2026中考数学核心考点精讲精训练-考点08一次不等式（组）（学生版+名师详解版）

这是一份2026中考数学核心考点精讲精训练-考点08一次不等式（组）（学生版+名师详解版），共32页。
一次不等式（组）主要考查依据题意列不等式并解决问题、不等式（组）的解法，体现了不等式的工具性，年年考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右。预计2024年各地中考还将继续考查这些知识点，重要题型有解不等式（组）、不等式含参（难度相对大点）、不等式相关的应用题以及不等式的性质，为避免丢分，学生应扎实掌握。
【知识清单】
1：不等式及不等式的基本性质（☆☆）
1）不等式：一般地，用符号“”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
2）不等式的基本性质
3）不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解。
2：一元一次不等式（☆☆）
1）一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次，这样的不等式叫一元一次不等式。
2）解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）。
3：一元一次不等式组（☆☆☆）
1）一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。
2）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
3）一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解。
4）几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
4：不等式（组）的实际应用（☆☆☆）
列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案。
注意：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等。列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接。
【易错点归纳】
1. 不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母。
2. 运用不等式的性质进行不等式变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数,不等号要改变方向。
3. 一元一次不等式满足的条件：
①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1。
4. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
【核心考点】
核心考点1. 不等式及不等式的基本性质
例1：（2025·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为，通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过．设选用灯泡的电阻为，下列说法正确的是（ ）
A．R至少B．R至多C．R至少D．R至多
变式1．（2025·广东深圳·统考二模）农户利用“立体大棚种植技术”把毛豆和芹菜进行混种．已知毛豆齐苗后棚温在最适宜，播种芹菜的最适宜温度是．农户在毛豆齐苗后在同一大棚播种了芹菜，这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜（ ）
A．B．C．D．以上
例2：（2025·四川德阳·统考中考真题）如果，那么下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2025年北京市中考数学真题）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2025·河北秦皇岛·统考二模）在复习不等式的性质时，张老师给出以下两个说法：
①不等式一定不成立，因为不等式两边同时除以，会出现的错误结论；
②如果，那么一定会得到；
下列判断正确的是 （ ）
A．①√，②×B．①×，②×C．①√，②√D．①×，②√
例3：（2025·浙江绍兴市·统考模拟预测）甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（ ）
A．B．C．D．与a、b大小无关
变式1．（2025·浙江舟山·统考三模）观察：，，，．
(1)猜想：当时，______，______，______（“>”“＝”“8，则m的值是_____．
变式1．（2025·浙江杭州市·九年级模拟）已知方程组的解为正数，求a的取值范围是_______．
变式2．（2025·浙江金华市·九年级期中）若不等式组有解，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2025·安岳县九年级期中）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3B．a≥3C．a＞3D．a≤3
例10：（2025·辽宁九年级期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式（x+3）（x﹣3）＞0
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”
有①或②
解不等式组①得x＞3，解不等式组②得x＜﹣3
故原不等式的解集为：x＞3或x＜﹣3
问题：求不等式的解集．
变式1．（2025·宁夏·石嘴山九年级阶段练习）阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，
解不等式组②得．
所以原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式．
变式2．（2025·四川九年级期末）先阅读理解下列例题：
例题：解一元二次不等式
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得有：①或 ②
解不等式组①得；解不等式组②得
∴一元二次不等式的解集是或
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集．
核心考点4. 不等式（组）的实际应用
例11：（2025·北京石景山·七年级期末）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是_____；使代数式的值小于20的最大整数x是__________．
变式1．（2025·湖北黄陂·九年级期末）如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则该程序需要运行________次才停止；若该程序只运行了次就停止了，则的取值范围是________．
例12：（2025·射阳县九年级期中）有学生若干人，住若干间宿舍，若每间住5人，则有14人无法安排住宿，若每间住8人，则最后有一间宿舍不满也不空，则学生人数为_____．
变式1.（2025·宁波市鄞州区九年级期中）一次生活常识知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对了_______道题．
变式2．（2025年湖南省长沙市中考数学真题）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在九年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加．(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？(2)投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？
例13：（2025·山东济宁市·九年级期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在不超过18分钟的时间内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑( )
A．3分钟B．4分钟C．4.5分钟D．5分钟
变式1．（2025年黑龙江省大庆市中考数学真题）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2025·浙江绍兴市·九年级模拟）某家庭投资3.5万元资金建造屋顶光伏发电结，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电600度．
信息链接：根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以0.45元/度卖给电力公可，同时可获得政府补贴0.52元/度．（1）求这个月晴天的天数；（2）已知该家庭每月平均用电150度，若按每月发电600度计算，问至少需要几年才能收回成本？（不计其他费用，结果取整数）
例14：（2025·四川达州·统考中考真题）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；(2)某特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
变式1．（2025·四川攀枝花·统考中考真题）某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式2．（2025·四川广安·统考中考真题）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元；若购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元．(1)种盐皮蛋、种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
(2)若某公司购买两种盐皮蛋共30箱，且种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
考点08.一次不等式（组） （精讲）
【命题趋势】
一次不等式（组）主要考查依据题意列不等式并解决问题、不等式（组）的解法，体现了不等式的工具性，年年考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右。预计2024年各地中考还将继续考查这些知识点，重要题型有解不等式（组）、不等式含参（难度相对大点）、不等式相关的应用题以及不等式的性质，为避免丢分，学生应扎实掌握。
【知识清单】
1：不等式及不等式的基本性质（☆☆）
1）不等式：一般地，用符号“”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
2）不等式的基本性质
3）不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解。
2：一元一次不等式（☆☆）
1）一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次，这样的不等式叫一元一次不等式。
2）解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）。
3：一元一次不等式组（☆☆☆）
1）一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。
2）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
3）一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解。
4）几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
4：不等式（组）的实际应用（☆☆☆）
列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案。
注意：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等。列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接。
【易错点归纳】
1. 不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母。
2. 运用不等式的性质进行不等式变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数,不等号要改变方向。
3. 一元一次不等式满足的条件：
①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1。
4. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
【核心考点】
核心考点1. 不等式及不等式的基本性质
例1：（2025·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为，通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过．设选用灯泡的电阻为，下列说法正确的是（ ）
A．R至少B．R至多C．R至少D．R至多
【答案】A
【分析】根据U=IR，代入公式，列不等式计算即可．
【详解】解：由题意，得，解得．故选：A．
【点睛】本题结合物理知识，列不等式进而求解，解决问题的关键是理解题意，列出不等式．
变式1．（2025·广东深圳·统考二模）农户利用“立体大棚种植技术”把毛豆和芹菜进行混种．已知毛豆齐苗后棚温在最适宜，播种芹菜的最适宜温度是．农户在毛豆齐苗后在同一大棚播种了芹菜，这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜（ ）
A．B．C．D．以上
【答案】B
【分析】根据毛豆齐苗后棚温在最适宜，播种芹菜的最适宜温度是，即可求解．
【详解】解：∵毛豆齐苗后棚温在最适宜，播种芹菜的最适宜温度是．
∴在毛豆齐苗后在同一大棚播种了芹菜，这时应该把大棚温度设置在最适宜．故选：B
【点睛】本题主要考查了不等式的应用，明确题意，理解最适宜温度的意义是解题的关键．
例2：（2025·四川德阳·统考中考真题）如果，那么下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断．
【详解】解：∵，∴，，，，
∴A，B，C不符合题意，D符合题意；故选D
【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
变式1.（2025年北京市中考数学真题）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：得，则，∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变．
变式2．（2025·河北秦皇岛·统考二模）在复习不等式的性质时，张老师给出以下两个说法：
①不等式一定不成立，因为不等式两边同时除以，会出现的错误结论；
②如果，那么一定会得到；
下列判断正确的是 （ ）
A．①√，②×B．①×，②×C．①√，②√D．①×，②√
【答案】B
【分析】根据不等式的性质分析即可求解．
【详解】解：①不等式，当时成立，故①错误，
②例如，则，故②错误，故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
例3：（2025·浙江绍兴市·统考模拟预测）甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（ ）
A．B．C．D．与a、b大小无关
【答案】A
【分析】已知甲共花了3a+2b元买了5只羊．但他以每只的价格把羊卖给乙发现赔钱了．由此可列出不等式求解，就知道赔钱的原因．
【详解】解：根据题意得到5×＜3a+2b，解得a＞b故选：A．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量的等量关系．
变式1．（2025·浙江舟山·统考三模）观察：，，，．
(1)猜想：当时，______，______，______（“>”“＝”“2．
【点睛】本题考查用不等式表示数轴上的数的范围，体现了数与形的结合，要注意是实心点还是空心圆圈．
核心考点2.一元一次不等式
例5：（2025·浙江·九年级专题练习）下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．是一元一次不等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义：形如或或或（其中a是不等于0的常数，b为常数），由此进行判断即可．
【详解】解：（1）即是一元一次不等式；（2）是二元二次整式，不是不等式；（3）是二元一次不等式（4）不是一元一次不等式；（5）是一元一次不等式 ；（6）不是一元一次不等式，故选B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次不等式的定义．
变式1．（2025·黑龙江·九年级期中）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为________．
【答案】1
【分析】根据一元一次不等式的定义可得：且，求解即可．
【详解】解：根据一元一次不等式的定义可得：且解得答案为1
【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的概念．
变式2．（2025·山西忻州·九年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集是 B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0 D．是不等式的一个解
【答案】C
【分析】解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判断．
【详解】解：A、不等式x−3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；
B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；
C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；
D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意．选：C．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类．
例6：（2025·绵阳市·统考模拟预测）解不等式．
【答案】
【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解此题的关键点是能正确根据不等式的性质进行变形，注意：移项要变号．
变式1．（2025·四川攀枝花·统考中考真题）解不等式： ．
【答案】
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】解：
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得．
化系数为1，得．
【点睛】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
变式2．（2025·四川眉山·一模）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是__ ．
【答案】
【分析】首先解关于的不等式，然后根据只有3个正整数解，来确定关于的不等式组的取值范围，再进行求解即可．
【详解】解：解不等式，得：，
由题意只有3个正整数解，则分别为：1，2，3，
故：，解得：，故答案是：．
【点睛】本题考查了关于不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于不等式的正整数解的情况来确定关于的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤．
核心考点3.一元一次不等式组
例7：（2025年广东广州中考数学真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：解不等式，得，解不等式，得，
∴不等式组的解集为，在数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】此题考查不等式组的解法，解题关键是将解集表示在数轴上时，有等号即为实心点，无等号则为空心点．
变式1．（2025年四川省德阳市中考数学真题）不等式组，的解集是（ ）
A．B．C．D．无解
【答案】A
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解： 解不等式①得：，解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
变式2．（2025·四川成都·统考中考真题）（1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）3；（2）
【分析】（1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再加减运算即可求解；
（2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解；
【详解】解：（1）；
（2）解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次不等式组，涉及到特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、二次根式的加减等知识，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．
变式3．（2025·四川乐山·统考模拟预测）解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得______．
解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
所以原不等式组解集为______．
【答案】；；见详解；
【分析】分别解两个不等式，然后在数轴上表示解集，再根据公共部分确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
所以原不等式组解集为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
例8：（2025年四川省宜宾中考数学真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ．
【答案】或
【分析】根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出的取值范围，即可求解．
【详解】解：由①得：，由②得：，不等式组的解集为：，
所有整数解的和为，
①整数解为：、、、，，解得：，为整数，．
②整数解为：，，，、、、，，解得：，为整数，．
综上，整数的值为或故答案为：或．
【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键．
变式1．（2025年湖北省鄂州市中考数学真题）已知不等式组的解集是，则（ ）
A．0B．C．1D．2025
【答案】B
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再结合已知可得，，然后进行计算可求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组的解集是，∴，，∴，，
∴，故选：B．
【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
变式2．（2025年四川省眉山市中考数学真题）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
【详解】解：，由②得：，解集为，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，，
∴，∴；故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键．
变式3．（2025年四川省遂宁市中考数学真题）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是求出a的取值范围即可．
【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，∴，故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
例9：（2025·九龙县九年级期末）已知关于x，y的方程组的解满足不等式2x+y>8，则m的值是_____．
【答案】m＜-6．
【分析】先解方程组，然后将x、y的值代入不等式解答．
【详解】解：①+②得，，解得，x=2m-1，
把x=2m-1代入②得，，解得，y=4-5m，
将x=2m-1，y=4-5m代入不等式2x+y＞8得4m-2+4-5m＞8，∴m＜-6，故答案为：m＜-6．
【点睛】本题考查了方程组与不等式，熟练解方程组与不等式是解题的关键．
变式1．（2025·浙江杭州市·九年级模拟）已知方程组的解为正数，求a的取值范围是_______．
【答案】－＜＜4
【分析】先解方程组用含a的式子表示方程组的解，根据方程组的解是正数，列出关于a的不等式组，再求解．
【详解】解：，①＋②得：，，
①－②得：，，所以，原方程组的解为：，
∵ 方程组的解为正，∴＞0且＞0，解得：－＜＜4，故填：－＜＜4．
【点睛】本题考查了方程组的解法，以及一元一次不等式组的解法，解此类问题要先用字母a表示方程组的解，再根据题意，列不等式组，最后求解．
变式2．（2025·浙江金华市·九年级期中）若不等式组有解，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解出不等式组的解集，与已知解集比较，可求出n的取值范围．
【详解】∵不等式组有解，∴n＜x＜8，∴n＜8，n的取值范围为：n＜8．故选：C．
【点睛】考查了不等式的解集，本题是已知不等式组的解集，求不等式中参数范围的问题．可以先将参数当作常数处理，求出解集与已知解集比较，进而即可求解．
变式3．（2025·安岳县九年级期中）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3B．a≥3C．a＞3D．a≤3
【答案】B
【分析】首先解不等式，然后根据不等式组无解确定a的范围．
【详解】解：解不等式①，得；解不等式②，得；
∵不等式组无解，∴；故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
例10：（2025·辽宁九年级期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式（x+3）（x﹣3）＞0
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”
有①或②
解不等式组①得x＞3，解不等式组②得x＜﹣3
故原不等式的解集为：x＞3或x＜﹣3
问题：求不等式的解集．
【答案】
【分析】根据有理数的除法法则得出两个不等式组,求出每个不等式组的解集,集求出答案
【解析】解：由有理数的除法法则“两数相除，异号得负“，
有① 或② ，解不等式组①，得 ，
解不等式组②，得不等式组②无解，故原不等式组的解集为：，
【点睛】此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于利用有理数的除法法则
变式1．（2025·宁夏·石嘴山九年级阶段练习）阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，
解不等式组②得．
所以原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式．
【答案】
【分析】根据题意，由材料中的解不等式的方法进行解不等式，即可求出答案.
【详解】解：根据题意，∵，则；
∵，分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①，得：，
解不等式组②，得：无解，
∴原不等式的解集为：.
【点睛】本题考查解不等式组，以及解分式不等式，解题关键是熟练掌握材料，利用材料的方法进行解题.
变式2．（2025·四川九年级期末）先阅读理解下列例题：
例题：解一元二次不等式
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得有：①或 ②
解不等式组①得；解不等式组②得
∴一元二次不等式的解集是或
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集．
【答案】（1）或；（2）
【分析】（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”得出两个不等式组，然后求出每个不等式组的解集，进而可得答案；（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正” 得出两个不等式组，然后求出每个不等式组的解集，进而可得答案．
【详解】解：（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”可得：
①或②，解不等式组①，得；解不等式组②，得；
∴不等式的解集是或；
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”可得：
①或②，解不等式组①，得；解不等式组②，无解；
故不等式的解集为．
【点睛】本题是阅读理解题，主要考查了一元一次不等式组的解法和有理数乘除法则的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键．
核心考点4. 不等式（组）的实际应用
例11：（2025·北京石景山·七年级期末）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是_____；使代数式的值小于20的最大整数x是__________．
【答案】 1 7
【分析】当时，代数式的值，根据1＜20，可确定输出的值为1，列不等式，求解即可得答案．
【详解】解：当时，，
∵，∴当时，输出的值为1，
，移项合并得，系数化1得，∴x最大整数=7．故1；7．
【点睛】本题考查流程图与代数式求值，列不等式，不等式的最大整数解，掌握代数式求值，列不等式是解题关键．
变式1．（2025·湖北黄陂·九年级期末）如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则该程序需要运行________次才停止；若该程序只运行了次就停止了，则的取值范围是________．
【答案】 3
【分析】①分别求出程序运行1次、2次、3次得出的结果，将其与16比较后即可得出结论；②根据该程序只运行了2次就停止了，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：①输入3，得：，输入4，得：，
输入7，得：，∴若x=3，该程序需要运行3次才停止，
②依题意得：，解得：．
x的取值范围为，故答案为：3；．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，列出不等式组是解题的关键．
例12：（2025·射阳县九年级期中）有学生若干人，住若干间宿舍，若每间住5人，则有14人无法安排住宿，若每间住8人，则最后有一间宿舍不满也不空，则学生人数为_____．
【答案】39或44或49
【分析】设共有x间宿舍，则学生数有（5x＋14）人，列出不等式组为0＜5x＋14−8（x−1）＜8解出即可．
【详解】设共有x间宿舍，则学生数有（5x＋14）人，
根据题意得：0＜5x＋14−8（x−1）＜8，解得＜x＜，
∵x为整数，∴x＝5或6或7，即学生有5x＋14＝39或5x＋14＝44或5x＋14＝49．
即，学生人数是39或44人或49；故答案为：39或44或49．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．准确的解不等式组是需要掌握的基本能力．
变式1.（2025·宁波市鄞州区九年级期中）一次生活常识知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对了_______道题．
【答案】17
【分析】设小聪答对了x道题，根据“答对题数×5−答错题数×2＞80分”列出不等式，解之可得．
【详解】设小聪答对了x道题，根据题意，得：5x−2（19−x）＞80，解得x＞16，
∵x为整数，∴x＝17，即小聪至少答对了17道题，故答案为：17．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
变式2．（2025年湖南省长沙市中考数学真题）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在九年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加．(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？(2)投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？
【答案】(1)该班级胜负场数分别是场和场；(2)该班级这场比赛中至少投中了个分球．
【分析】（1）设胜了场，负了场，根据场比赛中获得总积分为分可列方程组，求解即可．
（2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，根据所得总分不少于分，列出相应的不等式，从而可以求出答案．
【详解】（1）解：设胜了场，负了场，
根据题意得：，解得，
答：该班级胜负场数分别是场和场；
（2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，
根据题意得：，解得，
答：该班级这场比赛中至少投中了个分球．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式．
例13：（2025·山东济宁市·九年级期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在不超过18分钟的时间内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑( )
A．3分钟B．4分钟C．4.5分钟D．5分钟
【答案】B
【分析】设这人跑了x分钟，则走了（18-x）分钟，根据速度×时间=路程结合要在18分钟内到达，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设这人跑了x分钟，则走了（18-x）分钟，
根据题意得：210x+90（18-x）≥2100，解得：x≥4，
答：这人完成这段路程，至少要跑4分钟．故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题关键．
变式1．（2025年黑龙江省大庆市中考数学真题）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设粽子的成本为a元，设降价幅度为x，根据降价出售后不亏本即售价不低于进价列出不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：设粽子的成本为a（a是常数且）元，设降价幅度为x，
则，解得，
即为了不亏本，降价幅度最多为．故选：A．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键．
变式2.（2025·浙江绍兴市·九年级模拟）某家庭投资3.5万元资金建造屋顶光伏发电结，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电600度．
信息链接：根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以0.45元/度卖给电力公可，同时可获得政府补贴0.52元/度．（1）求这个月晴天的天数；（2）已知该家庭每月平均用电150度，若按每月发电600度计算，问至少需要几年才能收回成本？（不计其他费用，结果取整数）
【答案】（1）18天；（2）7年
【分析】（1）设这个月晴天的天数为x，根据“某月（按30天计）共发电600度”列出关于x的方程，解之可得；（2）设需要y年才能收回成本，据家庭共投资3.5万元列出关于y的不等式，解之可得．
【详解】解：（1）设这个月晴天的天数为x，由题意得：30x+5（30-x）=600，
解得x=18，∴这个月晴天的天数为18．
（2）设需要y年才能收回成本，由题意得
（600-150）×（0.52+0.45）×12y≥35000，5238y≥35 000，y≥6.7，
∵y取整数，∴至少需要7年才能收回成本．
【点睛】本题考查一元一次不等式、一元一次方程等知识，熟练应用方程或不等式解决实际问题是解题的关键，属于中考常考题型．
例14：（2025·四川达州·统考中考真题）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；(2)某特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件
(2)有3种进货方案：豆干购进件，则豆笋购进件；豆干购进件，则豆笋购进件；豆干购进件，则豆笋购进件(3)购进豆干购进件，则豆笋购进件，获得最大利润为元
【分析】（1）设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；（2）设豆干购进n件，则豆笋购进件，根据不等关系列出不等式组，解不等式组，再根据n取整数，即可求得进货方案；（3）设总利润为W元，豆干购进n件，求得W关于x的函数关系式为，根据一次函数的性质即可求得总利润最大的进货方案．
【详解】（1）解：设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，
则，解得，
故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件．
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进件，
，解得，
∴时，，即豆干购进件，则豆笋购进件，
时，，即豆干购进件，则豆笋购进件，
时，，即豆干购进件，则豆笋购进件．
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，
则（且n为整数），
∵，当时，W随n的增大而减小，
∴当时，W取最大值，为．
此时，购进豆干购进件，则豆笋购进件，获得最大利润为元．
【点睛】本题是方程、不等式及函数的综合题，考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次函数的性质等知识，涉及分类讨论思想，属于常考题型．
变式1．（2025·四川攀枝花·统考中考真题）某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可．
【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本，
由题意得：，解得：33≤x≤37，
∵x为正整数，∴x的取值为34、35、36、37，则不同的购买方案种数为4种，故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．
变式2．（2025·四川广安·统考中考真题）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元；若购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元．(1)种盐皮蛋、种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
(2)若某公司购买两种盐皮蛋共30箱，且种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】(1)种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元
(2)购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元
【分析】（1）设种盐皮蛋每箱价格是元，种盐皮蛋每箱价格是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得；（2）设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱，根据题意建立不等式组，解不等式组可得的取值范围，再结合为正整数可得所有可能的取值，然后根据（1）的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可．
【详解】（1）解：设种盐皮蛋每箱价格是元，种盐皮蛋每箱价格是元，
由题意得：，解得，
答：种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元．
（2）解：设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱，
购买种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，
，解得，
又为正整数，所有可能的取值为18，19，20，
①当，时，购买总费用为（元），
②当，时，购买总费用为（元），
③当，时，购买总费用为（元），
所以购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键．理论依据
式子表示
性质1
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变
若，则
性质2
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
若，，则或
性质3
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
若，，则或
不等式组
（其中）
数轴表示
解集
口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解
大大、小小取不了
理论依据
式子表示
性质1
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变
若，则
性质2
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
若，，则或
性质3
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
若，，则或
不等式组
（其中）
数轴表示
解集
口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解
大大、小小取不了