2026中考数学核心考点精讲精训练-考点04二次根式（学生版+名师详解版）

这是一份2026中考数学核心考点精讲精训练-考点04二次根式（学生版+名师详解版），共30页。
二次根式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考查主要集中在对其取值范围、化简、计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察。此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。
【知识清单】
1：二次根式的相关概念（☆☆）
（1）二次根式的概念：形如的式子叫做 二次根式 。其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做 被开方数 。
注意：被开方数只能是非负数。即要使二次根式eq \r(a)有意义，则 a≥0 。
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做 最简二次根式 。
（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做 同类二次根式 。
2：二次根式的性质与化简（☆☆☆）
（1）二次根式的性质：
1）双重非负性：≥ 0（≥0）；2）； 3）；
（2）二次根式的化简方法：
1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
（3）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
3：二次根式的的运算（☆☆☆）
（1）加减法法则：先把各个二次根式化为 最简二次根式 后，再将被开方数相同的二次根式 合并 。
口诀：一化、二找、三合并。
（2）乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 。
（3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 。
（4）分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的 有理化因式 ，将分母中的根号去掉的过程。
分母有理化因式：
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是 分母本身带根号 的部分；即：。
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是 与分母相乘构成平方差 的另一部分；
即：。
（5）混合运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用。
【易错点归纳】
1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：、都是二次根式。
2.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1。
3.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数。
4. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简。
5. 化简（或计算）后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
6.二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式。
【核心考点】
核心考点1. 二次根式的相关概念
例1：（2025·四川绵阳·中考真题）使式子在实数范围内有意义的整数x有( )
A．5个B．3个C．4个D．2个
变式1．（2025·浙江金华·统考中考真题）要使有意义，则的值可以是（ ）
A．0B．C．D．2
变式2．（2025·江苏·校考模拟预测）已知x、y为实数，且，则的值是 ．
例2：（2025·山东烟台·统考中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2025·广东·九年级校考阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2025·山东济宁市·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2025·河南驻马店·九年级校考阶段练习）请写出一个大于2且小于3的二次根式： ．
例3：（2025·重庆·九年级校考期中）如果最简二次根式与和是同类二次根式，那么a的值是（）
A．4B．5C．6D．8
变式1．（2025·湖南衡阳·九年级统考期中）最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ．
例4：（2025·湖北黄冈·统考中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数； ．
变式1．（2025上·广东惠州·九年级校考期中）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ．
核心考点2. 二次根式的性质与化简
例5：（2025·江苏泰州·统考中考真题）计算等于（ ）
A．B．2C．4D．
变式1．（2025·河北保定·统考二模）若，，则 ；
变式2．（2025·广西桂林·中考真题）化简的结果是（ ）
A．2B．3C．2D．2
变式3．（2025·安徽蚌埠·统考三模）已知一组数，，3，，，，，，…，排列方式如下：，，3，；，，，；…．若3的位置记为，的位置记为，则的位置记为 ．
例6：（2025上·湖北·九年级专题练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：，∴，
∴原式，
【启发应用】(1)按照上面的解法，试化简；
【类比迁移】(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；

(3)已知a，b，c为的三边长．化简：．
变式1．（2025上·吉林长春·九年级校联考阶段练习）若，则化简的结果为 ．
变式2．（2025·广东广州·统考中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A．B．1C．D．
变式3．（2025上·山西晋城·九年级统考期中）当时，求的值．如图

(1)______的解法是错误的．(2)当时，求的值．
例7．（2025·广东·校考模拟预测）若，则_____．
变式1．（2025·河南周口·校考模拟预测）若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值 ．
例8．（2025上·山西长治·九年级校考期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：(1)文中的“根据1”是__________，__________．
(2)根据上面的思路，化简：．(3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
变式1．（2025上·湖北·九年级校考周测） ．
核心考点3. 二次根式的的运算
例9：（2025·青海西宁·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式1. （2025·辽宁大连·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2025·重庆·统考中考真题）估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
例10：（2025·上海·统考中考真题）计算：
变式1．（2025·湖南常德市·中考真题）计算：（ ）
A．0B．1C．2D．
变式2．（2025·甘肃武威·统考中考真题）计算：．
例11：（2025·河南驻马店·模拟预测）斐波那契（约）是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第（为正整数）个数可表示为，且连续三个数，，之间存在以下关系（）．①第个数；②第个数：；③“斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第项的值是．以上说法正确的有______．（请把你认为正确的序号全都填上去）
变式1．（2025·四川达州·统考中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
变式2．（2025·四川内江·九年级校考期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，若，则 ．
例12：（2025·四川宜宾·统考中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
变式1．（2025·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A． B． C． D．
例13：（2025·重庆·校考三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；乙：设有理数a，b满足：，则；
丙：；丁：已知，则；
戊：.以上结论正确的有（ ）
A．甲丙丁B．甲丙戊C．甲乙戊D．乙丙丁
变式1．（2025·重庆·九年级校考阶段练习）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：， ．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式为______，的有理化因式为______；（均写出一个即可）
(2)将下列各式分母有理化（要求；写出变形过程）：①；②；
(3)计算：的结果．
变式2．（2025·北京西城·九年级校考期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：(1)比较和的大小；(2)求的最大值和最小值．
例14：（2025上·福建泉州·九年级校联考阶段练习）已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值；
解：，当，即时，的最小值为3．
(1)探究：当时，求的最小值；
(2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？(3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．

变式1．（2025上·四川内江·九年级校考阶段练习）我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号．
(1)当时，的最小值为______；当时，的最大值为______；
(2)当时，求的最小值；(3)如图，四边形的对角线、相交于点、的面积分别为和，求四边形的最小面积．

考点04. 二次根式（精讲）
【命题趋势】
二次根式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考查主要集中在对其取值范围、化简、计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察。此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。
【知识清单】
1：二次根式的相关概念（☆☆）
（1）二次根式的概念：形如的式子叫做 二次根式 。其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做 被开方数 。
注意：被开方数只能是非负数。即要使二次根式eq \r(a)有意义，则 a≥0 。
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做 最简二次根式 。
（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做 同类二次根式 。
2：二次根式的性质与化简（☆☆☆）
（1）二次根式的性质：
1）双重非负性：≥ 0（≥0）；2）； 3）；
（2）二次根式的化简方法：
1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
（3）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
3：二次根式的的运算（☆☆☆）
（1）加减法法则：先把各个二次根式化为 最简二次根式 后，再将被开方数相同的二次根式 合并 。
口诀：一化、二找、三合并。
（2）乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 。
（3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 。
（4）分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的 有理化因式 ，将分母中的根号去掉的过程。
分母有理化因式：
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是 分母本身带根号 的部分；即：。
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是 与分母相乘构成平方差 的另一部分；
即：。
（5）混合运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用。
【易错点归纳】
1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：、都是二次根式。
2.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1。
3.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数。
4. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简。
5. 化简（或计算）后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
6.二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式。
【核心考点】
核心考点1. 二次根式的相关概念
例1：（2025·四川绵阳·中考真题）使式子在实数范围内有意义的整数x有( )
A．5个B．3个C．4个D．2个
【答案】C
【详解】∵式子在实数范围内有意义 ∴ 解得：，
又∵要取整数值，∴的值为：-2、-1、0、1.即符合条件的的值有4个.故选C.
变式1．（2025·浙江金华·统考中考真题）要使有意义，则的值可以是（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵二次根式有意义，∴，∴，
∴四个选项中，只要D选项中的2符合题意，故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
变式2．（2025·江苏·校考模拟预测）已知x、y为实数，且，则的值是 ．
【答案】
【分析】由，可知，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：由，可知，则，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，代数式求值．解题的关键在于求解的值．
例2：（2025·山东烟台·统考中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
变式1.（2025·广东·九年级校考阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义（形如的式子叫做二次根式）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是二次根式，则此项不符合题意；B、不是二次根式，则此项符合题意；
C、是二次根式，则此项不符合题意；D、是二次根式，则此项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟记二次根式的定义是解题关键．
变式2.（2025·山东济宁市·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确；
B、=，不是最简二次根式，故选项错误；
C、，不是最简二次根式，故选项错误；
D、，不是最简二次根式，故选项错误；故选A.
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
变式3．（2025·河南驻马店·九年级校考阶段练习）请写出一个大于2且小于3的二次根式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意得出，，然后取根式即可．
【详解】解：∵，，
∴大于2且小于3的二次根式为（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查二次根式的比较大小，熟练掌握比较大小的方法是解题关键．
例3：（2025·重庆·九年级校考期中）如果最简二次根式与和是同类二次根式，那么a的值是（）
A．4B．5C．6D．8
【答案】A
【分析】此题主要考查了同类二次根式和最简二次根式．解题的关键是掌握同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方求解．
【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式，解得：，故选：A．
变式1．（2025·湖南衡阳·九年级统考期中）最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ．
【答案】4
【分析】根据同类二次根式的概念可得，解方程即可；本题主要考查同类二次根式，掌握同类二次根式的概念是解题的关键．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，∴．故答案为：4．
例4：（2025·湖北黄冈·统考中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数； ．
【答案】8
【分析】要使是整数，则要是完全平方数，据此求解即可
【详解】解：∵是整数，∴要是完全平方数，
∴正整数m的值可以为8，即，即，故答案为：8（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到要是完全平方数是解题的关键．
变式1．（2025上·广东惠州·九年级校考期中）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可．
【详解】解：，且开方的结果是正整数，为某数的平方，
又，是满足题意最小的被开方数，的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数．先化简再讨论是本题的关键．
核心考点2. 二次根式的性质与化简
例5：（2025·江苏泰州·统考中考真题）计算等于（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】B
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：．故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
变式1．（2025·河北保定·统考二模）若，，则 ；
【答案】16
【分析】根据二次根式的定义可求得的值，继而求得结论．
【详解】∵，，即，，
∴，，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，化成最简二次根式是解题的关键．
变式2．（2025·广西桂林·中考真题）化简的结果是（ ）
A．2B．3C．2D．2
【答案】A
【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2．
【详解】解：＝2，故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．
变式3．（2025·安徽蚌埠·统考三模）已知一组数，，3，，，，，，…，排列方式如下：，，3，；，，，；…．若3的位置记为，的位置记为，则的位置记为 ．
【答案】
【分析】根据题意，3个一组，求得是第15个数，为第4组第3个数，即可求解．
【详解】解：∵，，3，；，，，；…．若3的位置记为，的位置记为，∵，是第15个数，为第4组第3个数，则的位置记为，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，数字类规律，有序数对表示位置，找到规律是解题的关键．
例6：（2025上·湖北·九年级专题练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：，∴，
∴原式，
【启发应用】(1)按照上面的解法，试化简；
【类比迁移】(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；

(3)已知a，b，c为的三边长．化简：．
【答案】(1)1(2)(3)
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简可得；
（2）由a、b在数轴上的位置判断出、，再利用二次根式的性质化简即可得；（3）由三角形三边间的关系得出、、，再利用二次根式的性质化简可得．
【详解】（1）解：隐含条件，解得：，，
∴原式；
（2）解：观察数轴得隐含条件：，，，∴，，
∴原式；
（3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
∴，，，
∴原式．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及三角形三边间的关系等知识点．
变式1．（2025上·吉林长春·九年级校联考阶段练习）若，则化简的结果为 ．
【答案】
【分析】结合已知条件，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，，故答案为：．
【点睛】本题考查算二次根式的化简，熟练掌握其定义及性质是解题的关键．
变式2．（2025·广东广州·统考中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴判别式，整理得：，∴，∴，，
∴．故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
变式3．（2025上·山西晋城·九年级统考期中）当时，求的值．如图

(1)______的解法是错误的．(2)当时，求的值．
【答案】(1)小亮(2)
【分析】此题考查二次根式的性质，二次根式有意义的条件，绝对值的化简，
（1）根据二次根式的性质判断，由此进行判断；
（2）利用完全平方公式将化为，再根据取值化简即可；
正确理解二次根式的性质进行化简是解题的关键．
【详解】（1）
当时，，则小亮的解法是错误的，故答案为：小亮；
（2）当时，＝．
例7．（2025·广东·校考模拟预测）若，则_____．
【答案】1002．
【分析】根据绝对值的性质和二次根式的性质，即可解答
【详解】∵，∴．由，得，
∴，∴．∴．故答案是：1002．
【点睛】此题考查绝对值的非负性，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则
变式1．（2025·河南周口·校考模拟预测）若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】属于真分数，则是整数，且不能为的因数，即可求解．
【详解】∵属于真分数，∴，且为整数，
∴可以取，即，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次根式的性质，理解真分数的定义是解题的关键．
例8．（2025上·山西长治·九年级校考期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：(1)文中的“根据1”是__________，__________．
(2)根据上面的思路，化简：．(3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
【答案】(1)完全平方公式；(2)(3)或
【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可；（2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可；
（3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可．
【详解】（1）解：的根据是完全平方公式；
∵，∴，．故答案为：完全平方公式；．
（2）解：．
（3）解：由题意得，∴，，
∵x，y为正整数，∴，或，，∴或．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．
变式1．（2025上·湖北·九年级校考周测） ．
【答案】5
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，利用算术平方根、立方根的性质以及二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：
，故答案为：5．
核心考点3. 二次根式的的运算
例9：（2025·青海西宁·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则运算判断．
【详解】解：A、 ，不能合并，原计算错误，本选项不合题意；
B、 ，原计算错误，本选项不合题意；
C、 ，计算正确，本选项符合题意；
D、，注意运算顺序，原计算错误，本选项不合题意；故选：C
【点睛】本题考查二次根式的运算，乘法公式；注意掌握运算法则是解题的关键．
变式1. （2025·辽宁大连·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
变式2.（2025·重庆·统考中考真题）估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【答案】A
【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．
【详解】解：，
，，即，，故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
例10：（2025·上海·统考中考真题）计算：
【答案】
【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．
【详解】解：原式．
【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．
变式1．（2025·湖南常德市·中考真题）计算：（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】C
【分析】先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．
【详解】解：== =2．故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．
变式2．（2025·甘肃武威·统考中考真题）计算：．
【答案】
【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．
例11：（2025·河南驻马店·模拟预测）斐波那契（约）是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第（为正整数）个数可表示为，且连续三个数，，之间存在以下关系（）．①第个数；②第个数：；③“斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第项的值是．以上说法正确的有______．（请把你认为正确的序号全都填上去）
【答案】①②④
【分析】将和代入即可求得和，再按照可以求得前八个数，根据“把‘斐波那契数列’中的每一项除以所得的余数”求出来一部分特殊项，观察规律，即可得到第项的值．
【详解】，故正确；
，故错误；
“斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，，故正确；
，，，，，，，除以所得的余数分别是，，，，，，，，，，，，，，故在新数列中，第项的值是，故正确．故答案为：．
【点睛】本题考查了规律探究题，读懂题意，列出特殊项，观察一般规律是解决本题的关键．
变式1．（2025·四川达州·统考中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
【答案】5050
【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．
【详解】解：，，，
，
，…，
故答案为：5050
【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键．
变式2．（2025·四川内江·九年级校考期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，若，则 ．
【答案】7
【分析】易知与是一对“对偶式”，可根据化简计算即可．
【详解】解：根据材料可知，与是一对“对偶式”，
∵，∴
故答案为：7．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键．
例12：（2025·四川宜宾·统考中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
【答案】
【分析】根据周长为18的三角形的三边满足，求得，代入公式即可求解．
【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足，设
∴解得
，答案：
【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键．
变式1．（2025·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
例13：（2025·重庆·校考三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；乙：设有理数a，b满足：，则；
丙：；丁：已知，则；
戊：.以上结论正确的有（ ）
A．甲丙丁B．甲丙戊C．甲乙戊D．乙丙丁
【答案】B
【分析】根据分母有理化进行计算逐项分析判断即可求解．
【详解】解：甲：，正确；
乙：设有理数a，b满足：，
则，故乙错误；
丙：
，故丙正确；
丁：，，
则，故丁错误；
戊：
，故戊正确，选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
变式1．（2025·重庆·九年级校考阶段练习）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：， ．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式为______，的有理化因式为______；（均写出一个即可）
(2)将下列各式分母有理化（要求；写出变形过程）：①；②；
(3)计算：的结果．
【答案】(1)；(2)①；②(3)
【分析】（1）根据题目中的材料，可以直接写出的有理化因式和的有理化因式；
（2）①分子分母同时乘，然后化简即可；②分子分母同时乘，然后化简即可；
（3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：由题意可得，的有理化因式为，的有理化因式为，
故答案为：；．
（2）解：①；②；
（3）解：
，故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法，可以找出相应的有理化因式．
变式2．（2025·北京西城·九年级校考期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：(1)比较和的大小；(2)求的最大值和最小值．
【答案】(1)(2)的最大值为2，最小值为
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值．
【详解】（1），，
而，，，；
（2）由，，得，，
∴当时，有最小值，则有最大值1，则有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．
例14：（2025上·福建泉州·九年级校联考阶段练习）已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值；
解：，当，即时，的最小值为3．
(1)探究：当时，求的最小值；
(2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？(3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．

【答案】(1)5(2)10年；2.5万元(3)
【分析】（1）直接利用可得结论；（2）先求解年平均保养费用，利用可得结论；（3）设直线为：，用含的代数式表示的坐标，求解的面积，利用求解面积最小值时的值，据此求解即可．
【详解】（1）解：，，
当，即时，的最小值为5；
（2）解：由题意得：，年平均费用．
当时，，即时，这种汽车使用10年报废最合算，最少年平均费用为2.5万元；
（3）解：设直线为：，把代入解析式得：，
，直线为：，令，，
令，，，，由题意知：，
，
由题意得：，．
当时，即时，最小，直线为：．
【点睛】本题考查的是自定义题，同时考查了求解代数式的最小值及其应用，考查了利用待定系数法求解一次函数的解析式，仔细弄懂题意是解题的关键．
变式1．（2025上·四川内江·九年级校考阶段练习）我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号．
(1)当时，的最小值为______；当时，的最大值为______；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，四边形的对角线、相交于点、的面积分别为和，求四边形的最小面积．

【答案】(1)；(2)的最小值为(3)
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；
（2）先将变形得到，然后根据题目中给出的信息进行解答即可；
（3）设，根据等高三角形性质得出 ，求出 ，根据四边形的面积为，根据题干的信息，求出最小值即可．
【详解】（1）解：∵当时，，即，∴的最小值为；
∵当时，，∴，即，
∴，∴，∴的最大值为；故答案为：；；
（2）解：，
，，∴当时，的最小值为．
（3）解：设，已知，，则由等高三角形性质可知， ，
∴， ，因此四边形的面积，
当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算．双层二次根式的化简
二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子、它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考（根据1）．
．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有．∴，__________．
这样，我就找到了一种把部分化简的方法．
双层二次根式的化简
二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子、它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考（根据1）．
．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有．∴，__________．
这样，我就找到了一种把部分化简的方法．