2024-2025学年湖南省衡阳市祁东县育贤中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省衡阳市祁东县育贤中学高二（下）期中数学试卷（含解析），文件包含分层练习12第五章第七讲功和机械能教师版docx、分层练习12第五章第七讲功和机械能学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
1.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)=2xf′(2)+lnx，则f′(1)=( )
A. −1B. 1C. −2D. 0
2.根据3对数据A(1,7)，B(3,m)，C(5,16)绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为Y=2.25X+4.25，则m=( )
A. 11B. 10C. 9D. 8
3.若随机变量X～N(2,σ2)，且P(X≤1)=0.29，则P(X390−x3900+400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )
A. 150B. 200C. 250D. 300
7.研究人员对甲、乙两种药物的临床抗药性进行研究，通过实验数据发现：“对药物甲产生抗药性”的概率为319，“对药物乙产生杭药性”的概率为219，“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”的概率为45，则在对药物甲产生杭药性的条件下，对药物乙也产生抗药性的概率为( )
A. 319B. 15C. 619D. 25
8.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行乒乓球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手M对乙队每名队员的胜率均为23，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12(注：比赛结果没有平局)，则甲队最终2：1获胜且种子选手M上场的概率是( )
A. 112B. 16C. 14D. 13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若f(x)=ln3，则f′(1)=13B. 若f(x)=1x2，则f′(4)=−132
C. 若f(x)=csx，则f′(π4)= 22D. 若f(x)=lg2x，则f′(2)=12ln2
10.2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开(以下简称“两会”)，两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是( )
A. 若A与B相邻，则有48种不同站法
B. 若C与D不相邻，则有24种不同站法
C. 若B在E的左边(可以不相邻)，则有60种不同站法
D. 若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法
11.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X表示小球落入格子的号码，则( )
A. P(X=1)=P(X=6)=132B. E(X)=52
C. D(X)=32D. D(X)=54
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线斜率为−2，则a= ______．
13.(2−x)(1−3x)8的展开式中x2项的系数是______．
14.“算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼(G.Fubini)原理.“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”(波利亚著《数学的发现》第一卷)，即将一个量“算两次”.由等式(1+x)2n=(1+x)n(x+1)n，n∈N∗，n≥2，利用“算两次”原理可得(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(Cnn−1)2+(Cnn)2= ______.(结果用组合数表示)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
若(1−3x)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8，请求值：
(1)a0；
(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|+|a8|；
(3)a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7+8a8．
16.(本小题15分)
唐诗是中国古典文化最灿烂的瑰宝之一.2023年7月8日，电影《长安三万里》上映以来，全国掀起了诗词背诵的狂潮，在电影院背诗成了当下最常见的现象，某诗词协会为了了解观众对影片中出现的48首唐诗的熟悉情况(若会背诵其中40首唐诗为极熟悉，否则为不太熟悉)，在影片放映结束后，随机抽取了200位观众进行调查，得到如下2×2列联表：
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
(1)补全2×2列联表；
(2)是否有97.5%的把握认为对这48首唐诗的熟悉程度与年龄有关？
(3)按分层随机抽样的方式在极熟悉48首唐诗的观众中抽取6人进行唐诗小调查，随后再从这6人中抽取3人进行唐诗接力赛，记3人中年龄超过30岁的人数为X，求X的分布列与均值．
17.(本小题15分)
如图，从左到右有5个空格．
(1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？(用数字作答)
(2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？(用数字作答)
(3)若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种(用数字作答)．
18.(本小题17分)
某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额(单位：百元)进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图.若将日销售额在[16,18)的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在[18,20]的加盟店评定为“五星级”加盟店．
(1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1)；
(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额X～N(μ,6.25)，其中μ近似为(1)中的样本平均数，根据X的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数(结果精确到整数)；(参考数据：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.)
(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设Y为抽取的“五星级”加盟店的个数，求Y的概率分布列与数学期望．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=12ax2+(a−1)x−lnx，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a>0时，证明：f(x)≥2−32a；
(3)若函数F(x)=ax2−x−f(x)有两个极值点x1，x2(x10)，令x=2求得f′(2)=−12，进而即可求出f′(1)．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意3对数据A(1,7)，B(3,m)，C(5,16)绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，
得x−=3，y−=23+m3，又Y=2.25X+4.25经过点(3,23+m3)，
所以23+m3=2.25×3+4.25，
解得m=10．
故选：B．
根据线性回归方程的定义可解．
本题考查线性回归方程的定义，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】解：因为X～N(2,σ2)，又P(X≤1)=0.29，
所以P(X≥3)=P(X≤1)=0.29，
所以P(X390−x3900+400x,0≤x≤390，
∴总利润Q(x)=90090−20000−100x, x>390−x3900+400x−20000−100x, 0≤x≤390，即Q(x)=−100x+70090, x>390−x3900+300x−20000,0≤x≤390
①当0≤x≤390时，Q′(x)=−x2300+300，令Q′(x)=0得x=300，
由Q′(x)18)=P(X>μ+2σ)≈1−0.95452≈0.023，
∴估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为600×0.023≈14．
(3)由(1)得样本中“四星级”加盟店有50×0.12=6(个)，“五星级”加盟店有50×0.06=3(个)，
∴Y的所有可能取值为0，1，2，3，
P(Y=0)=C63C93=2084=521，P(Y=1)=C62C31C93=4584=1528，
P(Y=2)=C61C32C93=1884=314，P(Y=3)=C33C93=184．
∴Y的概率分布列为：
∴E(Y)=0×521+1×1528+2×314+3×184=1．
【解析】(1)由平均数和中位数的计算公式计算即可得出答案；
(2)由(1)知μ=13，σ=2.5，由正态分布的性质求出P(X>18)的概率，即可求出这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数；
(3)求出Y的所有可能取值和每个变量对应的概率，即可求出Y的分布列，再由期望公式求出Y的数学期望．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=ax+(a−1)−1x=(ax−1)(x+1)x，
当a≤0时，ax−10时，f(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增．
(2)证明：由(1)知f(x)min=f(1a)=12a⋅(1a)2+(a−1)⋅1a−ln1a=−12a+1+lna，
令g(a)=−12a+1+lna−(2−32a)=1a+lna−1，
g′(a)=−1a2+1a=−1+aa2，
令g′(a)=0，得a=1，
所以在(0,1)上g′(a)0，g(a)单调递增，
所以g(a)≥g(1)=0，
所以−12a+1+lna≥2−32a，
所以f(x)≥2−32a．
(3)F(x)=ax2−x−f(x)=ax2−x−[12ax2+(a−1)x−lnx]=12ax2−ax+lnx，
F′(x)=ax−a+1x=ax2−ax+1x，
若函数F(x)=ax2−x−f(x)有两个极值点x1，x2(x1