上海市宝山区海滨中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份上海市宝山区海滨中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.“a=−1”是“直线x+ay+1=0与ax−y−1=0垂直”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 不充分也不必要条件
2.已知F为抛物线C：y2=12x的焦点，点M(x0,6)在抛物线C上，则|MF|=( )
A. 8B. 9C. 7D. 6
3.若数列{an}是等比数列，且an>0，a4⋅a5=9，则lg3a1+lg3a8的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.法国数学家加斯帕⋅蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的蒙日圆为C：x2+y2=32a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则下列说法中，正确的个数为( )
①椭圆Γ的离心率为 22
②M到Γ的左焦点的距离的最小值为 6− 22a
③△MPQ面积的最大值为32a2
④若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2=−12
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.点P(2,−1)到直线x+y=3的距离为______．
6.若直线l1：ax+3y−6=0与直线l2：x+(a−2)y−2=0平行，则a= ______．
7.已知直线x−y+2=0与圆x2+y2=r2(r>0)有且仅有一个公共点，则r= ______．
8.已知双曲线C：x26−y23=1，则其渐近线方程为______．
9.已知双曲线C：x216−y233=1的两个焦点为F1，F2，双曲线C上有一点P，若|PF1|=10，则|PF2|= ______．
10.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a的值为______．
11.已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为______．
12.首项为2，公比为23的无穷等比数列{an}的各项和为______．
13.已知F1、F2分别是椭圆C：x216+y24=1的左，右焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为______．
14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，PF2⋅F1F2=0，且|PF2|，|F1F2|，|PF1|成等差数列，则C的离心率为______．
15.点M为抛物线y2=8x上任意一点，点N为圆x2+y2−4x+3=0上任意一点，且P(1,−1)，则|MP|+|MN|的最小值为______．
16.已知曲线C：4y2−x|x|=4，点F( 3,0)，下面有四个结论：
①曲线C关于x轴对称；
②曲线C与y轴围成的封闭图形的面积大于2；
③曲线C上任意点P满足|PF|≥2；
④曲线C与曲线(x−2y−m)(x+2y−m)=0，(m∈R)的交点个数可以是0个、2个、3个、4个．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，S4=2a5．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn=2an，求{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题14分)
已知圆心为C的圆经过点A(−1,−5)和B(6,2)，且圆心C在直线l：x+3y+3=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)若过定点(0,2)的直线l被圆C所截得的弦长为6，求直线l的方程．
19.(本小题14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到双曲线：x23−y2=1的渐近线的距离为1．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若不经过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．
20.(本小题14分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，且CD=2，AB=1，BC=1，PA=2，AB⊥BC，N为PD的中点．
(Ⅰ)求证：AN//平面PBC；
(Ⅱ)求二面角C−PD−A的余弦值；
(Ⅲ)点M在线段AP上，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为 63，求点M到平面PCD的距离．
21.(本小题14分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1，A2，上下顶点分别为B1，B2，且四边形A1B1A2B2的周长为4 3，过点P(0,2)且斜率为k的直线交C于A，B两点，当直线AB过C的左焦点时，k=2．
(1)求C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，△OAB的面积为2 67，求直线AB的方程；
(3)记直线AB1与直线BB2的交点为M，求|MA1|的最小值．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：当a=−1时，直线x+ay+1=0可化为x−y+1=0，斜率为1，
直线ax−y−1=0可化为−x−y−1=0，即x+y+1=0，斜率为−1，
因为1×(−1)=−1，所以两直线垂直，
所以由“a=−1”可以推出“直线x+ay+1=0与ax−y−1=0垂直”，
若“直线x+ay+1=0与ax−y−1=0垂直”，则1×a+a×(−1)=0恒成立，
并不需要a参与其中，
所以由“直线x+ay+1=0与ax−y−1=0垂直”推不出“a=−1”，
所以“a=−1”是“直线x+ay+1=0与ax−y−1=0垂直”的充分不必要条件．
故选：A．
根据充分、必要条件以及两直线间的位置关系等知识确定正确答案．
本题主要考查了两直线垂直的斜率关系，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：已知F为抛物线C：y2=12x的焦点，点M(x0,6)在抛物线C上，
则12x0=36，
即x0=3，
则|MF|=x0+p2=3+3=6．
故选：D．
由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为数列{an}是等比数列，
则由等比数列的性质可知，a4⋅a5=a1⋅a8=9，
所以lg3a1+lg3a8=lg3(a1a8)=lg39=lg332=2．
故选：B．
利用等比数列的性质可得a1⋅a8=9，再利用对数法则进行运算化简即可．
本题主要考查了等比数列的性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：对于①，直线x=a，y=b与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点(a,b)在圆C上，
即有a2+b2=32a2，则b2a2=12，
椭圆Γ的离心率e= a2−b2a= 1−b2a2= 22，故①正确；
对于②，令M(x0,y0)，有x02+y02=32a2，
令椭圆Γ的左焦点F(−c,0)，有c2=a2−b2=12a2，
则|MF|2=(x0+c)2+y02=x02+y02+2cx0+c2=2a2+ 2ax0，
而− 62a≤x0≤ 62a，
因此|MF|2≥(2− 3)a2，即|MF|≥ 6− 22a，
所以M到椭圆Γ的左焦点的距离的最小值为 6− 22a，故②正确；
对于③，依题意，如图，点M、P、Q均在圆C上，且∠PMQ=90°，因此线段PQ是圆C的直径，
即有|PQ|= 6a，显然圆C上的点到直线PQ距离最大值为圆C的半径 62a，
即点M到直线PQ距离最大值为 62a，
因此△MPQ面积的最大值为12|PQ|⋅ 62a=32a2，故 ③正确；
对于④，依题意，直线PQ过原点O，即点A，B关于原点O对称，
设A(x1,y1)，D(x2,y2)，则B(−x1,−y1)，
于是得k1=y2−y1x2−x1，k2=y2+y1x2+x1，
又由①知，x22+2y22=2b2x12+2y12=2b2，两式作差得：x22−x12=−2(y22−y12)，
所以k1k2=y2−y1x2−x1⋅y2+y1x2+x1=y22−y12x22−x12=−12，故④正确，
所以说法正确的有①②③④．
故选：D．
根据定义，确定蒙日圆的点结合椭圆离心率计算判断①；设出点M的坐标并求出其横坐标范围计算判断②；根据定义求得∠PMQ=90°，再求出最大面积判断③；根据定义确定点A，B的关系，再利用“点差法”计算判断④，然后即可得解．
本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题．
5.【答案】 2
【解析】解：点P(2,−1)到直线x+y−3=0的距离d=|2−1−3| 12+12= 2．
故答案为： 2．
由点到直线的距离公式直接求出答案．
本题考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
6.【答案】−1
【解析】解：因为l1//l2，l1：ax+3y−6=0，l2：x+(a−2)y−2=0，
所以a(a−2)−3=a2−2a−3=(a−3)(a+1)=0，
所以a=3或a=−1．
当a=3时，l1：3x+3y−6=0，l2：x+y−2=0，l1，l2重合；
当a=−1时，l1：−x+3y−6=0，l2：x−3y−2=0，符合题意．
故答案为：−1．
根据两直线平行的条件列方程求解，注意检验即可得解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
7.【答案】 2
【解析】解：因为直线x−y+2=0与圆x2+y2=r2(r>0)有且仅有一个公共点，
所以圆心(0,0)到直线x−y+2=0的距离d=|0−0+2| 12+(−1)2=r，
解得r= 2．
故答案为： 2．
利用圆心到直线的距离等于半径求解．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．
8.【答案】y=± 22x
【解析】解：双曲线C：x26−y23=1，则其渐近线方程为：y=± 22x.
故答案为：y=± 22x.
直接利用双曲线的标准方程，求解渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
9.【答案】18
【解析】解：由双曲线方程知：a=4，
根据双曲线定义知：||PF1|−|PF2||=|10−|PF2||=2a=8，
解得：|PF2|=2(舍)或|PF2|=18．
故答案为：18．
求出a的值，根据双曲线的定义求出|PF2|的值即可．
本题考查了双曲线的定义，是基础题．
10.【答案】±1
【解析】解：已知椭圆与双曲线有相同的焦点，
则 4−a2= a2+2，
即a2=1，
即a=±1，
故答案为：±1．
由椭圆与双曲线的性质可得： 4−a2= a2+2，然后求解即可．
本题考查了椭圆与双曲线的性质，属基础题．
11.【答案】π3
【解析】解：根据题意可知，圆锥的表面积与底面积的比值为3，
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，母线与底面所成的角为θ，
则πr2+πrlπr2=1+lr=3，则lr=2，所以csθ=rl=12，
因为θ∈(0,π2)，所以θ=π3．
故答案为：π3．
设圆锥底面半径、母线长，然后得到底面积与表面积，从而得到母线与半径的比值，进而得到母线与底面所成角．
本题考查了线面所成角，属于基础题．
12.【答案】6
【解析】解：因为无穷等比数列{an}的首项为2，公比为23，
因此其前n项和为2[1−(23)n]1−23=6[1−(23)n]，
所以{an}的各项的和为n→+∞lim 6[1−(23)n]=6．
故答案为：6．
先由等比数列的求和公式，得到前n项和，对前n项和求极限，即可得出结果．
本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
13.【答案】4
【解析】解：椭圆C：x216+y24=1的a=4，b=2，c=2 3，
则|PF1|+|PF2|=2a=8，|F1F2|=4 3，
∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
设|PF1|=m，|PF2|=n，
∴m2+n2=(4 3)2，
∴(m+n)2−2mn=48，
解得mn=8，
则△PF1F2的面积为12|PF1|⋅|PF2|=12×8=4．
故答案为：4．
求得椭圆的a，b，c，运用椭圆的定义和条件可设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=4 3，运用勾股定理和三角形的面积公式计算可得所求值．
本题考查焦点三角形的面积的求法，考查运算求解能力，属中档题．
14.【答案】2
【解析】解：因为点P在双曲线C上，所以|PF1|−|PF2|=2a，即|PF1|=|PF2|+2a，
因为PF2⋅F1F2=0，所以PF2⊥F1F2，则在Rt△PF2F1中，|PF2|为点P的纵坐标的绝对值，
将x=c代入双曲线方程，可得c2a2−y2b2=1，即y2=b4a2，那么|PF2|=b2a，
已知|PF2|，|F1F2|，|PF1|成等差数列，可得2|F1F2|=|PF2|+|PF1|，
又因为|F1F2|=2c，|PF1|=|PF2|+2a，所以2×2c=b2a+b2a+2a，将b2=c2−a2代入2×2c=b2a+b2a+2a中，
可得4c=2(c2−a2)a+2a，得到4ac=2(c2−a2)+2a2，即4ac=2c2，
因为c>0，可得2a=c，根据双曲线的离心率公式，可得e=ca=2．
故答案为：2．
据双曲线的定义和已知条件得出|PF1|与|PF2|的关系，再结合等差数列的性质列出等式，最后根据双曲线的性质求出离心率．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
15.【答案】2
【解析】解：圆x2+y2−4x+3=0变形为(x−2)2+y2=1，
抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，抛物线的准线为l：x=−2，
则圆心为抛物线y2=8x的焦点F，半径为R=1．
点M为抛物线y2=8x上任意一点，当三点M、N、F共线，取|MN|最小值，最小值为|MF|−R=|MF|−1．
所以|MP|+|MN|取最小值时，即|MP|+|MF|−1取最小值，
如图，过点M作ME⊥l于点E，由抛物线定义可知，|MF|=|ME|，
所以|MP|+|MN|≥|MP|+|MF|−1=|MP|+|ME|−1≥|PE|−1，当P、M、E三点共线，当|PE|=3时，等号成立．|MP|+|MN|≥3−1=2．
则|MP|+|MN|的最小值为2．
故答案为：2．
画图，找出抛物线焦点，化简圆的普通方程为标准方程，根据圆外一点到圆上点的最短距离以及抛物线定义得出最值．
本题主要考查抛物线的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
16.【答案】①②④
【解析】解：对于①：因为点(x,y)，(x,−y)均在C上，
所以曲线C关于x轴对称，故①正确；
对于②：当x≤0，x2+4y2=4，
此时曲线是焦点为( 5,0),(− 5,0)，长轴长为4的椭圆的左半部分，
当x≥0时，曲线C的方程可化为y2−x24=1(x≥0)，
对应的曲线为以(0, 5),(0,− 5)为焦点的，实轴长为2的双曲线位于y轴右侧的部分，
所以封闭图形面积大于△ABD的面积，
因为△ABD面积为12×|AB|×|OD|=2，
所以曲线C与y轴围成的封闭图形的面积大于2，故②正确；
对于③：当x≤0时，曲线的方程可化为x24+y2=1，
此时|PF|= (x− 3)2+y2= 34x2−2 3x+4= 34(x−4 33)2(−2≤x≤0)，
当x=0时，|PF|min=2，
当x>0时，y2−x24=1，
此时|PF|= (x− 3)2+y2= 54x2−2 3x+4= 54(x−4 35)2+85(x>0)，
当x=4 35时，|PF|min=2 105，
综上所述，曲线C上任意点P满足|PF|≥2 105，故③错误；
对于④：方程可化为(x−m)2−4y2=0，
代入4y2−x|x|=4中，
可得(x−m)2−x|x|=4，
当x>0时，2mx=m2−4，
当m=0时，该方程无解，
当m≠0时，
解得x=m2−42m，
当m>2或−2