2024-2025学年上海市宝山区罗店中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

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2．（3分）已知关于的不等式的解集为，其中、为实数，则 ．
3．（3分）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是 ．
4．（3分）已知集合，集合，若，则实数的取值范围是 ．
5．（3分）若，则的最大值为 ．
6．（3分）写出“任意，”的否定形式 ．
7．（3分）已知集合，，则 ．
8．（3分）已知，，用、表示 ．
9．（3分）方程的解集为 ．
10．（3分）若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数的取值范围是 ．
11．（3分）已知，，且，则的最小值为 ．
12．（3分）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 ．
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分。
13．（3分）若，，，且，则下列不等式一定成立的是
A．B．
C．D．
14．（3分）已知，则关于的不等式的解集不可能是
A．B．C．D．
15．（3分）下列结果正确的是
A．
B．
C．
D．
16．（3分）已知实数、、、、、满足，则、、三个数中，大于1的个数最多是
A．0B．1C．2D．3
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤。
17．（9分）设全集，集合，，求和．
18．（9分）已知函数（实数的图象关于轴对称，且（2）（3）．
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．
19．（10分）已知二次函数．
（1）若关于的方程的两个实数根、满足，求实数的值；
（2）若不等式对任意实数都成立，求实数的取值集合．
20．（12分）近年来，某企业每年电费为24万元．为了节能减排，该企业决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网．安装这种供电设备需一次性投入一笔工本费（单位：万元），金额与太阳能电池板的安装面积（单位：平方米）成正比，比例系数．该企业估算，安装后每年的电费（单位：万元）与太阳能电池板的安装面积（单位：平方米）之间的函数关系是，为常数），如果维持原样不安装太阳能电池板，每年电费仍然为24万元．记为工本费与15年的电费之和．
（1）求常数的值，并求安装10平方米太阳能电池板后该企业每年的电费；
（2）建立关于的函数关系式；
（3）安装多少平方米太阳能电池板后，取得最小值？最小值是多少万元？
21．（12分）符号表示不大于的最大整数，例如：，，．
（1）解下列两个方程：，；
（2）设方程的解集为，集合，，求实数的取值范围；
（3）求方程的实数解．
参考答案
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。
1．（3分）已知集合，2，，，，若，2，4，，则实数 4 ．
【答案】4．
解：集合，2，，，，，2，4，，
．
故答案为：4．
2．（3分）已知关于的不等式的解集为，其中、为实数，则 ．
【答案】．
解：因为关于的不等式的解集为，
则的根为，3，
所以，，
即，，．
故答案为：．
3．（3分）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
解：若“”是“”的充分条件，
则．
故答案为：．
4．（3分）已知集合，集合，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
解：若，集合，，
则．
故答案为：．
5．（3分）若，则的最大值为 ．
【答案】．
解：当时，，
当且仅当，即时取等号．
故答案为：．
6．（3分）写出“任意，”的否定形式 “存在，” ．
【答案】“存在，”．
解：“任意，”的否定形式为“存在，”．
故答案为：“存在，”．
7．（3分）已知集合，，则 ．
【答案】．
解：集合，，
故．
故答案为：．
8．（3分）已知，，用、表示 ．
【答案】．
解：因为，所以，
所以由换底公式得：，
因为，而，所以，
．
故答案为：．
9．（3分）方程的解集为，， ．
【答案】，，．
解：当时，原方程可化为，恒成立；
当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，解得，不符合题意；
当时，原方程可化为，恒成立．
综上所述，或，即原方程的解集为，，．
故答案为：，，．
10．（3分）若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数的取值范围是 ．
【答案】
解：化简为，
解集中的整数有且仅有1，2，3，
且，
解之得，
故答案为：．
11．（3分）已知，，且，则的最小值为 6 ．
【答案】6．
解：因为，，，
所以，，
令，
则，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，此时，，
故答案为：6．
12．（3分）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 ．
【答案】．
解：①当时，
所以，从而有解得；
②当时，，解得或不满足题意；
③当时，
所以，所以解得．
综上所述，．
故答案为：．
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分。
13．（3分）若，，，且，则下列不等式一定成立的是
A．B．
C．D．
【答案】
解：对于，若，则，故错误；
对于，因为，所以，又，所以，故正确；
对于，若时，，故错误；
对于，取，，则，故错误．
故选：．
14．（3分）已知，则关于的不等式的解集不可能是
A．B．C．D．
【答案】
解：，时，恒成立，原不等式的解集为；
时，由原不等式得，原不等式的解集为；
时，由原不等式得，原不等式的解集为．
故选：．
15．（3分）下列结果正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
解：对：当为偶数且时，，故不正确；
对：只有，时，才成立，故不正确；
对，故不正确；
对
，故正确．
故选：．
16．（3分）已知实数、、、、、满足，则、、三个数中，大于1的个数最多是
A．0B．1C．2D．3
【答案】
解：根据题意，，
则有，
又由，，，
则有，即，当且仅当时等号成立，
故、、三个数中，不能三个都大于1，
当，，，，，时，、、三个数中，有2个大于1，
故三个数中，最多有2个大于1，
故选：．
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤。
17．（9分）设全集，集合，，求和．
【答案】，．
解：因为全集，集合或，或，
所以，或，
．
18．（9分）已知函数（实数的图象关于轴对称，且（2）（3）．
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）函数（实数的图象关于轴对称，且（2）（3）．
在区间为减函数，
，解得，
，幂函数的图象关于轴对称，
为偶数，，
函数的解析式为：．
（2）不等式，函数是偶函数，在区间为减函数，
，解得，，
又，
实数的取值范围是，，．
19．（10分）已知二次函数．
（1）若关于的方程的两个实数根、满足，求实数的值；
（2）若不等式对任意实数都成立，求实数的取值集合．
【答案】（1）；
（2）．
解：（1）由题意得，
即或，
因为，所以，
解得或4（舍去），所以；
（2）已知，不等式对任意实数都成立，
将代入不等式可得：，
展开右边，
移项可得：，
合并同类项：对任意实数恒成立，
当，即时：
不等式化为，即，也就是，
此时不等式不是对任意实数恒成立，所以不满足条件；
当时：
要使对任意实数恒成立，
则二次函数的图象需开口向上且与轴最多有一个交点，
即需满足：开口向上：，解得，
判别式△，
△
，
则因为一个数的平方是非负的，
所以只有，解得，满足，
综上，实数的取值集合为．
20．（12分）近年来，某企业每年电费为24万元．为了节能减排，该企业决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网．安装这种供电设备需一次性投入一笔工本费（单位：万元），金额与太阳能电池板的安装面积（单位：平方米）成正比，比例系数．该企业估算，安装后每年的电费（单位：万元）与太阳能电池板的安装面积（单位：平方米）之间的函数关系是，为常数），如果维持原样不安装太阳能电池板，每年电费仍然为24万元．记为工本费与15年的电费之和．
（1）求常数的值，并求安装10平方米太阳能电池板后该企业每年的电费；
（2）建立关于的函数关系式；
（3）安装多少平方米太阳能电池板后，取得最小值？最小值是多少万元？
【答案】（1），（万元）；
（2）；
（3）当时，取最小值，最小值是57.5．
解：（1）将代入得：，解得，
所以，
则（万元）；
（2）由（1）得：与的函数关系式为：；
（3），
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，取最小值，最小值是 57.5．
21．（12分）符号表示不大于的最大整数，例如：，，．
（1）解下列两个方程：，；
（2）设方程的解集为，集合，，求实数的取值范围；
（3）求方程的实数解．
【答案】（1），，．
（2）．
（3）或或或．
解：（1）因为，
所以，，
因为，
所以，，
所以，．
（2），
因为，
①当时，解得，
②当时，方程无解，
③当时，解得，
综上，，，
所以．
若，则，，，
，则，
解得．
若时，，，，
则，解得，
（3）因为，又不是解，
所以，
所以，
解得或，
解得或或7或8，
分别代入方程得，解得，
，，
，，
，，
经检验，这四个值都是原方程的解．