中考数学一轮考点复习精讲精练专题02 二次根式【考点精讲】（2份打包，原卷版+解析版）

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一、二次根式及相关概念
1．二次根式：形如 SKIPIF 1 < 0 (a )的式子叫做二次根式．
2．最简二次根式：最简二次根式必须同时满足以下条件：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）数被开方数不含分母，被开方数不含能 的因或因式．
3．同类二次根式：几个二次根式化成 后，如果 相同，这几个二次根式称为同类二次根式．如eq \r(8)与eq \r(2)是同类二次根式．同类二次根式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．
二、二次根式的性质
（1）( SKIPIF 1 < 0 )2＝a(a≥0)．
（2） SKIPIF 1 < 0 ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a≥0），,－a（a<0）.))
（3） SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 (a≥0，b≥0)．
（4） SKIPIF 1 < 0 (a≥0，b>0)．
（5）双重非负性：二次根式 SKIPIF 1 < 0 ⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(被开方数a≥0,\r(a)≥0))
三、二次根式的运算
1．二次根式的加减：先将各二次根式化为 ，然后合并同类二次根式．
2．二次根式的乘除
（1）二次根式的乘法： SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 ＝ (a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法： SKIPIF 1 < 0 ＝ (a≥0，b＞0)；
（3）二次根式的运算结果一定要化成 ．
3．二次根式的开方： SKIPIF 1 < 0 ＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a≥0），,－a（a＜0）.))
4．二次根式的混合运算
在进行二次根式的混合运算时，应注意以下几点：
（1）二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，即先乘方，再乘除，最后算加减，有括号要先去括号；
（2）加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和对加法的分配律在二次根式的混合运算中仍然适用；
（3）多项式的乘法公式仍然适合于二次根式的运算；
（4）二次根式混合运算的结果要化为最简二次根式．
【考点1】二次根式的概念
【例1】（2022·江苏连云港）函数 SKIPIF 1 < 0 中自变量 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【例2】下列二次根式中，与 SKIPIF 1 < 0 是同类二次根式的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【例3】下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
牢记二次根式相关概念：
1．二次根式：式子 SKIPIF 1 < 0 叫做二次根式.注意被开方数a只能是非负数.
2．最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.
3．同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.
1．（2022·湖南衡阳）如果二次根式 SKIPIF 1 < 0 有意义，那么实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·广西桂林）化简 SKIPIF 1 < 0 的结果是（ ）
A．2 SKIPIF 1 < 0 B．3C．2 SKIPIF 1 < 0 D．2
3．下列各式中与 SKIPIF 1 < 0 是同类二次根式的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·云南）若代数式 SKIPIF 1 < 0 有意义，则实数x的取值范围是______．
5．（2022·四川南充）若 SKIPIF 1 < 0 为整数，x为正整数，则x的值是_______________．

【考点2】二次根式的性质
【例4】（2021·湖南娄底市） SKIPIF 1 < 0 是某三角形三边的长，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．10D．4
1．（2022·四川凉山）化简： SKIPIF 1 < 0 ＝（ ）
A．±2B．－2C．4D．2
2．（2022·河北·一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则代数式 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·四川遂宁）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 SKIPIF 1 < 0 ______．

【考点3】二次根式的运算
【例5】（2022·山东青岛）计算 SKIPIF 1 < 0 的结果是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【例6】（2022·四川宜宾）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为 SKIPIF 1 < 0 ．现有周长为18的三角形的三边满足 SKIPIF 1 < 0 ，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
【例7】计算下列各题
（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0
二次根式运算的注意事项
1．在进行二次根式的运算时,一般先把二次根式化为最简二次根式,再利用二次根式的乘除法法则进行乘除运算,同类二次根式之间可以进行加减运算(类似于合并同类项).
2．运算结果要化成最简形式.
3．在二次根式的运算中,要注意 SKIPIF 1 < 0 与次 SKIPIF 1 < 0 的区别.
① 取值不同:前者的a为任意实数,后者的a为非负数;
② 化简结果不同: SKIPIF 1 < 0 =|a|, SKIPIF 1 < 0 =a.
1．（2022·黑龙江哈尔滨）计算 SKIPIF 1 < 0 的结果是___________．
2．（2022·天津）计算 SKIPIF 1 < 0 的结果等于___________．
3．（2022·湖南衡阳）计算： SKIPIF 1 < 0 ＝_____．
4．（2022·山西）计算 SKIPIF 1 < 0 的结果是________．
5．（2022·重庆）估计 SKIPIF 1 < 0 的值应在（ ）
A．10和11之间B．9和10之间C．8和9之间D．7和8之间
6．列各式不成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2022·甘肃武威）计算： SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2022·贵州遵义）（1）计算： SKIPIF 1 < 0
（2）先化简 SKIPIF 1 < 0 ，再求值，其中 SKIPIF 1 < 0 ．

【考点4】二次根式综合运用
【例8】（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）若三个实数x，y，z满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则有： SKIPIF 1 < 0 （结论不需要证明）
例如： SKIPIF 1 < 0
根据以上阅读，请解决下列问题：
【基础训练】
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
【能力提升】
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求S的整数部分．
【拓展升华】
（3）已知 SKIPIF 1 < 0 ，其中，且 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，求x的取值范围．
1. 阅读材料：
黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．
在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1） SKIPIF 1 < 0 的有理化因式可以是___________， SKIPIF 1 < 0 分母有理化得___________．
（2）计算：
①已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
② SKIPIF 1 < 0 ．
2. 阅读下面问题：
SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 －1；
1/ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝1×( SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 )/ ( SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 )/ ( SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 )＝ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ；
1/ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝1×( SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 )/ ( SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 )/ ( SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 )＝ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ；
试求：
（1） SKIPIF 1 < 0 ＝________；
（2）当n为正整数时， SKIPIF 1 < 0 ＝________；
（3）求 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋…＋ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 的值．
3．观察下列各式：
SKIPIF 1 < 0
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
（1）第4个算式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的结果．