专题03 解三角形及其应用（题型清单）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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题型1 解单个三角形
1（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，ccsB−(2a−b)csC=0，则角C=（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
2（2025高三·全国·专题练习）已知△ABC的三边a,b,c满足1a+b+1b+c=3a+b+c，则cs2B=（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
3（多选）（2025·河北·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c.若b=4，∠C=π3，则（ ）
A．c=3时，△ABC只存在一个B．c=23时，△ABC的面积为23
C．c=33时，△ABC是锐角三角形D．c=43时，△ABC外接圆周长为16π
4（2025·全国·二模）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2asinC+π4
(1)求A；
(2)若a=1,△ABC的面积为2，求△ABC的周长.
题型2 解多个三角形
1（2025·云南玉溪·模拟预测）在△ABC中，D是边BC上的点，且AC=CD,AB=2AC=3AD，则sinB=（ ）
A．23B．33C．66D．36
2（2025·安徽蚌埠·三模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若DF=2，sin∠BAD=3314．则BD=（ ）
A．3B．2C．3D．2
3（2025·浙江绍兴·二模）在等腰直角三角形ABC中，B=π2．P为其内部一点，满足∠APC=3π4，∠APB=2π3，则∠PAB的正切值为（ ）
A．6−311B．12C．7−711D．6−312
4（2025·山东潍坊·二模）在△ABC中，AC=32AB，D为边BC上一点，满足BD=2DC，以A, D为焦点作一个椭圆G，若G经过B, C两点，则G的离心率为（ ）
A．13B．12C．33D．22
5（2025·福建福州·一模）在△ABC中，AB=2，D为AB的中点，CD=3.
(1)若BC=6，求AC的长；
(2)若∠BAC=2∠BCD，求AC的长.
题型3 三角形中的角平分线、中线、垂线问题
1（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）在锐角△ABC中，AB=AC，M是AB的中点，CM=54，过点C做AB的垂线，垂足是H，CH=12，则AB=（ ）
A．106B．56C．22D．1
2（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在△ABC中，AB=4，AC=6，csB=18.若△ABC的角平分线AD交边BC于点D，则AD=（ ）
A．125B．835C．95D．32
3（2025·福建·模拟预测）在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，A的角平分线AD交BC边于点D．若2b+c=2acsC，b=2，c=1，则BD=（ ）
A．1B．37C．73D．73
4（2025·湖南邵阳·模拟预测）在△ABC中，点M，N在边BC上，AM为边BC上中线，AN为∠A平分线，若∠A=π3，AM=212，△ABC的面积等于3，则AN=（ ）
A．25B．235C．45D．435
5（2025·海南海口·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=b,c，n=csB,sinC，m//n，若c=3，a=6，则AC边上的中线BD为（ ）
A．62B．3C．152D．102
6（（2025·广东·模拟预测））已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且csCcsA+c−2ba=0．
(1)求A；
(2)若a=6，
①求△ABC周长的取值范围；
②若AD为BC边上的中线，AD=4，求△ABC的面积．
题型4 外接圆、内切圆问题
1（2025·海南海口·一模）在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且12c=b−acsC，若△ABC的外接圆直径为433.则a的值为（ ）
A．3B．2C．23D．4
2（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若1tanB+1tanC=3bc⋅sinA，且△ABC的外接圆面积为π，则A=（ ）
A．π6B．π4C．π3D．π2
3（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知梯形ABCD的外接圆直径为4213，AB=6，AD>2，∠ABC=π3，则梯形ABCD的内切圆半径为（ ）
A．2B．3C．2D．22
4（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中，若BD=2DC，BC=6，过点D作边BC的垂线l，若△ABC的内心M在直线l上，则tanB的取值范围为（ ）
A．22,+∞B．3,+∞C．0,22D．0,3
5（24-25高三上·湖南·期中）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcsC+ccsB=2,A=π3，则△ABC的内切圆半径的最大值为（ ）
A．22B．33C．32D．1
6（2025·江苏·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，b=3,a=2c．
(1)若csB=18，求ΔABC的周长；
(2)若△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R，求r⋅R的取值范围．
题型5 实际问题中的长度测量
1（24-25高三·湖北武汉·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度MN，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为26m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，黄鹤楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ）

A．48mB．51mC．52mD．54m
2（2025·湖北荆州·模拟预测）如图，A,B,C为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶P的仰角分别为α,β,γ，计划沿直线AC开通隧道DE，设AD,EB,BC的长度分别为a,b,c.为了测出隧道DE的长度，还需直接测出（ ）的值.
A．a和bB．b和cC．a和cD．a,b,c三者
3（24-25高二下·云南玉溪·期中）如图，A，B是海面上位于东西方向相距3+3海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点北偏西60°的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距43海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（ ）

A．1小时B．0.3小时C．0.5小时D．0.2小时
4（23-24高三·辽宁·期末）如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为α，β，γ．计划沿直线AC开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算：
(1)PB的长度
(2)隧道DE的长度．
题型6 实际问题中的角度测量
1（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东30°，距离为6海里，灯塔C在A的北偏东60°，距离为63海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向，则此时灯塔C位于渔船的（ ）
A．北偏东60°方向B．北偏西30°方向C．北偏西60°方向D．北偏东30°方向
2（24-25高一下·浙江衢州·期中）灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面C处测得塔在南偏东30∘的方向上，向正南方向行走152后到达D处，测得塔在南偏东75∘的方向上，D处测得塔尖A的仰角为60∘，则可得龙洲塔高度为（ ）
A．152B．1526+2C．153D．1526−2
3（20-21高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50m，sin15°=6−24，且山坡对于地平面的坡度为θ，则csθ等于（ ）

A．32B．22C．3−1D．2−1
4（多选）（24-25高三下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动.他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点A处测得河对岸点B位于点A的南偏西45°的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点C，D，E，使点B，C，D共线，点B位于点D的正西方向上，点C位于点D的正东方向上，测得CD=CE=100m，∠BAD=75°，∠AEC=120°，AE=200m，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ）
A．AD=200mB．△ADC的面积为10003m2
C．AB=1006mD．点A在点C的北偏西30°方向上
5（24-25高三上·江苏徐州·期中）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距6+2海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以22海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以32海里/小时的速度沿着直线追击
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船
题型 7角或三角函数值的最值范围
1（24-25高三·全国·课后作业）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值（ ）
A．305B．3010C．439D．539
2（2025·河南许昌·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsA+bcsB=8ccsC，则tanB+tanC的最小值是（ ）
A．32B．332C．94D．33
3（24-25高一下·河北·期末）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若acsB+bcsA=4，AB边上的高为23，则角C的最大值为（ ）
A．π4B．π3C．5π12D．7π12
4（24-25高一下·浙江·期中）已知点O为△ABC外接圆的圆心，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a=4，若BO⋅AC=2，则当角C取到最大值时△ABC的面积为（ ）
A．23B．25C．10D．5
5（2025高三·全国·专题练习）在△ABC内，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2+b2≥4abcsC，且csA−B=16，则csC的取值范围是 ．
6（2024·山西·模拟预测）钝角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，若acsB=csinA，则sinA+2sinB的最大值是 .
题型 8边或周长的最值问题
1（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且3S=a2−(b−c)2，则bc的取值范围为（ ）
A．725,257B．725,+∞C．725,257D．2425,+∞
2（24-25高一下·湖北黄石·期末）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知tanC=1−sinAcsA，则a2−b2c2的取值范围是（ ）
A．−3,−2B．−3,−1C．−3,0D．−3,1
3（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在△ABC中，AB=3，D是BC的中点，且cs∠ADB=35，则边AC长度的最大值为 ．
4（2025·湖北武汉·三模）已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若A=π3,a≥b，则b2+c2bc的取值范围为 .
5（2025·海南·模拟预测）在△ABC中，角A, B, C所对应的边分别为a, b, c且满足csinAb−acsC=3．
(1)求A的大小；
(2)角A的平分线AD与边BC相交于点D，且AD=3，求2b+3c的最小值．
题型 9面积的最值问题
1（2025·广东佛山·三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A＝120∘，且A的内角平分线AD＝3，则△ABC面积的最小值为（ ）
A．2B．23C．3D．33
2（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知某三角形场地ABC是直角三角形，且AB=2 km，∠ABC =π2，∠ACB=π6，现要在此场地中修建一正三角形形状（如图△MNP）的人工湖，该正三角形的顶点位于场地的边界线上，则△MNP的面积最小值为 km2.
3（2025·河北衡水·模拟预测）已知△ABC为等腰三角形，点D为腰AC上靠近顶点A的三等分点，BD长为2，则该三角形面积的最大值为 ．
4（24-25高一下·黑龙江大庆·阶段练习）设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆圆心为O，且(b+c+a)(b+c−a)=3bc，b=2．
(1)求BO⋅AC的取值范围；
(2)求△OAC和△OBC面积之差的最大值．
题型 10 证明三角形中的恒等式或不等式
1（多选）（2023·山西阳泉·三模）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sinA=csB=tanC，则下列说法正确的是（ ）
A．A+B=π2B．2A+C=3π2C．a>bD．c>b
2（多选）（23-24高二上·福建福州·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列与△ABC有关的结论，正确的是（ ）
A．若a=2，A=30°，则b+2csinB+2sinC=433
B．若acsA=bcsB，则△ABC是等腰直角三角形
C．若△ABC是锐角三角形，则csA0,ω>0,0