2024-2025学年贵州省黔西南州七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年贵州省黔西南州七年级（下）期末数学试卷（含解析），共26页。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．公元6世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，这一学派中的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，从而发现了无理数．下列各数中，属于无理数的是
A．0B．C．D．3.14
2．如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育老师测量小明同学的体育成绩时，通常应测量线段
A．的长度B．的长度C．的长度D．的长度
3．2025年5月18日，贵州民族团结大巡游在贵阳市中心震撼上演，26个巡游方阵、3600名各族儿女踏歌而行，生动演绎出“各美其美、美美与共”的民族和谐画卷，让世界看见属于贵州的精彩！现场市民、游客及演职人员合计超过20万人将数据“20万”用科学记数法表示为
A．B．C．D．
4．已知点在第四象限，且到轴的距离为3，到轴的距离为5，则点的坐标是
A．B．C．D．
5．下面是两位同学在讨论一个不等式．
根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可能是
A．B．C．D．
6．如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是
A．B．C．D．
7．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间
A．2和3之间B．3和4之间C．5和6之间D．6和7之间
8．要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是
A．随机选取一个体育队的学生
B．随机选取一个班的学生
C．在全校男生中随机选取100人
D．在全校学生中随机选取100人
9．将一副直角三角尺按如图所示位置摆放，使点落在边上，，则的度数是
A．B．C．D．
10．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为
A．B．
C．D．
11．在日常生活中，我们用十进制来表示数，二进制是计算机世界的“语言”，二进制在多个领域有着广泛应用，如计算机系统，数字通信，条形码及二维码等，十进制数与二进制数可以相互转化，如二进制中的1011可以按如下方式转换为十进制：，那么二进制数1101对应的十进制数是
A．9B．11C．13D．15
12．在平面直角坐标系中，有，，三点，为直线上的一点．当点恰好落在轴上，且点与点的距离最小时，点的坐标是
A．B．C．D．
二、填空题．本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．体育用品商店的每个排球的价格为元，每个篮球的价格为元，学校到体育用品商店购买3个排球，5个篮球共需的费用为 元．（用含、的代数式表示）
14．如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点 ．
15．若是二元一次方程的一个解，则的值为 ．
16．如图，一副直角三角板的斜边分别与直线、重合，且，将△、△分别绕点、点以每秒6度和每秒1度的速度同时逆时针旋转，△转动一周时两块三角板同时停止，设时间为秒，当、所在直线垂直时，的值为 ．
三、解答题．（本大题共98分）
17．（11分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
下面是某同学解不等式组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：由①得：．第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：以上解题过程中，第 步开始出现错误．这一步错误的原因是 ．
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
18．（11分）已知、是数轴上的两个实数，且满足．
（1）求和的值．
（2）如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为．以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧）求点所表示的数．
19．（11分）2025年2月17日，民营企业座谈会在北京召开，习总书记亲自出席并发表重要讲话．众多（人工智能）行业的企业家出席了此次座谈会，标志着我国事业得到了迅猛发展．为了解软件的使用情况，某中学数学活动小组随机抽取了部分师生进行调查，并根据调查结果绘制了以下尚不完整的统计图．为了方便统计，把经常使用“”的用户记为类，经常使用“豆包”的用户记为类，经常使用“”的用户记为类，经常使用“腾讯元宝”的用户记为类，经常使用其他软件的用户记为类．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）请计算本次被抽取的师生人数为 人，在扇形统计图中，“”部分所对应扇形的圆心角度数是 ，并补全条形统计图；
（2）该校全年级师生共2000人，其中经常使用“”的约有多少人？
（3）为了分析软件使用趋势，数学活动小组进一步统计调查了2025年月类用户占比的月度数据，请你根据趋势图谈一谈随着月份增加，用户占比有怎样的变化趋势？并请你预测一下八月份用户占比为多少？
20．（11分）已知，．
（1）化简：；
（2）已知，，求的值．
21．（11分）已知关于，的方程组是常数），
（1）若此方程组的解也是方程的解，求常数的值；
（2）若，满足，试化简：．
22．（11分）如图，已知，，．
（1）判断与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，平分，试求的度数．
23．（11分）在贵州某县乡村振兴项目中，为发展旅游业，需对一条苗族风情古寨旁的河道进行生态整治．现有一段长480米的河道整治任务由甲、乙两支施工队接力完成．甲工程队每天整治12米，乙工程队每天整治30米，共用时25天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．
根据题意，得；
②小华同学：设整治任务完成后，表示 ，表示 ；
则可列方程组为．
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
（2）请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．
（3）为了合理控制项目成本，工程指挥部在确保施工质量的前提下，希望优化预算基于上述施工方案，甲工程队每天的施工费用为500元，工程指挥部要求总施工费用不超过22000元，那么乙工程队每天的施工费用最多是多少元？
24．（11分）如图，已知△的三个顶点的坐标分别是，，，将△先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到△（点对应点，点对应点，点对应点．
（1） ， ．
（2）请直接写出点、点的坐标，并在图中画出△；
（3）过点作直线轴，在直线上是否存在点，使得，如果存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
25．（10分）学习了平行线后，在数学活动课上，同学们对数学知识有着自己的理解与表达，王芳同学通过折纸想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法．
（1）【操作发现】
如图1，在一张正方形纸片的两边上有，两点，点是正方形纸片上一点，连接，过点折叠纸片，使点落在直线上的点处，折痕交点．
①判断折痕与的位置关系 ．
②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学原理是，在同一平面内， ．
（2）【操作探究】
在图1基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点折叠纸片使过点的直线与平行，请画出过点与平行的直线，简要阐述折叠方法并说明理由；
（3）【拓展延伸】
将图2纸片展平得到图3，，点是线段上一动点（不与点重合），若，，请直接写出的度数．（用、的代数式表示）
参考答案
一、选择题．（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．公元6世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，这一学派中的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，从而发现了无理数．下列各数中，属于无理数的是
A．0B．C．D．3.14
解：、0是整数，可以表示为分数形式，属于有理数，不符合题意；
、是分数，属于两个整数的比，因此是有理数，不符合题意；
、是5的平方根．由于5不是完全平方数，无法化简为整数或分数，且是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
、3.14是有限小数，可写为，化简后为，属于有理数，不符合题意，
故选：．
2．如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育老师测量小明同学的体育成绩时，通常应测量线段
A．的长度B．的长度C．的长度D．的长度
解：应该选取线段的长度，其依据是垂线段最短，
故选：．
3．2025年5月18日，贵州民族团结大巡游在贵阳市中心震撼上演，26个巡游方阵、3600名各族儿女踏歌而行，生动演绎出“各美其美、美美与共”的民族和谐画卷，让世界看见属于贵州的精彩！现场市民、游客及演职人员合计超过20万人将数据“20万”用科学记数法表示为
A．B．C．D．
解：20万．
故选：．
4．已知点在第四象限，且到轴的距离为3，到轴的距离为5，则点的坐标是
A．B．C．D．
解：点在第四象限，且到轴的距离为3，
点的横坐标是3；
点到轴的距离为5，
点的纵坐标是，
点的坐标；
故选：．
5．下面是两位同学在讨论一个不等式．
根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可能是
A．B．C．D．
解：由题意可得：不等式的未知数的系数是负数，讨论的不等式的解集为，
综上，不等式符合他们的讨论．
故选：．
6．如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是
A．B．C．D．
解：、可判断，故此选项错误；
、可判断，故此选项错误；
、可判断，故此选项错误；
、可判断，故此选项正确；
故选：．
7．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间
A．2和3之间B．3和4之间C．5和6之间D．6和7之间
解：由条件可知铁块的体积为，
铁块的棱长为，
，
，
铁块的棱长在3和4之间，
故选：．
8．要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是
A．随机选取一个体育队的学生
B．随机选取一个班的学生
C．在全校男生中随机选取100人
D．在全校学生中随机选取100人
解：随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，抽样时要注意样本的代表性和广泛性，
在全校学生中随机选取100人，这些对象具有代表性和广泛性．
故选：．
9．将一副直角三角尺按如图所示位置摆放，使点落在边上，，则的度数是
A．B．C．D．
解：一副直角三角尺按如图所示位置摆放，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
10．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为
A．B．
C．D．
解：由题意得：，
故选：．
11．在日常生活中，我们用十进制来表示数，二进制是计算机世界的“语言”，二进制在多个领域有着广泛应用，如计算机系统，数字通信，条形码及二维码等，十进制数与二进制数可以相互转化，如二进制中的1011可以按如下方式转换为十进制：，那么二进制数1101对应的十进制数是
A．9B．11C．13D．15
解：根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法可得：
，
故选：．
12．在平面直角坐标系中，有，，三点，为直线上的一点．当点恰好落在轴上，且点与点的距离最小时，点的坐标是
A．B．C．D．
解：由条件可知，
解得，
，，，
如图，根据垂线段最短，过点作，交于点，
此时，，
故选：．
二、填空题．本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．体育用品商店的每个排球的价格为元，每个篮球的价格为元，学校到体育用品商店购买3个排球，5个篮球共需的费用为 元．（用含、的代数式表示）
解：每个排球的价格为元，每个篮球的价格为元，
学校到体育用品商店购买3个排球，5个篮球共需的费用为元，
故答案为：．
14．如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点 ．
解：如图，
则“兵”位于点的坐标是，
故答案为：．
15．若是二元一次方程的一个解，则的值为 2023 ．
解：由条件可得：，
，
故答案为：2023．
16．如图，一副直角三角板的斜边分别与直线、重合，且，将△、△分别绕点、点以每秒6度和每秒1度的速度同时逆时针旋转，△转动一周时两块三角板同时停止，设时间为秒，当、所在直线垂直时，的值为 15或51 ．
解：①当的延长线与垂直时，如图，
此时，
将△、△分别绕点、点以每秒6度和每秒1度的速度同时逆时针旋转，
，，
，
，
，
解得；
②当的延长线与的延长线垂直时，如图，
此时，
由题意可得：，，
，
，
，解得，
故答案为：15或51．
三、解答题．（本大题共98分）
17．（11分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
下面是某同学解不等式组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：由①得：．第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：以上解题过程中，第 五 步开始出现错误．这一步错误的原因是 ．
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
解：（1）
；
（2）任务一：五，不等号的方向没有改变；
任务二：解不等式②；
，
，
，
，
解不等式①可得：，
该不等式组的解集为．
18．（11分）已知、是数轴上的两个实数，且满足．
（1）求和的值．
（2）如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为．以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧）求点所表示的数．
解：（1）由条件可知，，
，．
（2）由条件可知，
以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧），
，
点表示的数是2，
点所表示的数为．
19．（11分）2025年2月17日，民营企业座谈会在北京召开，习总书记亲自出席并发表重要讲话．众多（人工智能）行业的企业家出席了此次座谈会，标志着我国事业得到了迅猛发展．为了解软件的使用情况，某中学数学活动小组随机抽取了部分师生进行调查，并根据调查结果绘制了以下尚不完整的统计图．为了方便统计，把经常使用“”的用户记为类，经常使用“豆包”的用户记为类，经常使用“”的用户记为类，经常使用“腾讯元宝”的用户记为类，经常使用其他软件的用户记为类．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）请计算本次被抽取的师生人数为 400 人，在扇形统计图中，“”部分所对应扇形的圆心角度数是 ，并补全条形统计图；
（2）该校全年级师生共2000人，其中经常使用“”的约有多少人？
（3）为了分析软件使用趋势，数学活动小组进一步统计调查了2025年月类用户占比的月度数据，请你根据趋势图谈一谈随着月份增加，用户占比有怎样的变化趋势？并请你预测一下八月份用户占比为多少？
解：（1）类人数为80；类人数占比是，
人，
类人数占比为，
“”部分所对应扇形的圆心角度数是，
其中类有100人、类有80人、类有40人、类有60人，
类有人，
补全条形统计图如下：
故答案为：400，；
（2）经常使用“”人数占比为，
该校全年级师生共2000人，
其中经常使用“”的人数约为人；
（3）随着月份的增加，用户占比大致呈现逐渐上升的趋势；预测八月份用户占比．
20．（11分）已知，．
（1）化简：；
（2）已知，，求的值．
解：（1）
；
（2）当，时，将值代入可得：
．
21．（11分）已知关于，的方程组是常数），
（1）若此方程组的解也是方程的解，求常数的值；
（2）若，满足，试化简：．
解：（1）方程组是常数）的解也是方程的解，
联立，
解得：，
代入得，
，
解得：；
（2）解：，
①②得，，
解得：，
将代入①得，
解得：，
，
，
，
解得：，
，，
．
22．（11分）如图，已知，，．
（1）判断与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，平分，试求的度数．
解：（1），
理由：，，
，
，
又，
，
；
（2），，
，
又平分，
，
，
又，
．
23．（11分）在贵州某县乡村振兴项目中，为发展旅游业，需对一条苗族风情古寨旁的河道进行生态整治．现有一段长480米的河道整治任务由甲、乙两支施工队接力完成．甲工程队每天整治12米，乙工程队每天整治30米，共用时25天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．
根据题意，得；
②小华同学：设整治任务完成后，表示 甲工程队工作的天数 ，表示 ；
则可列方程组为．
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
（2）请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．
（3）为了合理控制项目成本，工程指挥部在确保施工质量的前提下，希望优化预算基于上述施工方案，甲工程队每天的施工费用为500元，工程指挥部要求总施工费用不超过22000元，那么乙工程队每天的施工费用最多是多少元？
解：（1）①设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，
；
②表示甲工程队工作的天数；表示乙工程队工作的天数．
故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；
（2）选择①．①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，
则，
解得，
答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道300米，
选择②，
设甲工程队工作的天数是天，乙工程队工作的天数是天．则：
，
解得，
甲整治的河道长度：（米；乙整治的河道长度：（米．
答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道300米．
（3）设乙工程队每天的施工费用为元．
则，
，
答：乙工程队每天的施工费用最多是1450元．
24．（11分）如图，已知△的三个顶点的坐标分别是，，，将△先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到△（点对应点，点对应点，点对应点．
（1） 3 ， ．
（2）请直接写出点、点的坐标，并在图中画出△；
（3）过点作直线轴，在直线上是否存在点，使得，如果存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）平移后点对应点，
△先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，
，，
故答案为：3；2；
（2），；
将△先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△，如图1即为所求；
（3）在直线上存在点，使得；
，
，
过点作直线轴，如图
，
，
，
或．
25．（10分）学习了平行线后，在数学活动课上，同学们对数学知识有着自己的理解与表达，王芳同学通过折纸想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法．
（1）【操作发现】
如图1，在一张正方形纸片的两边上有，两点，点是正方形纸片上一点，连接，过点折叠纸片，使点落在直线上的点处，折痕交点．
①判断折痕与的位置关系 ．
②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学原理是，在同一平面内， ．
（2）【操作探究】
在图1基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点折叠纸片使过点的直线与平行，请画出过点与平行的直线，简要阐述折叠方法并说明理由；
（3）【拓展延伸】
将图2纸片展平得到图3，，点是线段上一动点（不与点重合），若，，请直接写出的度数．（用、的代数式表示）
解：（1）①；
点是正方形纸片上一点，过点折叠纸片，使点落在直线上的点处，折痕交点，
，
，
，
，
故答案为：；
②除了上面的折法，过点再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故答案为：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（2）折叠方法：过点翻折纸片，使点落在直线上，折痕为；如图
理由如下：
根据解析（1）可得：，
，
，
；
（3）或；
当点在线段上时，如图
，，
，
，
；
当点在线段上时，如图4：过作，
，
，
，，
，
综上所述，或．