湖南省衡阳市祁东县第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖南省衡阳市祁东县第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），共16页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知的值是（ ）
A. 2B. 1C. D.
2. 国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A. 65B. 125C. 780D. 1560
3. 已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A B.
C. D.
4. 现从男、女共8名学生中选出2名男生和1名女生分别参加学校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女学生的人数分别是（ ）
A. 2，6B. 3，5C. 5，3D. 6，2
5. 在区间上最大值是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知， ，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则（ ）
A. 恰好有1件是不合格品的抽法种数为
B. 恰好有2件是不合格品的抽法种数为
C. 至少有1件是不合格品的抽法种数为
D. 至少有1件是不合格品的抽法种数为
10. 已知函数f(x)=x3-3lnx-1，则（ ）
A. f(x)的极大值为0B. 曲线y=f(x)在（1，f(1))处的切线为x轴
C. f(x)的最小值为0D. f(x)在定义域内单调
11. 已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A. 在上单调递增，在上单调递减
B.
C 函数只有1个零点
D. 存在实数k，使得方程有4个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在点的切线方程为_________．
13. 中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有__种（要求：用数字填空，用式子填空不给分）
14. 若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________________
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数处取得极小值.
（1）求a，b的值;
（2）当时，求的最大值.
16. 在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
（1）求的值；
（2）求展开式中所有的有理项；
（3）求展开式中系数最大的项.
17. 某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元．
（1）试写出y关于x的函数关系式．
（2）问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：）
18. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数单调区间和极值；
（3）若在上恒成立，求实数a的取值范围．
19. 设.
（1）讨论在上的单调性；
（2）令，试证明在上有且仅有三个零点.
祁东一中2025年上学期期中考试-----高二数学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知的值是（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的定义求得正确答案.
【详解】依题意，
.
故选：A
2. 国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同分配方法种数为（ ）
A. 65B. 125C. 780D. 1560
【答案】D
【解析】
【分析】6个人先分成4组，再进行排列，最后用乘法原理得解.
【详解】6人分成4组有两种方案：“”、“”共有种方法，
4组分配到4个大门有种方法；
根据乘法原理不同的分配方法数为：.
故选:D.
3. 已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论．
【详解】由图象知的解集为，的解集为，
或，
所以或，解集即为．
故选：C
4. 现从男、女共8名学生中选出2名男生和1名女生分别参加学校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女学生的人数分别是（ ）
A. 2，6B. 3，5C. 5，3D. 6，2
【答案】B
【解析】
【分析】设男生有人，则女生有人，且．然后按先选人再分配的原则列方程求解．
【详解】设男生有人，则女生有人，且．
由题意可得，即，得，故，
即男、女学生的人数分别是3，5.
故选：B．
5. 在区间上的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用导数求出函数的单调区间，再根据单调区间求最值即可.
【详解】，，令，解得.
所以，，为减函数，
，，增函数，
又因为，，
所以函数在的最大值为.
故选：D
6. 已知， ，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意构造函数，然后利用导数分析函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小即可.
【详解】令，则，
令，解得， 所以在上单调递增，
令，解得， 所以在上单调递减.
，， ，
因为，所以，即.
故选：B
7. 已知，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由赋值法逐项判断A，C，D即可，对于B，求展开式中第7项的系数即可.
【详解】对于A，取，得，故A错误；
对于B，的展开式中第7项为，
所以，故B错误；
对于C，取得，
所以，故C错误；
对于D，由，
取得，
取得，
所以，故D正确.
故选：D
8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数可得函数在,上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得，再由对数函数的性质可得，结合，，是方程的三个根，可得，即可求得答案．
【详解】因为当时，，
所以，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，所以，
当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
作出函数图象，如图所示：
由此可得，
当时，令，解得或，
所以，
又因为，
所以，
所以；
由题意可得，，是方程，即的三个根，
所以，
即，
所以，
即，
所以．
故选：．
【点睛】关键点点睛：关键点是画出图象，根据根的个数确定解的范围，再结合对数运算性质和对数函数，得到，即可解题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则（ ）
A. 恰好有1件是不合格品的抽法种数为
B. 恰好有2件是不合格品的抽法种数为
C. 至少有1件是不合格品的抽法种数为
D. 至少有1件是不合格品的抽法种数为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A，从2件不合格品中选1件，再从98件合格品中选2件，由分步乘法计数原理可得；
B，从2件不合格品中选2件，再从98件合格品中选1件，由分步乘法计数原理可得；
“至少有1件”：
一种方法是直接法：先分类，一类是：从2件不合格品中选1件，再从98件合格品中选2件，第二类是：从2件不合格品中选2件，再从98件合格品中选1件，计算后判断C，
第二种方法是间接法（排除法）：从100个产品中任选3件，排除3件全是正品方法，计数后判断D．
由此可得正确选项．
【详解】由题意知，抽出的3件产品中恰好有1件不合格品，则包括1件不合格品和2件合格品，抽法种数为，故选项A正确；
恰好有2件不合格品，则包括2件不合格品和1件合格品，抽法种数为，故选项B不正确；
根据题意，至少有1件不合格品可分为有1件不合格品与有2件不合格品两种情况，则抽法种数为，故选项C正确；
至少有1件不合格品的对立事件是3件都是合格品，3件都是合格品的抽取方法有种，则至少有1件是不合格品的抽法种数为，故选项D正确.
故选ACD.
10. 已知函数f(x)=x3-3lnx-1，则（ ）
A. f(x)的极大值为0B. 曲线y=f(x)在（1，f(1))处的切线为x轴
C. f(x)的最小值为0D. f(x)在定义域内单调
【答案】BC
【解析】
【分析】直接对f(x)=x3-3lnx-1，求出导函数，利用列表法可以验证A、C、D;对于B:直接求出切线方程进行验证即可.
【详解】f(x)=x3-3lnx-1的定义域为，
令，得，
列表得：
所以f(x)的极小值，也是最小值为f(1)=0，无极大值，在定义域内不单调；故C正确，A、D错误；
对于B:由f(1)=0及，所以y=f(x)在（1，f(1))处的切线方程，即.故B正确.
故选：BC
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
11. 已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A. 在上单调递增，在上单调递减
B.
C. 函数只有1个零点
D. 存在实数k，使得方程有4个实数解
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：求导，利用导数判断函数单调性；对于B：根据函数单调性分析判断；对于C：直接解方程即可；对于D：分和两种情况，构建，利用导数判断其单调性和极值，结合图象分析判断.
【详解】对于选项A：由题意可知：函数的定义域为，
因为，
当，则；当，则；
可知在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
对于选项B：因为，且在上单调递增，
所以，故B正确；
对于选项C：令，解得，
所以函数只有1个零点，故C正确；
对于选项D：令，则，
若，，方程成立；
若，则，
构建，则，
当时，；当或时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，且，
当趋近于，趋近于0，
可得的图象如图所示：
当时，则与有3个交点，
即方程有3个根；
综上所述：存在实数k，使得方程有4个实数解，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在点的切线方程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式写出切线方程即可.
【详解】因为，所以，
又过点，
所以切线方程为，即.
故答案为：
13. 中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有__种（要求：用数字填空，用式子填空不给分）
【答案】
【解析】
【分析】由相邻问题捆绑法求解排列问题即可.
【详解】由题意得，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到，
当“立春”和“惊蛰”、“惊蛰”和“清明”均相邻时，只有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧，
此时再用捆绑法，将三者捆在一起即，
所以最终满足题意的排法为.
故答案为：
14. 若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________________
【答案】
【解析】
【分析】变形得到在上恒成立，令，求导得到其单调性和最值，令，则，参变分离，得到只需即可，令，求导得到其单调性，求出，得到答案.
【详解】因为不等式在上恒成立，
所以两边同除以得在上恒成立，
令，定义域为，则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以.
令，则，即在上恒成立，
即在上恒成立，
所以只需即可，
令，则，
令，则在上恒成立，单调递增，
又因为，所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，即.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处取得极小值.
（1）求a，b的值;
（2）当时，求的最大值.
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）根据极值的性质列式求，并代入检验即可；
（2）根据（1）中的单调性分析最值即可.
【小问1详解】
因为，则，
由题意可得：，解得，
当时，则，，
当或时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则函数在处取得极小值，符合题意，
所以.
【小问2详解】
因为，由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增，
且，即，
所以当时，求的最大值为.
16. 在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
（1）求的值；
（2）求展开式中所有的有理项；
（3）求展开式中系数最大的项.
【答案】（1）； （2），，，； (3).
【解析】
【分析】(1)由二项展开式的通项公式分别求出第4项的系数与倒数第4项的系数，然后计算出结果
(2)由通项公式分别计算当时有理项
(3)设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果
【详解】（1）由题意知：，则第4项的系数为，
倒数第4项的系数为， 则有即，.
（2）由（1）可得，
当时所有的有理项为
即，，
，.
（3）设展开式中第项的系数最大，则
，
，故系数最大项为.
【点睛】本题考查了二项式定理的展开式，尤其是通项公式来解题时的运用一定要非常熟练，针对每一问求出结果，需要掌握解题方法．
17. 某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元．
（1）试写出y关于x的函数关系式．
（2）问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：）
【答案】（1）
（2）需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元
【解析】
【分析】（1）由已知可得工程费用包括建造高压线电塔所需费用和搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用的总和，即可列出函数关系式；
（2）利用导数求解函数的单调性，然后求出最小值即可.
【小问1详解】
（1）由题意知，需要新建的高压线塔为座．
所以，
即．
【小问2详解】
由（1），得，
令得或（舍去）．
由，得；由，得，
所以函数y在区间上单调递减；在区间上单调递增．
所以当时，函数y取得最小值，
且，
此时应建高压线塔为（座）．
故需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元．
18. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）若在上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）增区间为；减区间为；极小值为，无极大值；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案；
（2）根据导数与单调性的关系，解不等式，可得函数单调区间；继而求得极值；
（3）将不等式整理，参变分离，继而根据其结构特征构造函数，利用导数判断其单调性，即可求得答案。
【小问1详解】
由题意知函数，故
故，
故曲线在点处的切线方程为；
【小问2详解】
由（1）可知：令，解得，
故的单调递减区间为；
令，解得，
故的单调递增区间为；
则为函数的极小值点，则函数极小值为，无极大值；
【小问3详解】
在上恒成立，
即，此时，即在上恒成立，
令，则，
故在上单调递增；
故，
故.
【点睛】方法点睛：第三问根据不等式恒成立求解参数范围，可采用参变分离方法，分离出参数，然后构造函数，利用导数判断函数单调性，即可求解.
19. 设.
（1）讨论在上的单调性；
（2）令，试证明在上有且仅有三个零点.
【答案】（1）的单调递增区间是，递减区间是；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先求导得到，再根据导函数的正负性即可得到函数的单调区间.
（2）首先根据，得到是的一个零点，再根据是偶函数得到在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，再求出在时的单调性和最值，确定其零点个数即可.
【详解】，
令，则或.
时，，单调递增，
时，单调递减，
时，，单调递增，
时，，单调递减.
的单调递增区间是，
递减区间是.
（2），
因为，所以是的一个零点.
所以是偶函数，
即要确定在上的零点个数，需确定时，的零点个数即可.
①当时，
令，即或.
时，单调递减，
且，
时，，单调递增，
且
在有唯一零点
②当时，由于，.
而在单调递增，
所以恒成立，故在无零点，
所以在有一个零点，
由于是偶函数，所以在有一个零点，而，
综上在有且仅有三个零点.
【点睛】本题第一问考查利用导数求函数的单调区间，第二问考查利用导数求函数的零点，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.
x
(0,1)
1
(1,+∞)
-
0
+
f(x)
单减
单增