湖南省益阳市普通高中2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

这是一份湖南省益阳市普通高中2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，可得.
故选：D.
2. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A，的定义域为，不关于原点对称，
所以是非奇非偶函数，故A错误；
对于B，的定义域为R，关于原点对称，记，
而，所以是奇函数，
又在R上是增函数，故B正确；
对于C，定义域为，关于原点对称，
记，，所以是奇函数；
当时，均为增函数，则是增函数，
当时，均为增函数，则是增函数，
但不能说成在定义域上单调递增，故C错误；
对于D，的定义域为R，关于原点对称，
而，所以不是奇函数，故D错误.
故选：B.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得：.
故选：C.
4. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A：若，则，故A错误；
B：举例，不成立，故B错误；
C：由题意知，则，故C正确；
D：举例，不成立，故D错误.
故选：C.
5. 已知，，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，即充分性成立；
若，则不一定成立，例如，必要性不成立；
综上所述：p是q的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为在定义域内单调递增，
则，即，
又因为，所以.
故选：A.
7. 若关于x的一元二次不等式的解集为，则（ ）
A. 有最小值B. 有最小值
C. 有最小值3D. 无最小值
【答案】B
【解析】因为关于x的一元二次不等式的解集为，
所以，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立.
故选：B.
8. 已知函数的部分图象如下图所示，则它的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意，的图象关于原点对称，且，
对于A，当时，由，故A错误；
对于B，由，则，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故B错误；
对于C，由，则，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故C错误；
对于D，由，则，
所以是奇函数，图象关于原点对称，且，故D正确.
故选：D.
二、多项选择题.
9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 为的零点
【答案】AC
【解析】由图可知，，，
又，所以，
将点代入，得，
得，解得，
又，所以，故，故A正确，B错误；
，所以，故C正确；
由，故不是的零点，故D错误.
故选：AC.
10. 下列式子化简后等于的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于选项A：因为，故A正确；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：因为，故C正确；
对于选项D：因为，故D错误.
故选：ABC.
11. 设函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则的值域为
D. 若的最小值为，则
【答案】ABD
【解析】对于A，由，则，故A正确；
对于B，由，则，解得，故B正确；
对于C，当时，，易知函数在上单调递减，则，
当时，，易知函数在上单调递增，则，
由，则函数的值域为，故C错误；
对于D，由C可得，则，解得，故D正确.
故选：ABD.
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 和表示同一个函数
B. 定义在上的函数满足，则
C. 若是定义在上的奇函数，当时，，则有4个零点
D. 若是定义在上的偶函数，且，则是以8为周期的周期函数
【答案】ABD
【解析】对于A，，定义域为，，定义域为，
和表示同一个函数，正确，
对于B，由，可得：，
两式联立消去，可得，B正确；
对于C，当时，，令
可得，所以当时，有两个零点，
由奇函数的对称性可知，时，也有两个零点，同时，故共有5个零点，C错；
对于D，由可得：，
又函数为偶函数，所以，
所以，是以8为周期的周期函数，D正确.
故选：ABD.
三、填空题.
13. 函数的最小正周期为______.
【答案】
【解析】函数的最小正周期为.
14. 已知函数 且，则_________．
【答案】
【解析】由，，
又，所以奇函数，
.
15. 若，则_____________.
【答案】
【解析】，.
16. 如果对于非空集合中的任意两个不同元素，都有且，那么这样的集合称为封闭集合，例如集合就是一个封闭集合.用列举法写出一个至少有三个元素且只有有限个元素的封闭集合_________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】若，，则满足且，
取时，且，则且，即，
若令，则，此时取，经检验符合要求，答案不唯一.
四、解答题.
17. 已知集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1），
．
（2）因为成立，．
由得，解得.
所以实数的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）求的定义域；
（2）若，求的值；
（3），成立，求实数的取值范围．
解：（1）由，解得，所以，函数的定义域为．
（2）由，得，所以，即．
经检验知符合题意．
（3）由题意知：对成立，即．
在定义域上单调递增，所以，当时，．
所以，所以.
19. （1）已知，求函数的最小值；
（2）若，，证明：.
解：（1），，
则．
当且仅当，即时等号成立．
所以函数的最小值为．
（2），，，
即，当且仅当时等号成立．
20. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为h轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点P，则小球的运动可视为点P在AB之间的上下运动．它在ts时相对于平衡位置（O点）的高度h（PO）（P在O点下方时，）（单位：cm）由关系式确定．
（1）点P在开始运动（即）时的位置在哪里?每秒钟点P能往复运动多少次?
（2）在下图中画出h关于t的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；
（3）当点P开始运动时，t轴的负半轴上M点处连续发出一束光经过OA的中点，在时点P恰好被这束光第3次照到，求的值．
解：（1）因为，此时P点的坐标为，
即点P位于平衡位置上方处；
又因为，所以每秒钟点P往复运动次．
（2）取值列表如下：
图象如图所示：
（3）当点P被光束恰好第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标．
由，即，
则或，
得或，
将根从小到大排列得：，所以.
21. 已知函数.
（1）求的最大值；
（2）若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到 的图象，求的单调递增区间；
（3）当时，的值域为，求的值．
解：（1）由题意可得：．
因为，所以的最大值为.
（2）由平移变换知，
又因为，则，解得，
又因为，可得，所以，
令，解得，
所以的单调递增区间为．
（3）当时，则，
此时的值域为，
因为，可知，
且，可得，
则，解得，
可得，
由可知，解得，
且，或，解得，或，
所以的值为或.
22. 已知函数
（1）若是偶函数，求a的值；
（2）当时，证明：
（3）若，记，函数恰有3个零点，求实数的取值范围．
解：（1）因为是偶函数，，
即．
，所以．
（2）因为，
所以
，
当且仅当时等号成立，所以原结论成立.
（3）因为在上单调递增．
恰有三个零点等价于方程恰有三个根，
结合的单调性可知，y有三个零点等价于方程恰有三个根．
当时，，即是方程的一个根．
记，原问题等价于函数恰有两个零点，
y'=gx-hx=k-1x2+2kx-1，x