重难点培优02 利用基本不等式求最值（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

展开

这是一份重难点培优02 利用基本不等式求最值（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用），文件包含重难点培优02利用基本不等式求最值原卷版上好课2026年高考数学一轮复习讲练测全国通用docx、重难点培优02利用基本不等式求最值解析版上好课2026年高考数学一轮复习讲练测全国通用docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页，欢迎下载使用。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一分离转化对勾型（★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二变形后利用常数代换法（★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 3
\l "_Tc26803" 题型三消元法（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 4
\l "_Tc13512" 题型四换元法化简（★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 4
\l "_Tc3897" 题型五双换元法化简（★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 5
\l "_Tc326" 题型六三角换元法化简（★★★） PAGEREF _Tc326 \h 5
\l "_Tc11957" 题型七多次使用基本不等式（★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 6
\l "_Tc17557" 题型八三元型均值不等式（★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 6
\l "_Tc28054" 题型九基本不等式与其他知识交汇（★★★★★） PAGEREF _Tc28054 \h 7
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 8
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 8
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 9
1、重要不等式
（1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立．
【说明】，当且仅当时，等号成立．
（2）常见变形：、、．
2、基本不等式
（1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立．
（2）常见变形：；
（3）常用结论：
= 1 \* GB3 ①（同号），当且仅当时取等号；
（异号），当且仅当时取等号．
= 2 \* GB3 ②（），当且仅当时取等号；
（），当且仅当时取等号；
3、基本不等式链：
即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).

题型一分离转化对勾型
【技巧通法·提分快招】
1．设，则（）
A．B．
C．D．
2．函数的最大值是（）
A．2B．C．D．
3．（24-25高三上·江西赣州·期中）（多选题）下列式子中最小值为8的是（）
A．B．
C．D．
4．函数的最小值为．
5．（24-25高三上·上海·开学考试）函数在上的最大值为．

题型二变形后利用常数代换法
【技巧通法·提分快招】
1．（23-24高三上·陕西咸阳·月考）已知实数x满足，则的最小值为（）
A．9B．18C．27D．36
2．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·河南·月考）已知正数，满足，则的最小值为（）
A．B．C．D．
4．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为．
5．（24-25高三上·山东聊城·月考）已知正数，满足，则的最小值为．
6．（24-25高三上·四川南充·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为．

题型三消元法
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（）
A．B．1C．D．
2．（2024·浙江金华·模拟预测）已知，则的最小值为（）
A．4B．6C．D．
3．（24-25高三上·重庆·月考）已知，且，则的最小值为（）
A．B．C．D．
4．（2024·吉林长春·一模）已知，，，则的最小值为．
5．（24-25高三上·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 .

题型四换元法化简
1．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知正数满足，则的最小值为（）
A．B．C．D．
2．已知，则的最小值为．
3．（24-25高三上·河南·月考）已知，则的最小值为 .
4．（24-25高三上·浙江·期中）设，则的最大值为 .

题型五双换元法化简
1．已知为正数，求的最大值（）
A．B．1C．D．
2．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（）
A．10B．9C．8D．7
3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（）
A．B．C．D．
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是．

题型六三角换元法化简
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
2．（23-24高三上·湖北荆州·月考）已知实数满足，则的最大值为 .
3．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知实数满足，则的最大值为；的取值范围为．

题型七多次使用基本不等式
【技巧通法·提分快招】
1．（23-24高三上·河北·月考）已知正实数，满足，则的最小值为．
2．（23-24高三下·重庆·模拟预测）对任意的正实数，满足，则的最小值为 .
3．（2025·辽宁·模拟预测）设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 .

题型八三元型均值不等式
【技巧通法·提分快招】
1．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（）
A．B．C．D．
2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（）
A．B．C．D．
3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（）
A．B．C．D．
4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是 .

题型九基本不等式与其他知识交汇
1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（）
A．2B．1C．D．
2．（2025·山东枣庄·二模）将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（）
A．B．C．D．1
3．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为（）
A．2B．C．D．
4．（24-25高三下·山东·模拟预测）已知随机变量，且，则的最小值为（）
A．4B．8C．16D．
5．（23-24高三上·湖北恩施·期中）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（）
A．1B．C．2D．
6．（2025·重庆九龙坡·三模）在中，角所对的边分别为，已知 , ，若，则的最小值为（）
A．B．C．D．

检测Ⅰ组重难知识巩固
1．（2025·陕西·模拟预测）若的展开式中常数项为，则的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）正项等差数列中，，则的最小值为（）
A．B．5C．D．6
3．（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（）
A．12B．C．D．
4．（24-25高三上·重庆·月考）已知，则的最小值是（）
A．B．
C．D．
5．（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·广东深圳·月考）已知，，则最小值为（）
A．B．4C．D．2
7．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知，，，且，则的最小值为（）
A．B．C．D．
8．（23-24高三上·江苏无锡·月考）已知正数，满是，则的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
9．函数f(x)＝(x>1)的最小值为．
10．（24-25高三下·浙江湖州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最大值为．
11．（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 .
12．（2024·河南濮阳·模拟预测）设实数x，y，z满足，则的最大值是．
13．已知正实数，满足，则的最小值为．
14．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的最小值为 .
15．（24-25高三上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 .

检测Ⅱ组创新能力提升
1．（2025·江苏盐城·三模）设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（）
A．1B．C．4D．2
2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则的最小值为（）
A．B．C．1D．
3．（23-24高三上·河北邢台·期末）设，若，则的最小值为（）
A．6B．C．D．4
4．（23-24高三下·江苏苏州·模拟预测）已知，，则的最大值为（）
A．B．C．D．
5．（2025·江苏淮安·模拟预测）（多选题）若满足，则（）
A．B．
C．D．
6．（24-25高三上·上海·月考）已知，若，则的最小值为 .
形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型
1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。
形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解
2、形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
一般情况下，复合或者能转化为型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值
多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性.
一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个：
从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；
从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等；
从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.
0