【2026中考】数学核心考点精讲精练-考点13二次函数的应用（学生版+名师详解版）

这是一份【2026中考】数学核心考点精讲精练-考点13二次函数的应用（学生版+名师详解版），共54页。试卷主要包含了，跨度为4米，根据以下素材，探索完成任务，满足二次函数等内容，欢迎下载使用。
1．（2025·广东深圳·校考模拟预测）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．有下列结论：
①；②池底所在抛物线的解析式为；③池塘最深处到水面的距离为；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（2025·山西大同·校联考模拟预测）生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强；在最适温度时，酶的活性最强；超过一定温度范围，酶的活性又随温度的开高逐渐减弱，甚至会失去活性现已知某种酶的活性值（单位：）与温度（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度为最适宜温度时，该种酶的活性值为 ．

3．（2025·广东深圳·校考模拟预测）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．

下面是小红的探究过程，请补充完整：
(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．
在d和h这两个变量中，______是自变量，______是这个变量的函数；
(2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；
(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：①求该函数的解析式：②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米?（，精确到0.1米）

4．（2025·山东临沂·统考一模）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为、高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：）。(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围

5．（2025·浙江温州·校联考三模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设置“绿波带”？
素材1：某市为新路段设置“绿波带”，车辆驶入绿波带后，若以一定速度行驶，到达下个路口时会遇到绿灯，可节约能源．如图，，两路口停车线之间距离为米，两个交通信号灯的绿灯持续时间均为秒，处绿灯亮起秒后处绿灯第一次亮起．

素材2：第1辆车的车头与停车线平齐，后面相邻两车的车头相距米，绿灯亮起时第一辆车立即启动，后面每一辆车在前一辆车启动秒后再启动．车辆启动后，先加速，到一定速度后匀速行驶．在加速阶段，汽车的速度与时间的关系如下表所示，行驶路程与速度、时间的关系满足．
素材3：路口车流量显示：绿灯持续时间应少于秒（为整数），每一次绿灯一个车道内能通过的等候车辆数为辆（车头超过停车线即为通过），且每辆车加速通过路口．
任务1：用含的代数式表示，并求关于的函数表达式：
任务2：求第辆车从启动到车头到达停车线的时间以及绿灯持续时间的值．
任务3：路口绿灯亮起后，第一辆车的匀速车速处于什么范围时，可在路口绿灯第一次亮起期间通过停车线？
6．（2025·河南周口·校联考三模）放风筝是人们喜爱的户外运动，我国很多城市有风筝节．潍坊风筝节上放飞中国空间站并实现神舟号与空间站的对接让渺渺震撼不已，并打算仿制一个水母风筝．如图所示，水母的头部是一个近似的抛物线，渺渺以白纸的左下角为原点 建立了一个直角坐标系并在其中绘制了连续的几个水母头部．若最左侧的抛物线可以用表示．抛物线上、两点到纸的最底端距离均为，到纸的左侧的距离分别为．
(1)求第一个抛物线的函数关系式并求出图案最高点到纸的最底端距离；
(2)如果这张纸长为，渺渺最多可以连续绘制几个水母头部的图案?

7．（2025·安徽·统考模拟预测）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了了解制造车间某型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，得出汽车A刹车后刹车距离y（单位：m）与刹车时的速度x（单位：）满足二次函数．测得部分数据如下表：
(1)求刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；
(2)有一辆该型号汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请问司机是否因为超速行驶导致了交通事故？请说明理由；(3)制造车间生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：）满足：，若刹车时车速满足在 范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围．
8．（2025·河南洛阳·校联考一模）如图，是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段是竖直高度为6米的平台，滑道分为两部分，其中段是双曲线，段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，B点的竖直高度为2米，滑道与水平面的交点D距的水平距离为8米，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，距直线的水平距离为x．
(1)请求出滑道段y与x之间的函数关系式；(2)当滑行者滑到C点时，距地面的距离为1米，求滑行者此时距滑道起点A的水平距离；(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于，，求长度的取值范围．

9．（2025·安徽滁州·校考二模）北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点做水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小刘从点正上方点滑出，滑出后沿一段抛物线 运动．
(1)小山坡最高处的高度是 米；(2)小刘在某次训练中，滑到离处的水平距离为6米时，达到滑行的最大高度米（相对于水平线），在这次训练中，当小刘滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？(3)小刘若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．
10．（2025·江苏泰州·校考二模）如图，已知抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，且．(1)求抛物线的函数表达式：(2)如图，点是抛物线顶点，点是在第二象限抛物线上的一点，分别连接、、，若，求的值；(3)如图，若的角平分线交轴于点，过点的直线分别交射线、于点、（不与点A重合），则的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值．

11．（2025·福建宁德·统考一模）如图1，抛物线与直线（是常数）交于A，B两点（点A在点B的左边），且是直角三角形．(1)求的值；(2)如图2，将抛物线向下平移，得到抛物线，若抛物线与直线交于C，D两点（点C在点D的左边），与x轴正半轴交于点E．求证：是直角三角形；(3)如图3，若抛物线（）与直线交于M，N两点（点M在点N的左边），点K在抛物线上，当是直角三角形时，直接写出点K的坐标．（用含，的代数式表示）

12．（2025·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当点D在直线上方时，作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标；(3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点Q的坐标．

13．（2025·广东茂名·统考二模）如图，在直角坐标系中有一直角三角形，为坐标原点，，，将此三角形绕原点逆时针旋转，得到，抛物线经过点、、．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由．②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接，交于，直接写出当与相似时，点P的坐标．
14．（2025·湖北武汉·校联考模拟预测）已知抛物线与轴交于、两点点在左侧．
(1)，、分别交抛物线于、两点，的解析式为点在第一象限，的解析式为，直接写出的值点在第三象限；
(2)在（1）的条件下，若，求证：一定与定直线平行；
(3)若，、、都在抛物线上，且四边形为平行四边形，求证：必过一定点．

限时检测2：最新各地中考真题（50分钟）
1．（2025年江苏省南通市中考数学真题）如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）

A．54B．52C．50D．48
2．（2025年湖北省襄阳市中考数学真题）如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 （填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．

3．（2025年辽宁省沈阳市中考数学真题）如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 时，羊圈的面积最大．

4．（2025年浙江省绍兴市中考数学真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．

5．（2025·山东滨州·统考中考真题）如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为 米．

6．（2025年山东省潍坊市中考数学真题）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．

(1)从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；(2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
7．（2025年浙江省衢州市中考数学真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．

(1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围），
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．①当时，求出此时龙舟划行的总路程，
②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．
8．（2025年黑龙江省大庆市中考数学真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．(1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
(2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．

9．（2025年湖北省黄石市中考数学真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．(1)求，的值；(2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式．当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元?
当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．
10．（2025年湖北省黄石市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；
(3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．

11．（2025年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点是轴上方抛物线上一点，射线轴于点，若，且，请直接写出点的坐标．(3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积．
12．（2025年山东省济南市中考数学真题）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．
(1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标；(2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标；(3)若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围．

13．（2025年四川省内江市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
14．（2025年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．

考点13. 二次函数的应用（精练）
限时检测1：最新各地模拟试题（50分钟）
1．（2025·广东深圳·校考模拟预测）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．有下列结论：
①；②池底所在抛物线的解析式为；③池塘最深处到水面的距离为；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④．
【详解】解：①观察图形可知，，故①正确；
②设池底所在抛物线的解析式为，
将代入，可得，故抛物线的解析式为；故②正确；
③，当时，，
故池塘最深处到水面的距离为，故③错误；
④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12时，
将代入，得，可知此时最深处到水面的距离为，
即为原来的，故④正确．故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的实际应用，体现了数学建模、数学抽象、数学运算素养．
2．（2025·山西大同·校联考模拟预测）生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强；在最适温度时，酶的活性最强；超过一定温度范围，酶的活性又随温度的开高逐渐减弱，甚至会失去活性现已知某种酶的活性值（单位：）与温度（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度为最适宜温度时，该种酶的活性值为 ．

【答案】240
【分析】化为顶点式求解即可．
【详解】解：，
∵，∴抛物线开口向下，当时，的最大值为，
故当温度为时，该种酶的活性值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．
3．（2025·广东深圳·校考模拟预测）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．

下面是小红的探究过程，请补充完整：
(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．
在d和h这两个变量中，______是自变量，______是这个变量的函数；
(2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；
(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：①求该函数的解析式：②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米?（，精确到0.1米）

【答案】(1)d，h(2)见解析(3)①；②C处距桥墩的距离至少为0.7米
【分析】根据函数的定义进行判断作答即可（2）①待定系数法求解析式即可；②令，代入求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数
故答案为：d，h；
（2）解：描点，连线，作图如下；
（3）①解：设二次函数的解析式为，
把，代入得：，解得：，
∴二次函数的解析式为；
②解：令，得：，解得
或，∴则C处距桥墩的距离至少为0.7米．
【点睛】本题考查了函数的定义，二次函数解析式，二次函数的图象，二次函数的应用．解题的关键在于正确的求二次函数解析式．
4．（2025·山东临沂·统考一模）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为、高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：）

(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围
【答案】(1)，米(2)(3)
【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；（2）过点H作轴，交上边缘抛物线于点M，当时，则
解得：，，则，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标；（3）根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案．
【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，设，
又抛物线过点，，，上边缘抛物线的函数解析式为；
令，则解得：，∴米．
（2）解：如图，过点H作轴，交上边缘抛物线于点M，
对于上边缘抛物线，当时，
则解得：，，则，
∵下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，∴点B是点C向左平移得到，
由（1）知米，∴(米)点的坐标为；
（3）解：，点的纵坐标为，，解得，
，，当时，随的增大而减小，
当时，要使，则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，的最小值为2，
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题是二次函数实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，二次函数的图象的平移，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题关键．
5．（2025·浙江温州·校联考三模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设置“绿波带”？
素材1：某市为新路段设置“绿波带”，车辆驶入绿波带后，若以一定速度行驶，到达下个路口时会遇到绿灯，可节约能源．如图，，两路口停车线之间距离为米，两个交通信号灯的绿灯持续时间均为秒，处绿灯亮起秒后处绿灯第一次亮起．

素材2：第1辆车的车头与停车线平齐，后面相邻两车的车头相距米，绿灯亮起时第一辆车立即启动，后面每一辆车在前一辆车启动秒后再启动．车辆启动后，先加速，到一定速度后匀速行驶．在加速阶段，汽车的速度与时间的关系如下表所示，行驶路程与速度、时间的关系满足．
素材3：路口车流量显示：绿灯持续时间应少于秒（为整数），每一次绿灯一个车道内能通过的等候车辆数为辆（车头超过停车线即为通过），且每辆车加速通过路口．
任务1：用含的代数式表示，并求关于的函数表达式：
任务2：求第辆车从启动到车头到达停车线的时间以及绿灯持续时间的值．
任务3：路口绿灯亮起后，第一辆车的匀速车速处于什么范围时，可在路口绿灯第一次亮起期间通过停车线？
【答案】任务1：，；任务2：第辆车从启动到车头到达停车线的时间为秒，绿灯持续时间的值为24；任务3：当米/秒时，可在路口绿灯第一次亮起期间通过停车线
【分析】任务１：根据题意可知，代入进行计算即可；
任务2：，求出的值，再计算总时间即可；
任务3：设加速阶段时用为秒，则匀速阶段速度为米/秒，令，以及，分别求解即可求出．
【详解】任务1：解：由表格可知，，∴．
任务2：解：，∴加速时间秒（），
∵为整数，，∴总时间为秒秒，∴，
∴第辆车从启动到车头到达停车线的时间为秒，绿灯持续时间的值为24．
任务3：解：由题意，第一辆车启动至到达绿灯所需时间满足秒
设加速阶段用时为秒，则匀速阶段速度为米/秒
令，解得：（舍去），，
∴匀速阶段速度为米/秒令，
解得：（舍去），∴匀速阶段速度为米/秒
∴当米/秒时，可在路口绿灯第一次亮起期间通过停车线．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的求解，根据题意列出方程是解题的关键．
6．（2025·河南周口·校联考三模）放风筝是人们喜爱的户外运动，我国很多城市有风筝节．潍坊风筝节上放飞中国空间站并实现神舟号与空间站的对接让渺渺震撼不已，并打算仿制一个水母风筝．如图所示，水母的头部是一个近似的抛物线，渺渺以白纸的左下角为原点 建立了一个直角坐标系并在其中绘制了连续的几个水母头部．若最左侧的抛物线可以用表示．抛物线上、两点到纸的最底端距离均为，到纸的左侧的距离分别为．

(1)求第一个抛物线的函数关系式并求出图案最高点到纸的最底端距离；
(2)如果这张纸长为，渺渺最多可以连续绘制几个水母头部的图案?
【答案】(1)第一个抛物线的函数关系式为，图案最高点到纸的最底端距离为
(2)渺渺最多可以连续绘制个水母头部的图案
【分析】（）根据题意求得，，，，解方程组求得拋物线的函数关系式为；根据抛物线的顶点坐标公式得到结果；
（）令，即，解方程得到，，即可得到结论．
【详解】（1）根据题意得：，，，，把，代入
得，解得：，拋物线的函数关系式为；
图案最高点到地面的距离；
（2）令，即，，，，
最多可以连续绘制个水母头部的图案．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（2025·安徽·统考模拟预测）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了了解制造车间某型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，得出汽车A刹车后刹车距离y（单位：m）与刹车时的速度x（单位：）满足二次函数．测得部分数据如下表：
(1)求刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；
(2)有一辆该型号汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请问司机是否因为超速行驶导致了交通事故？请说明理由；(3)制造车间生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：）满足：，若刹车时车速满足在 范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围．
【答案】(1)(2)该司机是因为超速行驶导致了交通事故，理由见解析(3)
【分析】（1）把，代入可得刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为；（2）结合（1）令得：或（舍去），根据，即可得到答案；（3）由题意得 ，可解得答案．
【详解】（1）把，代入得：，解得，
∴刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为；
（2）该司机是因为超速行驶导致了交通事故，理由如下：
在中，令得：，解得：或（舍去），
∵，∴该司机是因为超速行驶导致了交通事故；
（3）∵，汽车B刹车距离的函数图象更靠近y轴，
由题意得 ，解得：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数解析式．
8．（2025·河南洛阳·校联考一模）如图，是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段是竖直高度为6米的平台，滑道分为两部分，其中段是双曲线，段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，B点的竖直高度为2米，滑道与水平面的交点D距的水平距离为8米，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，距直线的水平距离为x．

(1)请求出滑道段y与x之间的函数关系式；(2)当滑行者滑到C点时，距地面的距离为1米，求滑行者此时距滑道起点A的水平距离；(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于，，求长度的取值范围．
【答案】(1)滑道段y与x之间函数关系式为
(2)滑行者距滑道起点的水平距离为米(3)
【分析】（1）由B在双曲线上，且根据题意，得到，由B为抛物线的最高点，可设抛物线的解析式为，滑道与水平面的交点D距的水平距离为8米，得到点D的坐标为，把代入得，，解得，即可得到抛物线的解析式；（2）依据前面的解析式求出A、C的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
（3）先判断的最小值，再根据已知求出最大值即可．
【详解】（1）解：B在双曲线上，且根据题意，∴，
∵B为抛物线的最高点，则设抛物线的解析式为，
∵滑道与水平面的交点D距的水平距离为8米，∴点D的坐标为，
把代入得，，解得，
∴滑道段y与x之间函数关系式为；
（2）令上式时，则，解得，（不合题意，舍去），
∴，将代入中得，∴，
∴，此时滑行者距滑道起点的水平距离为米；
（3）解： 根据上面所得，当时，，此时，
则D点不可往左，可往右，的最小值为8，
又∵，∴，∴．∴长度的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数的实际应用，用到了待定系数法求二次函数解析式、求函数图象上点的坐标等知识，数形结合是解题的关键．
9．（2025·安徽滁州·校考二模）北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点做水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小刘从点正上方点滑出，滑出后沿一段抛物线 运动．
(1)小山坡最高处的高度是 米；(2)小刘在某次训练中，滑到离处的水平距离为6米时，达到滑行的最大高度米（相对于水平线），在这次训练中，当小刘滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？(3)小刘若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．
【答案】(1)7(2)运动员与小山坡的竖直距离为米(3)跳台滑出点的最小高度为2米
【分析】（1）由的顶点为，即可解得答案．（2）设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意列出方程，解出即可；（3）先求出，再根据与坡顶距离不低于3米列出关于的不等式，即可解得答案．
【详解】（1）故答案为：7；
（2）小刘滑到离处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为米，
的顶点为，，，解得，
设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，
依题意得：，
整理得：，解得：，（舍去），
运动员运动的水平距离为9米时，运动员与小山坡的竖直距离为米；
（3）抛物线，
当时，运动员到达坡顶，，解得，，
与坡顶距离不低于3米，，解得：．跳台滑出点的最小高度为2米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合．
10．（2025·江苏泰州·校考二模）如图，已知抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，且．(1)求抛物线的函数表达式：(2)如图，点是抛物线顶点，点是在第二象限抛物线上的一点，分别连接、、，若，求的值；(3)如图，若的角平分线交轴于点，过点的直线分别交射线、于点、（不与点A重合），则的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值．

【答案】(1)；(2)；(3)不变，．
【分析】（1）利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；（2）如图，过作于，连接，先求顶点，证明，，则，再列方程求解即可；（3）过作轴交于，过作轴交于，过作轴交于，证明，，可得，同理可得：，从而可得答案．
【详解】（1）解：抛物线与、轴分别交于、两点
设抛物线为：，，，
把点代入，，解得
所以抛物线解析式为；
（2）解：如图，过作于，连接，

，顶点，
，，，
，，，，
，
，，，，，，
，经检验是方程的解且符合题意；即的值为；
（3）解：不变，求解过程如下：
过作轴交于，过作轴交于，过作轴，如图：
∵轴，轴，轴，，
∴，，，
，，
平分，，，
，同理可得：，
由（1）可知：，，，，
，为定值不变．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，锐角三角函数的应用，勾股定理及其逆定理的应用，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
11．（2025·福建宁德·统考一模）如图1，抛物线与直线（是常数）交于A，B两点（点A在点B的左边），且是直角三角形．(1)求的值；(2)如图2，将抛物线向下平移，得到抛物线，若抛物线与直线交于C，D两点（点C在点D的左边），与x轴正半轴交于点E．求证：是直角三角形；(3)如图3，若抛物线（）与直线交于M，N两点（点M在点N的左边），点K在抛物线上，当是直角三角形时，直接写出点K的坐标．（用含，的代数式表示）

【答案】(1)4；(2)见解析；(3)或．
【分析】（1）设与y轴的交点为P．可得是等腰直角三角形，进而可得点B的坐标为．将其代入即可求解；（2）分别过点C，D作轴于点H，轴于点Q．可通过证求证，也可通过勾股定理的逆定理求证；（3）设平移后得到．过点作x轴的平行线l3，分别过点M'，N'作于点L，于点T．证即可求解．
【详解】（1）解：如图1，设与y轴的交点为P．
∵平行于x轴，的图象关于y轴对称，∴

∵是等腰直角三角形．∴．∴．∴点B的坐标为．
∵点B在抛物线上，∴．∵，∴．
（2）证明：如图2，分别过点C，D作轴于点H，轴于点Q．
联立 解得
∴点C的坐标为，点D的坐标为
将代入，解得，(舍去)．
∴点E的坐标为∴，，，．
证法一：∵，∴．∴．
∵，∴．∴．
∵．∴．∴．∴是直角三角形．
证法二：在中，根据勾股定理，得．
同理可得 ．∴．
∵∴．∴是直角三角形．
（3）解：点K的坐标为，或．
将抛物线向左平移h个单位得到抛物线．设平移后得到，
如图3．过点作x轴的平行线l3，分别过点M'，N'作于点L，于点T．

联立 解得
∴点M'的坐标为(，)，点N'的坐标为(，)．
设的坐标为(，)，．∴．
易证．∴．
即．∴．
∵，∴．∴点的纵坐标为，即点的纵坐标为．
解方程，得．∴点K的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．需要学生熟练掌握二次函数的各项性质．
12．（2025·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当点D在直线上方时，作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标；(3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点Q的坐标．

【答案】(1)(2)(3)，，，
【分析】（1）将B，C两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可求出直线的解析式，由可证明，作于H，则，设点D的横坐标为t，分别表达和，建立方程即可得出结论；
（3）若四边形为正方形，则是等腰直角三角形，且，根据题意画出对应图形，利用全等三角形建立方程，即可得出结论．
【详解】（1）经过点，点
解得抛物线的函数解析式为：
（2）轴， 轴， ，，，，
设直线的解析式为，将，代入得其解析式得，
，解得，，∴直线的解析式为
作于H，如图，则

设点D的横坐标为t，则，，
，
解得（舍），
（3）∵，∴抛物线的对称轴为，
若四边形为正方形，则是等腰直角三角形，且，
设点D的横坐标为n，则，
如图2，过点D作于点M，设直线l与x轴交于点N，
则，，，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，解得或，
当时，点D与点A重合，如图3，，则或，则；
当时，则；

如图4，过点D作于点M，设直线l与x轴交于点N，
同理可证，，∴，
∴，∴，解得或，
当时，点D与点A重合，同上；当时，，则；
综上，点Q的坐标为：或或或
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法，等腰三角形的性质与判定，正方形的性质与判定等相关知识，解题关键是利用转化思想对已知信息进行转化，将转化为，将正方形的存在性转化为等腰直角三角形的存在性．
13．（2025·广东茂名·统考二模）如图，在直角坐标系中有一直角三角形，为坐标原点，，，将此三角形绕原点逆时针旋转，得到，抛物线经过点、、．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由．②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接，交于，直接写出当与相似时，点P的坐标．
【答案】(1)(2)①存在，最大值为，理由见解析；②或
【分析】（1）根据正切函数，可得，根据旋转的性质可得，据此求出A、B、C的坐标，再利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）①可求得直线的解析式，过作轴于点，交于点，可用表示出的长，当取最大值时，则的面积最大，可求得其最大值；②当时，，过点作轴于点，证明，得到，进而推出，则，解方程即可；当时，，此时，轴，则．
【详解】（1）解：在中，，，，
是由绕点逆时针旋转而得到的，．
，，的坐标分别为，，，
代入解析式得：，解得：，抛物线的解析式为；
（2）解：存在点使的面积最大，的面积有最大值为
理由如下：设直线解析式为，
把、两点坐标代入可得：，解得：，直线解析式为，
如图，过作轴，交轴于点，交直线于点，
点横坐标为，，，点在第二象限，点在点上方，
，
当时，有最大值，最大值为，

，
当有最大值时，的面积有最大值，，
综上可知，存在点使的面积最大，的面积有最大值为；
当时，，过点作轴于点，
∴，又∵，∴，
，，点的横坐标为，，
在第二象限，，，，
解得，，与在二象限，横坐标小于矛盾，舍去，
当时，，，
当时，，此时，轴，
当与相似时，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，解直角三角形，旋转的性质等等，解（1）的关键是利用旋转的性质得出，的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出．
14．（2025·湖北武汉·校联考模拟预测）已知抛物线与轴交于、两点点在左侧．
(1)，、分别交抛物线于、两点，的解析式为点在第一象限，的解析式为，直接写出的值点在第三象限；
(2)在（1）的条件下，若，求证：一定与定直线平行；
(3)若，、、都在抛物线上，且四边形为平行四边形，求证：必过一定点．

【答案】(1)(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）令，得，可得，，设交轴于点，交轴于点，可证得，得出，由一次函数图象与轴的交点坐标为，，即可求得答案；（2）联立方程组得，则，同理可得：，结合（1）的结论可得，进而可得，设的解析式为，可得，再由，可求得，即直线与直线平行．（3）设解析式，联立得，设，，，，由平行四边形的性质可得，，可求得，再由点在抛物线上，可得，即，解得：，故直线过定点．
【详解】（1）解：，令，得，
解得：，，，，，
设交轴于点，交轴于点，如图，，，

又，，，的解析式为点在第一象限，的解析式为点在第三象限，，，
点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，且，；
（2）证明：的解析式为，与抛物线的解析式联立得：，，则，同理可得：，
，由（1）知：，，
，，，，
设的解析式为，则，，
，，即，
，，解得：，
又，，即直线与直线平行，一定与定直线平行；
（3）证明：设解析式，与抛物线的解析式联立，得，
，设，，，，
，且四边形为平行四边形，，，
，，
，，，
点在抛物线上，，
，解得：，直线过定点．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
限时检测2：最新各地中考真题（50分钟）
1．（2025年江苏省南通市中考数学真题）如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）

A．54B．52C．50D．48
【答案】B
【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值．
【详解】解：当时，由题意可知，，
在中，由勾股定理得，
设，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，即，解得，
，，当时，由题意可知，，
设，，
在中，由勾股定理得，
在中由勾股定理得，
中，由勾股定理得，即， 解得，，
，．故选：B．

【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题．
2．（2025年湖北省襄阳市中考数学真题）如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 （填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．

【答案】①
【分析】先求的顶点为，再求时的值即可判断．
【详解】解：由的顶点为，
得篮球行进过程中距离地面的最大高度为，即①正确；
由当时，，即②不正确；故答案为：①．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的应用，充分利用函数表达式是关键．
3．（2025年辽宁省沈阳市中考数学真题）如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 时，羊圈的面积最大．

【答案】15
【分析】设为，则，根据矩形的面积公式可得关于x的二次函数关系式，配方后即可解．
【详解】解：设为，面积为，
由题意可得：，
当时，取得最大值，即时，羊圈的面积最大，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
4．（2025年浙江省绍兴市中考数学真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．

【答案】或
【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】由，当时，，∴，
∵，四边形是矩形，∴，
①当抛物线经过时，将点，代入，
∴解得：
②当抛物线经过点时，将点,代入，
∴解得：
综上所述，或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
5．（2025·山东滨州·统考中考真题）如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为 米．

【答案】
【分析】由题意可得，抛物线的顶点，经过点，设抛物线解析式为：，求解即可．
【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，设抛物线解析式为：
将代入可得：，解得 即
将代入得，， 故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得抛物线的解析式．
6．（2025年山东省潍坊市中考数学真题）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．

(1)从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；(2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
【答案】(1)场景A中随变化的函数关系为，场景B中随变化的函数关系为(2)场景B
【分析】（1）由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，将，代入，进而可得；场景B中随变化的函数关系为，将代入，进而可得；
（2）场景A中当时，；场景B中，将代入，解得，,判断作答即可．
【详解】（1）解：由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，
将，代入，得，解得，
∴；场景B中随变化的函数关系为，
将，代入，得，解得，∴；
（2）解：场景A中当时，；
场景B中，将代入，得，解得，
∵，∴该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．
【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式，二次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
7．（2025年浙江省衢州市中考数学真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．

(1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围），
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．①当时，求出此时龙舟划行的总路程，
②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．
【答案】(1) (2)①龙舟划行的总路程为；②该龙舟队能达标．
(3)该龙舟队完成训练所需时间为
【分析】（1）把代入 得出的值，则可得出答案；（2）①设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案；②把代入，求得，则可得出答案；（3）由（1）可知，把代入，求得．求出，则可得出答案．
【详解】（1）把代入 得，解得，
启航阶段总路程关于时间的函数表达式为；
（2）①设，把代入，得，解得，．
当时，．当时，龙舟划行的总路程为．
②，把代入，得．，该龙舟队能达标．
（3）加速期：由（1）可知，把代入，得．
函数表达式为，把代入，解得．
，．
答：该龙舟队完成训练所需时间为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键．
8．（2025年黑龙江省大庆市中考数学真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．(1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
(2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．

【答案】(1)
(2)当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为．
【分析】（1）由可表示出的长，由，可表示出，，，，，的长，进而可求出与之间的函数关系式；
（2）根据（1）中相关数据列出函数解析式，然后利用函数的性质解答．
【详解】（1）∵四边形是矩形，∴，
∵，∴．
∵，是边的中点，∴，，
∵，∴，∴．
∵点、、分别是边、的中点，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴；
（2）设面积为S，则，
∴当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键．
9．（2025年湖北省黄石市中考数学真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．(1)求，的值；(2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式．当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元?
当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；(2)，；．
【分析】（）用待定系数法求出，的值即可；（）当，根据利润(售价成本)设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值；
当时，关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论．
【详解】（1）把时，；时，代入得：
，解得：，；
（2）设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，，
∴，，，
∵，，∴当时，取得最大值，最大值为，
∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元；
当时，，∴，
∴，则与的函数图象如图所示：

由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，
∴当，时，，当，时，，∴的取值范围．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
10．（2025年湖北省黄石市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；
(3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．

【答案】(1)；(2)；(3)．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）在中，，则，得到直线的表达式为：，进而求解；（3）作，证明且相似比为，故当、、共线时，为最小，进而求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
即，则，故抛物线的表达式为：①；
（2）解：在中，，
，则，故设直线的表达式为：②，
联立①②得：，解得：（不合题意的值已舍去）；
（3）解：作，

设，，且相似比为，则，
故当、、共线时，为最小，
在中，设边上的高为，则，
即，解得：，则，
则，过点作轴于点，则，
即点的纵坐标为：，同理可得，点的横坐标为：，即点，
由点、的坐标得，，即的最小值为．
【点睛】主要考查二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
11．（2025年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点是轴上方抛物线上一点，射线轴于点，若，且，请直接写出点的坐标．(3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）将点，代入抛物线得到，解方程组即可得到答案；（2）设，，则，则，，从而表示出点的坐标为，代入抛物线解析式，求出的值即可得到答案；
（3）求出直线的表达式，利用，得到，求出点的坐标，再根据进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，，
，解得：，抛物线的解析式为：；
（2）解：，设，，
，，，
点，，，点的坐标为，
点是轴上方抛物线上一点，，
解得：（舍去）或，；
（3）解：设点，直线的解析式为，
，，解得：，
直线的解析式为，当时，，
，，，
在抛物线中，当时，，，，
，设点的坐标为，
，，，，，
，解得：，点的坐标为，
．
【点睛】本题为二次函数综合，主要考查了求二次函数的解析式、二次函数图象和性质、一次函数的应用、锐角三角函数、三角形面积的计算，确定关键点的坐标是解本题的关键．
12．（2025年山东省济南市中考数学真题）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．
(1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标；(2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标；(3)若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围．

【答案】(1)，；(2)；(3)或
【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的表达式，再令，求出值，即可得到点的坐标；（2）设直线的表达式为，将点，代入解析式，利用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，根据平移的性质，得到点，将点P代入，求出的值，即可得到点的坐标；（3）根据正方形和点C的坐标，得出，，，将代入，求得，进而得到顶点坐标，分两种情况讨论：①当抛物线顶点在正方形内部时，②当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，分别列出不等式组求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线过点，
，解得：，抛物线表达式为，
当时，，解得：（舍去），，；
（2）解：设直线的表达式为，直线过点，，
，解得：，直线的表达式为：，
点在抛物线上，设点，
，，且由平移得到，
点向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点，

点在直线上，将代入，
，整理得：，解得：，（舍去），
当时，点坐标为；
（3）解：四边形是正方形，，，，
，点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2，
将代入，得：，，
顶点坐标为，
①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，，解得：；

②如图，当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，与正方形有两个交点，，解得：，
综上所述，的取值范围为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，函数图像上点的坐标特征，抛物线与直线交点问题，解一元二次方程，解一元一次不等式组等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
13．（2025年四川省内江市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在，的最大值为，(3)或
【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解；
（3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，设， 可求，，由，可求，进而求出直线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得 ，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，则有
，解得：，直线的解析式为；
设（），，解得：，
，，
，，
，
，当时，的最大值为，
，．故的最大值为，．
（3）解：存在，如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，
∵抛物线的对称轴为直线，设，
，，，
，，解得：，；
设直线的解析式为，则有
，解得，直线解析式为，
，且经过，直线解析式为，
当时，， ；综上所述：存在，的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．
14．（2025年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．

(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
【答案】(1)(2)或或
(3)或．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据，可得到的距离等于到的距离，进而作出两条的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解；
（3）根据题意，求得当是直角三角形时的的值，进而观察图象，即可求解，分和两种情况讨论，分别计算即可求解．
【详解】（1）解：将点，代入，得
解得：∴抛物线解析式为；
（2）∵，顶点坐标为，
当时，解得：∴，则
∵，则∴是等腰直角三角形，
∵∴到的距离等于到的距离，
∵，，设直线的解析式为
∴解得：∴直线的解析式为，
如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，

设的解析式为，将点代入得，解得：
∴直线的解析式为，
解得：或∴，
∵
∴∴是等腰直角三角形，且，
如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，∵是等腰直角三角形，
∴∴是等腰直角三角形，∴∴
设直线的解析式为∴解得：∴直线的解析式为
联立 解得：或
∴或
综上所述，或或；
（3）①当时，如图所示，过点作交于点，
当点与点重合时，是直角三角形，当时，是直角三角形，

设交于点，∵直线的解析式为，则，∴,
∵，∴是等腰直角三角形，∴∴，
设，则
∵∴解得：（舍去）或∴
∵是锐角三角形∴；
当时，如图所示，同理可得即∴
解得：或（舍去） 由（2）可得时，∴
综上所述，当是锐角三角形时，或．
【点睛】本题考查二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
d/米
0
0.6
1
1.8
2.4
3
3.6
4
h/米
0.88
1.90
2.38
2.86
2.80
2.38
1.60
0.88
（秒）
0
1
2
3
4
…
（米/秒）
0
3
6
9
12
…
刹车时车速（）
0
5
10
15
20
25
刹车距离（m）
0
6.5
17
31.5
50
72.5
d/米
0
0.6
1
1.8
2.4
3
3.6
4
h/米
0.88
1.90
2.38
2.86
2.80
2.38
1.60
0.88
（秒）
0
1
2
3
4
…
（米/秒）
0
3
6
9
12
…
刹车时车速（）
0
5
10
15
20
25
刹车距离（m）
0
6.5
17
31.5
50
72.5