山西省吕梁市文水县2025-2026学年九年级上学期开学摸底考试数学试卷（解析版）

这是一份山西省吕梁市文水县2025-2026学年九年级上学期开学摸底考试数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意；
故选：B．
2. 用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设．
故选：A．
3. 如果，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选项A：由，两边减得，故不成立，错误；
选项B：由，两边同乘，不等号方向不变，得，故不成立，错误；
选项C：由，两边同乘3得，再两边同减1得，故不成立，错误；
选项D：由，两边同乘，不等号方向改变，得，成立．
故选：D ．
4. 将方程配方变形后所得方程正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】把常数项移到等号的右边得，，
二次项系数化为，得，
配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方得，，
所以，即，
故选：．
5. 如图，在中，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在中，，
∴四边形是矩形，
A、当时，四边形是正方形，正确，故A不符合题意；
B、当时，无法确定矩形就是正方形，故B符合题意；
C、当时，矩形是正方形，正确，故C不符合题意；
D、当时，则，，所以是正方形，正确，故D不符合题意；
故选：B．
6. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D.
【答案】B
【解析】根据题意将代入方程可得：，
解得：或，
∵是一元二次方程，
∴，即，
∴，
故选：B．
7. 如图，在中，，相交于点，，为的中点，为的中点．若，则的长为（ ）
A. 9B. 9.5C. 10D. 6
【答案】A
【解析】连接，如图：
∵四边形平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵E为的中点，
∴，
在中，F为的中点，
∴．
故选：A．
8. 某县大力治理生态环境，发展生态旅游，吸引了全国各地的游客．2023年暑假，该县接待游客35万人次，2025年增长至86万人次．设这两年暑假，该县接待旅游人次的年平均增长率为，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得．
故选：C．
9. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】B
【解析】原分式方程可化为：，
去分母，得，
解得，
分式方程解是非负数，
，且，
的取值范围是：且，
故选：B
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】将绕点O顺时针旋转得到，交x轴于点，
∴，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
同理可得：、、⋯、都是等腰直角三角形，，…，
∴，，，…，
∵，
∴点在第一象限，坐标为即，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11. 因式分解：_____．
【答案】
【解析】
．
12. 正十五边形其中一个内角的度数为________．
【答案】
【解析】正十五边形的一个外角为：，
∴正十五边形中一个内角的度数为；
故答案为：．
13. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长为___________
【答案】
【解析】∵在中，，，，
∴，，，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴∠ACE=∠BCF=60°，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵的中点是点，
∴，
∵，，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=60°+30°=90°，
∴DE=BE2+BD2=42+232=27，
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数（k为常数，且）和一次函数（m、n均为常数，且）的图象交于点，则关于x的一元一次不等式的解集是______．
【答案】
【解析】∵正比例函数（k为常数，且）和一次函数（m、n均为常数，且）的图象交于点，
根据函数图象可得，时，即的解集是
故答案为：．
15. 如图，已知，，，以，为边作平行四边形，连接，则的长为___________．
【答案】
【解析】连接交于O，作于E，连接，如图所示：
∵，，，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴．
故答案为：．
16. 如图，在矩形中，，点为边上一动点，连接，以为一边在左侧作等边，连接，当最短时，的长为___________．
【答案】
【解析】上方作等边三角形，交于，连接，过作交于，
在矩形中，，
∴，，，
∵等边和，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当与重合时，最短，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵中，，，，
∴
∴（负值舍弃），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当与重合时，最短，此时；
故答案为：．
三、解答题（共7小题，计52分）
17. 解方程及不等式组
（1）解方程：；
（2）解方程：；
（3）解不等式组：．
（1）解：，
3+24-x=-1-x，
，
，
，
，
当时，，
∴是原方程的增根，原方程无解；
（2）解：，
，
，
，
，
∴，；
（3）解：5x+3>4x+8x6-14x+8，得：，
解不等式，得：，
∴原不等式组的解为：．
18. 如图，求作菱形，使得点分别在边上．（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图，四边形即为所求；
19. 先化简，再求值：，再从，，0，1，2中取一个数代入求值其中．
解：
，
由题意：、、，
故a取1，当时，
原式．
20. 如图，将平行四边形的边延长到点，使，连接，交于点．若，连接，．求证：四边形是矩形．

证明： 四边形 是平行四边形，
，，
四边形 是平行四边形．
，．
，，
．
，
．
．
，
，．
．
四边形 是矩形．
21. 某影院放映《南京照相馆》，周末场观影人数是工作日场人数的倍．周末场人均票价比工作日场人均票价少10元，周末场和工作日场的票房收入均为6000元．求工作日场的观影人数是多少人？
解：设工作日场的观影人数是x人，则周末场的观影人数是人，
根据题意列分式方程得：，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
即工作日场的观影人数是150人，
答：工作日场的观影人数是150人．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为．
（1）填空：_______；
（2）点M是线段上的一个动点（点A、B除外），试探索在坐标平面内是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．
（1）解：直线分别与轴、轴交于点、，且点的坐标为，
，
解得，
故答案为：；
（2）解：由（1）知直线的解析式为，则，∴．
设（），则OM2=m2+-34m+32，
BM2=m2+-34m+3-32=m2+-34m2，
情况一：以为对角线时，
∵四边形是菱形，
∴，
∴m2+-34m+32=m2+-34m2，
展开得，
移项化简得，
∴
∴
∵菱形对角线互相平分，中点坐标为，. ，
∴的坐标为，
情况二：以为对角线，
∵四边形是菱形，
∴，
∵OM2=m2+-34m+32=32
即，
解得（舍去），，
∴M7225,2125，
∵菱形对角线互相平分，中点坐标为，，
∴的坐标为，
情况三：以为对角线，
∵四边形是菱形，
∴，
∴BM2=m2+-34m2=32，
即，
，
，
∵，∴，
则，
∵菱形对角线互相平分，中点坐标为，，
∴的坐标为，
综上，在坐标平面内存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，的坐标为或或．
23. （1）如图1，正方形的边长为4，对角线、相交于点是边上点（点不与、重合），将射线绕点逆时针旋转，所得射线与交于点，则四边形的面积为___________．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的对角线的交点是矩形的一个顶点，将矩形绕着点旋转，与边相交于点．与边相交于点，连接，猜想之间的数量关系．并进行证明．
【拓展应用】
（3）如图3，在直角中，，，，的顶点在边的中点处，，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，则的长度为___________cm．
解：（1）如图，
∵正方形的边长为4，对角线、相交于点，
∴，，，
由旋转得，
∴，
∴，
∴，
∴S四边形OEBF=S△EOB+S△FOB=S△OFC+S△FOB=S△OBC=14S正方形ABCD=14×4×4=4cm2，
故答案为：；
（2）如图1，延长交于，连接，，
∵矩形的对角线的交点是矩形的一个顶点，
∴，，，∴，
∵，∴△AOG≌△CONASA，
∴，，
∵，∴，
∵，∴；
（3）当在线段上时，如图，延长至，使，连接，，
∵在边的中点处，
∴，
∴△ADH≌△BDQSAS，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴CP=AC-AP=2cm，
∴，
∵中，PQ2=CP2+CQ2=22+8-BQ2，
∴PQ2=22+8-BQ2=42+BQ2，
解得BQ=134cm，
∴PQ=42+BQ2=42+1342=5174cm；
当在线段外时，如图，延长至，使，连接，，
∵在边的中点处，
∴，
∴△ADH≌△BDQSAS，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴CP=AC+AP=10cm，，
∵中，PQ2=CP2+CQ2=102+BQ-82，
∴PQ2=102+BQ-82=42+BQ2，
解得BQ=374cm，
∴PQ=42+BQ2=42+3742=5654cm；
综上所述，PQ=5174cm或5654cm，
故答案为：或．
24. 如果关于方程的两个实数根分别为那么的值为___________．
解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴，
代入方程得：，解得：，则．
故答案为：．
25. 如图，Rt中，，点、分别在边和上，，，则的最小值是___________．
解：设，
∵，，∴，，
∴,，
∴，
即表示的点到和点的距离的和，如图
∴当在线段上时，取得最小值，最小值为的长为；故答案为：．