【二轮复习】高考数学 01 利用基本不等式求最值（重难点练习）（新高考专用）.zip

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\l "_Tc32730" 【题型1 直接法求最值】 PAGEREF _Tc32730 \h 2
\l "_Tc30383" 【题型2 配凑法求最值】 PAGEREF _Tc30383 \h 2
\l "_Tc3700" 【题型3 常数代换法求最值】 PAGEREF _Tc3700 \h 2
\l "_Tc9158" 【题型4 消元法求最值】 PAGEREF _Tc9158 \h 3
\l "_Tc6562" 【题型5 构造不等式法求最值】 PAGEREF _Tc6562 \h 3
\l "_Tc29573" 【题型6 多次使用基本不等式求最值】 PAGEREF _Tc29573 \h 4
\l "_Tc23715" 【题型7 实际应用中的最值问题】 PAGEREF _Tc23715 \h 4
\l "_Tc359" 【题型8 与其他知识交汇的最值问题】 PAGEREF _Tc359 \h 6
基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.
【知识点1 利用基本不等式求最值的方法】
1．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.
【知识点2 基本不等式的实际应用】
1．基本不等式的实际应用的解题策略
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.
【题型1 直接法求最值】
【例1】（2023上·北京·高一校考阶段练习）已知a>0，则a+1a+1的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式1-1】（2023·北京东城·统考一模）已知x>0，则x-4+4x的最小值为（ ）
A．－2B．0C．1D．22
【变式1-2】（2023上·山东·高一统考期中）函数y=x2-x+9x（x>0）的最小值为（ ）
A．1B．3C．5D．9
【变式1-3】（2023下·江西·高三校联考阶段练习）3+1x21+4x2的最小值为（ ）
A．93B．7+42C．83D．7+43
【题型2 配凑法求最值】
【例2】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知a>1，则a+16a-1的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式2-1】（2023上·吉林·高一校考阶段练习）已知x>3，则y=2x-3+2x的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式2-2】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）设x>2，则函数y=4x-1+4x-2，的最小值为（ ）
A．7B．8C．14D．15
【变式2-3】（2023上·辽宁·高一校联考期中）若x>0，y>0且满足x+y=xy，则2xx-1+4yy-1的最小值为（ ）
A．6+26B．4+62C．2+46D．6+42
【题型3 常数代换法求最值】
【例3】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知a>0，b>0，若 2a + 3b =1，则 2a+b3 的最小值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式3-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，点M1,4在直线xa+yb=1上，则a+b的最小值为（ ）
A．4B．6C．9D．12
【变式3-2】（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足2x+8y-xy=0，则2x+y的最大值为（ ）
A．25B．16C．37D．19
【变式3-3】（2023·重庆·统考一模）已知a，b为非负实数，且2a+b=1，则2a2a+1+b2+1b的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型4 消元法求最值】
【例4】（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）已知正数x，y满足3x-4=9y，则x+8y的最小值为 .
【变式4-1】（2023上·安徽池州·高一统考期中）已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，则x+2y的最小值为
.
【变式4-2】（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小值为 .
【变式4-3】（2023·上海崇明·统考一模）已知正实数a, b, c, d满足a2 -ab+1=0，c2 +d2 =1，则当(a-c)2 +(b-d)2取得最小值时，ab= ．
【题型5 构造不等式法求最值】
【例5】（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为8
B．1a-1+2b-2的最小值为2
C．a+b有最小值3+2
D．a2-2a+b2-4b有最大值4
【变式5-1】（2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中）已知x>0，y>0，且x+y+xy-3=0；则下列结论正确的是（ ）
A．xy的最小值是1B．x+y的最小值是2
C．x+4y的最小值是8D．x+2y的最大值是42-3
【变式5-2】（2023上·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若x>2，则函数y=x+1x-1的最小值为3
B．若x>0，y>0，3x+1y=5，则5x+4y的最小值为5
C．若x>0，y>0，x+y+xy=3，则xy的最小值为1
D．若x>1，y>0，x+y=2，则1x-1+2y的最小值为3+22
【变式5-3】（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设正实数x,y满足x+2y=3，则下列说法错误的是（ ）
A．yx+3y的最小值为4B．xy的最大值为98
C．x+2y的最大值为2D．x2+4y2的最小值为92
【题型6 多次使用基本不等式求最值】
【例6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2b，则a+b的最小值为（ ）
A．5B．52C．52D．522
【变式6-1】（2023·山东菏泽·统考一模）设实数x,y满足x+y=1，y>0，x≠0，则1x+2xy的最小值为（ ）
A．22-1B．22+1C．2-1D．2+1
【变式6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，则当4y+1z取得最小值时，y+z的值为（ ）
A．1B．32C．2D．52
【变式6-3】（2023上·辽宁大连·高一期末）若a>0,b>0,a+b=1，则a2+3aba+2b+2b+1-1b的最大值为（ ）
A．2B．2-2C．3-2D．3-22
【题型7 实际应用中的最值问题】
【例7】（2023上·四川眉山·高一校联考期中）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）.
(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；
(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.
【变式7-1】（2023上·山东·高一校联考期中）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x米.2≤x≤6
(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.
(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900ax+2x元(a>0)（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.
【变式7-2】（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的13．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米(1≤x≤5)．
(1)记y为甲工程队整体报价，求y关于x的关系式；
(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为4800t(x+1)x元，问是否存在实数t，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由．
【变式7-3】（2023上·重庆·高一校考阶段练习）为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为36000cm2的矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设DC=xcm．
(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；
(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（AD和CD分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．
【题型8 与其他知识交汇的最值问题】
【例8】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c+bcs2A=2acsAcsBA≤B.
(1)求A；
(2)若角A的平分线交BC于D点，且AD=1，求△ABC面积的最小值.
【变式8-1】（2023上·安徽铜陵·高二校联考期中）已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9π．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l，l'都经过点(0,2)，且l⊥l'，直线l交圆C于M，N两点，直线l'交圆C于P，Q两点，求四边形PMQN面积的最大值．
【变式8-2】（2023上·江苏盐城·高一校考阶段练习）已知在定义域内单调的函数fx满足ffx+12x+1-lnx=23恒成立．
(1)设fx+12x+1-lnx=k，求实数k的值；
(2)解不等式f7+2x>-2x2x+1+ln-ex；
(3)设gx=fx-lnx，若gx≥mg2x对于任意的x∈1,2恒成立，求实数m的取值范围．
【变式8-3】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是长方形A1B1C1D1内一点，∠APC是二面角A-PD1-C的平面角.
(1)证明：点P在A1C1上；
(2)若AB=BC，求直线PA与平面PCD所成角的正弦的最大值.
1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足x2+y2-xy=1，则（ ）
A．x+y≤1B．x+y≥-2
C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1
2．（2020·山东·统考高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．a2+b2≥12B．2a-b>12
C．lg2a+lg2b≥-2D．a+b≤2
3．（2020·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
4．（2021·天津·统考高考真题）若a>0,b>0，则1a+ab2+b的最小值为 ．
5．（2020·天津·统考高考真题）已知a>0, b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为 ．
6．（2020·江苏·统考高考真题）已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是 ．
7．（2019·天津·高考真题）设x>0, y>0, x+2y=5，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 .
8．（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 ．