2024~2025学年山西省长治市九年级上学期12月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年山西省长治市九年级上学期12月期末考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列根式是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知，，，不是二次根式，是二次根式，
∴A、B、D不符合要求；C符合要求；
故选：C．
2. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】 一元二次方程 ，
∴判别式 ，
方程有两个不相等的实数根．
故选B
3. 如图，已知，且，则与的对应高线之比为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∵，
∴与的对应高线之比为，
故选：D．
4. 在中，，、、的对边分别为a、b、c，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示：中，、、的对边分别为a、b、c，
；
故选：B．
5. 已知方程有一个根为1，则（ ）
A. 1B. C. 0D. 2
【答案】C
【解析】∵方程有一个根为1，∴，故选：C．
6. 一个不透明袋子中装有除颜色外均相同的5个小球，其中3个红球，2个黄球，小明一次从中摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A. 摸出3个黄球B. 摸出3个红球
C. 摸出2个黄球，1个红球D. 摸出2个红球，1个黄球
【答案】A
【解析】A．摸出3个黄球，为不可能事件，故本选项符合题意；
B．摸出3个红球，为可能事件，故本选项不合题意；
C．摸出2个黄球，1个红球，为可能事件，故本选项不合题意；
D．摸出2个红球，1个黄球，为可能事件，故本选项不合题意；
故选：A．
7. 如图，一组平行线被直线a、b所截，交点分别为A、B、C、D、E、F，则（）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】一组平行线被直线a、b所截，交点分别为A、B、C、D、E、F，
，，，
所以选项A，B，C不正确，选项D正确，
故选：D．
8. 一元二次方程的两根分别为、，若，则（ ）
A. 16B. 19C. 13D. 8
【答案】C
【解析】关于的一元二次方程的两根分别为，，
，
，
，
故选：C．
9. 复印用纸中的纸对折后成为2张纸，纸对折后成为2张纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，则复印用纸的长宽之比为（ ）
A. B. C. 2∶1D. 1∶2
【答案】A
【解析】设纸的宽为，长为，则的宽为，长为，
得到的两个矩形都和原来的矩形相似，
，即，
，
即纸长与宽之比是．
故选：A．
10. 如图，在矩形中，点E在边上，连接，过点E作交的外角平分线于点F，若，，，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过点F作交于点G，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
由勾股定理，得，
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分）
11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】由二次根式在实数范围内有意义可得：，解得：；
故答案为．
12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】关于的一元二次方程有实数根，
，
解得．
13. 如图，在中，，，，则______．
【答案】
【解析】过点A作，
设，
在中，
，即，
，
,
故答案为：．
14. 锐角中，，，，______．
【答案】
【解析】过点A作交于点D，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在中，点D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则______．
【答案】8
【解析】如图，取的中点，连接，
是的中点，
故答案为：8．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：
（2）解方程：
解：（1）
（2）
或
∴，
17. 如图，在中，点D是边上的一点，连接，请添加一个条件，使，并说明理由．
解：添加（答案不唯一），理由如下：
又∵，，
∴．
18. 为激发青少年崇尚科学、探索未知热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛，各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．请认真阅读信息，回答下列问题：
整理数据：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
（1）填空：______，______，______；
（2）从优秀率的角度分析，我认为______组成绩较好．
（3）若从该两组成绩优秀的学生中随机选两名学生去参加决赛，求恰好选中初赛成绩最高的2人的概率．
解：（1）∵甲组成绩从小到大排列为：3，7，7，7，8，9，10，10，
∴，
∵乙组成绩出现最多的是7分，
∴，
优秀率：，
故答案为：7.5；7；．
（2）∵，
∴甲组成绩较好，
故答案为：甲．
（3）甲组成绩优秀的有：9、10、10，乙组成绩优秀的有：9、9，共5名同学，所有可能如下：
则从该两组成绩优秀的学生中随机选两名学生去参加决赛，共有10种，恰好选中初赛成绩最高的2人有1种，
∴，
∴恰好选中初赛成绩最高的2人的概率为．
19. 如图，在平面直角坐标系中、的顶点坐标分别为O0,0、、．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为．
（2）的面积为______．
（3）画出将先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的．
（4）判断与是位似图形吗？若是，请标出位似中心点M，并写出点M的坐标．
解：（1）如图所示，即为所求．
（2），
故答案为：10．
（3）如图所示，即为所求．
（4）∵对应点所连直线经过同一个点，
∴由作图可知，与是位似三角形，
点M为所求位似中心，点M的坐标为．
20. 阅读下列材料，并解决问题
自然界的设计密码
—黄金比例与叶序现象的完美体现
春黄菊的头状花序呈现出一种令人惊叹的数学规律：小花以螺旋状排列，从不同方向可以数出21条深蓝螺旋和13条浅蓝螺旋，这两个数字属于著名的斐波那契数列（1，1，2，3，5，8，13，21…）．斐波那契数列广泛存在于自然界中，其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例（约0.618）．这种比例是植物生长的关键优化机制，被称为叶序现象．
具体来说，植物在生长过程中以固定的黄金角逐渐生成新的小花或种子，这种角度能够最大化空间利用率，避免重叠并形成紧密且均匀的排列．通过这种机制，春黄菊的螺旋排列不仅展现了自然选择的智慧，还体现了数学的深刻美感．
问题（1）：黄金角是恰好把圆周分成的两条半径的夹角，请求出其中较小的黄金角为______（精确到）．
问题（2）：若斐波那契数列的无理数表达形式为，已知89是斐波那契数列中的某一项，请根据阅读材料内容，求出89的相邻两项．
解：（1）黄金角是恰好把圆周分成的两条半径的夹角，
其中较小的黄金角为，
故答案为：；
（2）设89的前面一项为，89的后面一项为，
斐波那契数列广泛存在于自然界中，其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例，
，
89的相邻两项分别是55和143．
21. 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点A的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点处时，测得米
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面距离AB的长．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，）
解：如图：延长交于点，则四边形为矩形，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
设．
，
，
，解得，
（米）．
答：点A到地面的距离AB的长约为27米．
22. 山西特产专卖店销售核桃，进价为元，按元出售，平均每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃的售价应为多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，该店应按原价的几折出售？
（3）每千克核桃降价多少元时，获利最大？并求出最大利润．
解：（1）设每千克核桃应降价x元，
根据题意，得 ，解得，，
∴（元），（元），
答：每千克核桃售价为54元或56元．
（2）∵为尽可能让利于顾客，
∴每千克核桃应降价6元，售价为54元，
∴，
答：该店应按原价的九折出售．
（3）设每千克核桃降价y元，利润为W元，
由题意得，，
∵，
∴当时，利润最大，，
答：每千克核桃降价5元时，获利最大，最大利润为2250元．
23. 已知：如图，在中，，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）当t为何值时，与相似？
（2）是否存在某一时刻t，使，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）在中，由勾股定理得：，
由题意得，，
当时，有，即，
解得：，当时，有，即，
解得：，
当t为或时，与相似；
（2）存在，如图，作于点，
，，
，
，
即，
解得：，
，
，
，
∵
，
解得：，
当时，；
（3）存，当时，
，，
当时，作于点，
，，
，
，
即，
，
∵，
，
，
解得：；
当时，
作于点，
，
，
，
即，
，
∵，，
，
，
解得：，
当或或时，为等腰三角形．
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
优秀率
甲组
7.625
a
7
4.48
乙组
7.625
7
b
0.73
c