
由，
所以，可得BC边上的高.
17．(1)2
(2)众数为：100，平均数为98
(3)134分
（1）根据频率分布直方图的性质，求出参数，根据分层抽样的规则，计算抽取人数；
（2）根据频率分布直方图估计平均分和众数的方法，计算总体的平均数和众数；
（3）根据频率分布直方图估计总体第百分位数的方法，计算最低分数.
【详解】（1）由性质知：，故，
采取分层抽样：[130，150]的同学个数为：.
（2）由频率分布直方图知：众数为：100；
平均数为：；
（3）由于成绩在[130，150]的频率为0.1，
故最低分数预计为：；
即估计获得表彰的同学的最低分数为134分.
18．(1)证明见解析
(2)
（1）由线面垂直得到⊥，又⊥，从而得到线面垂直，根据得到答案；
（2）作出辅助线，求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用法向量夹角余弦公式进行求解.
【详解】（1）因为⊥平面，平面，
所以⊥.又⊥，且，平面，
所以⊥平面.
因为，所以⊥平面；
（2）作⊥，垂足为.则，又，
所以四边形是平行四边形，又⊥，
所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，
且，，所以.
由（1）知⊥平面，又平面，所以⊥.
又，所以，在Rt中，.
在Rt中，.
以B为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示空间直角坐标系.
则，
所以，，，，
设平面的法向量为，
由，得，
解得，令，则，故，
设平面的法向量为，
由，得，
令得，，
可得，
因此.
故平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为.
19．(1)
(2)
(3)存在，有唯一“和谐区间”
【详解】（1）因为，
所以函数的有序相伴向量；
（2）若的有序相伴向量为，则，
所以
，其中，，
如图所示为的草图：
，，，
由图象可知，若函数与直线有且仅有2个不同的交点，
则或，所以；
（3）有唯一“和谐区间”，理由如下：
，假设存在“和谐区间”，
则由，得，
①若a，，则由，知，与值域矛盾，
故不存在“和谐区间”；
②同理a，时，由，知，与值域矛盾，
故不存在“和谐区间”；
下面讨论，
③若，则，故的最小值为，于是，
所以，所以的最大值为2，故，
此时的定义域为，值域为，符合题意；
④若，当时，同理可得，，但此时，舍去；
当时，在上单调递减，所以，，
于是，
令，则有，
又为奇函数，且在单调递增，
所以，所以
即，同一坐标系内，画出图象与，如下：
可知，当时，，
所以，从而，矛盾．
综上所述，有唯一“和谐区间”．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
B
B
A
A
C
ACD
AD
题号
11









答案
BCD